对应章节：数据结构 → 树与二叉树 → 线索二叉树
这两题真正考的是三个点：
二叉树为什么有
n+1个空指针；线索化时，空指针分别如何改造成"前驱线索"和"后继线索"；
"有线索"不等于"每个结点都能通过一根线索直接找到前驱和后继"。
一、做题前先建立统一模型
设结点结构为：
[lchild] [data] [rchild]在线索二叉树中，通常再增加两个标志位：
ltag = 0：lchild 指向真正的左孩子
ltag = 1：lchild 是前驱线索
rtag = 0：rchild 指向真正的右孩子
rtag = 1：rchild 是后继线索也就是说：
原来为空的左指针 → 可以改成"前驱线索"
原来为空的右指针 → 可以改成"后继线索"注意：只有原来为空的指针域才能拿来做线索。
如果某个结点本来就有左孩子或右孩子，那么对应的指针域仍然必须指向孩子，不能同时拿来存线索。
二、为什么 n 个结点的二叉树有 n+1 个空指针？
每个结点有两个孩子指针，因此共有：
2n 个指针域而一棵有 n 个结点的二叉树共有：
n - 1 条边每条边对应一个非空孩子指针，因此非空指针有 n-1 个。
所以空指针数为：
2n - (n - 1)
= n + 1因此：
n 个结点的二叉树，一共有 n+1 个空链域。
线索二叉树正是利用这些空链域来保存遍历序列中的前驱、后继信息。
第 25 题
题目
一棵左子树为空 的二叉树在先序线索化后，其中空的链域的个数是（ ）。
选项：
A. 不确定
B. 0 个
C. 1 个
D. 2 个答案
D：2 个。
1. 先抓住"先序遍历"的第一个结点
先序遍历顺序：
根 → 左 → 右所以整棵树先序遍历的第一个结点一定是根结点。
题目又告诉我们：
根的左子树为空因此根结点的左指针本来就是空的。
画出来：
A
/ \
NULL 右子树由于 A 是先序遍历的第一个结点，所以：
A 没有前驱而 A 的左指针又恰好是空指针，本来应该用来存"前驱线索"，但它没有前驱，因此：
A.lchild = NULL所以这里已经确定有 1 个空链域。
2. 再看先序遍历的最后一个结点
设先序遍历序列为：
A → ... → X其中 X 是最后访问的结点。
X 不可能还有孩子。
因为如果 X 还有左孩子或右孩子，那么按照先序遍历，访问完 X 之后还必须继续访问它的孩子，X 就不可能是最后一个结点。
所以：
最后一个结点 X 一定是叶子结点也就是：
X
/ \
NULL NULLX 是整个先序序列的最后一个结点，因此：
X 没有后继X 的右指针本来为空，本应改造成"后继线索"，但它没有后继，所以：
X.rchild = NULL这又产生 1 个空链域。
3. 所以一共是两个
第一个结点（根）：
左指针 → 没有前驱 → NULL
最后一个结点：
右指针 → 没有后继 → NULL因此：
空链域总数 = 1 + 1 = 2答案：
D. 2 个4. 用具体例子看最直观
假设原树是：
A
/ \
NULL B
/ \
C D先序遍历：
A → B → C → D线索化之后：
A：
左边原本为空
A 又没有前驱
所以 A.left = NULL
C：
C 没有左右孩子
先序前驱是 B，后继是 D
C.left → B
C.right → D
D：
D 是先序最后一个结点
D 没有后继
所以 D.right = NULL最终仍然为空的是：
A.left = NULL
D.right = NULL正好 2 个。
5. 一个特殊情况也不影响答案
如果整棵树只有一个根结点：
A
/ \
NULL NULL先序序列只有：
AA 同时：
没有前驱
没有后继于是：
A.left = NULL
A.right = NULL仍然是 2 个空链域。
第 26 题
题目
在线索二叉树中，下列说法不正确的是（ ）。
选项：
A. 在中序线索树中，若某结点有右孩子，
则其后继结点是它的右子树的最左下结点。
B. 在中序线索树中，若某结点有左孩子，
则其前驱结点是它的左子树的最右下结点。
C. 线索二叉树是利用二叉树的 n+1 个空指针
来存放结点的前驱和后继信息的。
D. 每个结点通过线索都可以直接找到它的前驱和后继。答案
D 错误。
A 为什么正确？
中序遍历顺序：
左子树 → 根 → 右子树假设当前结点为 A，而且 A 有右孩子：
A
\
B
/
C
/
D访问完 A 之后，下一步进入 A 的右子树。
但右子树中第一个被中序访问的结点不是一定是 B，而是：
右子树中最左边的结点在上图中：
A 的中序后继 = D所以：
若某结点有右孩子，它的中序后继是右子树中最左下的结点。
因此 A 正确。
B 为什么正确？
同理，中序遍历中：
左子树 → 根 → 右子树如果 A 有左孩子，那么在访问 A 之前，必须先访问完整个左子树。
左子树中最后被中序访问的结点就是：
左子树中最右边的结点例如：
A
/
B
\
C
\
D则：
A 的中序前驱 = D所以：
若某结点有左孩子，它的中序前驱是左子树中最右下的结点。
因此 B 正确。
C 为什么正确？
前面已经证明：
n 个结点
→ 一共有 2n 个孩子指针域
实际边数
→ n - 1
空指针数
→ 2n - (n - 1)
→ n + 1这些空指针正好可以利用起来，存放遍历序列中的前驱和后继信息。
因此 C 正确。
D 为什么错误？
D 的说法是：
每个结点通过线索都可以直接找到前驱和后继问题出在两个字：
"每个"
"直接"线索只存在于原本为空的孩子指针域中。
如果某个结点本来有左孩子：
ltag = 0那么：
lchild 指向左孩子它就不是前驱线索。
此时想找这个结点的中序前驱，不能直接顺着 lchild 就得到答案，而是要：
先进入左子树
再不断向右
找到左子树中最右边的结点同理，如果某结点本来有右孩子：
rtag = 0那么 rchild 是真正的右孩子，不是后继线索。
要寻找中序后继，需要：
先进入右子树
再不断向左
找到右子树中最左边的结点所以并不是每个结点都可以靠"一根线索"直接找到前驱和后继。
第 26 题最关键的图
对于中序线索树，找前驱和后继可以这样记：
当前结点 P
/ \
/ \
有左孩子 有右孩子
| |
v v
左子树一直向右 右子树一直向左
| |
v v
中序前驱 中序后继如果本来没有左孩子：
ltag = 1
lchild 直接就是前驱线索如果本来没有右孩子：
rtag = 1
rchild 直接就是后继线索所以完整模型是：
找中序前驱：
① ltag = 1
→ lchild 就是前驱，直接得到
② ltag = 0
→ 有左子树
→ 进入左子树
→ 一直向右
→ 最右结点是前驱
找中序后继：
① rtag = 1
→ rchild 就是后继，直接得到
② rtag = 0
→ 有右子树
→ 进入右子树
→ 一直向左
→ 最左结点是后继这正是 D 错误的原因。
两题放在一起总结
必须记住的 4 句话
1. n 个结点的二叉树有 n+1 个空指针。
2. 空左指针可改造成"前驱线索"。
3. 空右指针可改造成"后继线索"。
4. 有孩子时，对应指针仍然是孩子指针，
因此不一定能通过线索直接得到前驱/后继。中序前驱 / 后继口诀
有左孩子：
前驱 = 左子树最右
有右孩子：
后继 = 右子树最左
无左孩子且已线索化：
左线索 = 前驱
无右孩子且已线索化：
右线索 = 后继第 25 题识别信号
题目出现：
先序线索化
+
根的左子树为空立即想到：
根是先序第一个结点
→ 没有前驱
→ 左指针又正好为空
→ 留下一个 NULL
最后一个先序结点
→ 没有后继
→ 右指针留下一个 NULL
总共 2 个复盘点
复盘点 1：线索只能占用"空指针"
不要把线索理解成给每个结点额外增加两个前驱/后继指针。
线索化本质是：
废物利用：把原本为空的孩子指针拿来存前驱/后继。复盘点 2："有线索二叉树"不代表前驱后继都能 O(1) 直接顺指针得到
如果对应方向本来有孩子，那么那个指针就是孩子指针，不是线索。
因此中序线索树中：
有左孩子 → 找前驱要去左子树最右边
有右孩子 → 找后继要去右子树最左边复盘点 3：第一个结点没有前驱，最后一个结点没有后继
任何遍历序列都可以先从这个角度判断：
第一个结点：
前驱不存在
最后一个结点：
后继不存在但"前驱/后继不存在"是否会形成一个真正的空链域，还要看这个结点对应的孩子指针本来是不是空的。
这就是第 25 题专门强调"左子树为空"的原因。