对于数组中任意两个相邻的元素 x x x 和 y y y，如果满足 x ≡ d ( m o d 2 d ) x \equiv d \pmod{2 d} x≡d(mod2d) 且 y ≡ 0 ( m o d 2 d ) y \equiv 0 \pmod{2 d} y≡0(mod2d) 显然是合法的。于是我们可以将所有满足 ( i + j ) ≡ 1 ( m o d 2 ) (i+j) \equiv 1 \pmod{2} (i+j)≡1(mod2) 的 a i , j a_{i,j} ai,j 改到最近的满足 a i , j ≡ d ( m o d 2 d ) a_{i,j} \equiv d \pmod{2 d} ai,j≡d(mod2d) 的数，将所有满足 ( i + j ) ≡ 0 ( m o d 2 ) (i+j) \equiv 0 \pmod{2} (i+j)≡0(mod2) 的 a i , j a_{i,j} ai,j 改到最近的满足 a i , j ≡ 0 ( m o d 2 d ) a_{i,j} \equiv 0 \pmod{2 d} ai,j≡0(mod2d) 的数。或者，我们还可以将所有满足 ( i + j ) ≡ 0 ( m o d 2 ) (i+j) \equiv 0 \pmod{2} (i+j)≡0(mod2) 的 a i , j a_{i,j} ai,j 改到最近的满足 a i , j ≡ d ( m o d 2 d ) a_{i,j} \equiv d \pmod{2 d} ai,j≡d(mod2d) 的数，将所有满足 ( i + j ) ≡ 1 ( m o d 2 ) (i+j) \equiv1 \pmod{2} (i+j)≡1(mod2) 的 a i , j a_{i,j} ai,j 改到最近的满足 a i , j ≡ 0 ( m o d 2 d ) a_{i,j} \equiv 0 \pmod{2 d} ai,j≡0(mod2d) 的数。
证明以上两种方案的总代价是 n d 2 nd^2 nd2
若 0 ≤ ( a i , j m o d 2 d ) ≤ d 0 \le (a_{i,j}\bmod 2d) \le d 0≤(ai,jmod2d)≤d，则改到最近的满足 a i , j ≡ 0 ( m o d 2 d ) a_{i,j} \equiv 0 \pmod{2 d} ai,j≡0(mod2d) 的数需要 ( a i , j m o d 2 d ) (a_{i,j}\bmod 2d) (ai,jmod2d) 的代价，改到最近的满足 a i , j ≡ d ( m o d 2 d ) a_{i,j} \equiv d \pmod{2 d} ai,j≡d(mod2d) 的数需要 d − ( a i , j m o d 2 d ) d-(a_{i,j}\bmod 2d) d−(ai,jmod2d) 的代价，两种方案的代价和为 d d d。
若 d < ( a i , j m o d 2 d ) ≤ 2 d d < (a_{i,j}\bmod 2d) \le 2d d<(ai,jmod2d)≤2d，则改到最近的满足 a i , j ≡ 0 ( m o d 2 d ) a_{i,j} \equiv 0 \pmod{2 d} ai,j≡0(mod2d) 的数需要 2 d − ( a i , j m o d 2 d ) 2d-(a_{i,j}\bmod 2d) 2d−(ai,jmod2d) 的代价，改到最近的满足 a i , j ≡ d ( m o d 2 d ) a_{i,j} \equiv d \pmod{2 d} ai,j≡d(mod2d) 的数需要 ( a i , j m o d 2 d ) − d (a_{i,j}\bmod 2d)-d (ai,jmod2d)−d 的代价，两种方案的代价和为 d d d。
故对于数组中任意一个元素两种方案的代价和为 d d d，所以两种方案的总代价是 n d 2 nd^2 nd2。
故至少有一种方案的代价不超过 n d 2 2 \frac{nd^2}{2} 2nd2。
Code
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,d,a[505][505];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n>>d;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++) cin>>a[i][j];
int s1=0,s2=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if((i+j)%2) s1+=min((a[i][j]%(2*d)+2*d)%(2*d),2*d-(a[i][j]%(2*d)+2*d)%(2*d)),s2+=max((a[i][j]%(2*d)+2*d)%(2*d)-d,d-(a[i][j]%(2*d)+2*d)%(2*d));
else s2+=min((a[i][j]%(2*d)+2*d)%(2*d),2*d-(a[i][j]%(2*d)+2*d)%(2*d)),s1+=max((a[i][j]%(2*d)+2*d)%(2*d)-d,d-(a[i][j]%(2*d)+2*d)%(2*d));
}
if(s1<s2)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
int up=(a[i][j]%(2*d)+2*d)%(2*d);
if(up<=d){
if((i+j)%2) cout<<a[i][j]-up<<" ";
else cout<<a[i][j]+d-up<<" ";
}
else
{
if((i+j)%2) cout<<a[i][j]+d*2-up<<" ";
else cout<<a[i][j]-(up-d)<<" ";
}
}
cout<<"\n";
}
}
else
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
int up=(a[i][j]%(2*d)+2*d)%(2*d);
if(up<=d){
if((i+j)%2==0) cout<<a[i][j]-up<<" ";
else cout<<a[i][j]+d-up<<" ";
}
else
{
if((i+j)%2==0) cout<<a[i][j]+d*2-up<<" ";
else cout<<a[i][j]-(up-d)<<" ";
}
}
cout<<"\n";
}
}
return 0;
} //