【数据结构】图的遍历：深度优先搜索（DFS）

考点频率 ：★★★★★（数据结构必考，选择题常考DFS序列，下午题偶尔结合图考查）

难度：⭐⭐⭐

建议：重点掌握DFS的递归实现思路，理解其"一条路走到黑"的回溯思想，能模拟DFS的顶点访问顺序

1️⃣ 什么是图的遍历？

图的遍历 是指从图中的某个顶点出发，按照某种策略访问图中的所有顶点 ，且每个顶点只被访问一次。

图的结构比树复杂------树有根节点，从根出发可以到达所有节点；但图没有根，而且可能存在环路，如果不小心就会重复访问同一个顶点。因此，图的遍历需要额外记录哪些顶点已经被访问过了。

图的遍历主要有两种方式：

遍历方式	核心思想	数据结构
深度优先搜索（DFS）	一条路走到黑，走不通再回头	栈（递归本质上是栈）
广度优先搜索（BFS）	层层推进，先近后远	队列

这两篇文章我们采用对比学习的方式：DFS和BFS非常容易混淆，放在一起对比能帮你理清它们的不同。DFS更像是"走迷宫"------你不确定哪条路能到终点，只能先选择一个方向一直往下走，走到死路再退回来换一条路。

2️⃣ 深度优先搜索（DFS）的核心思想

深度优先搜索（Depth-First Search，DFS） 的策略是：

"从起点出发，选择一个未被访问过的邻接顶点，一直往下走；走到没有未访问的邻接顶点时，就回退到上一个顶点，继续探索其他分支。"
打个比方 ：DFS就像走迷宫。你站在入口处，选一条岔路一直走到头，发现是死路，就退回到最近的一个岔路口，换一条路继续走。你永远不回头去走那些还没探索过的岔路，直到把所有的路都走完。这个过程就叫**"回溯（Backtracking）"**------走不通就退回来，换条路再走。

3️⃣ DFS的算法步骤

伪代码（递归实现）：

c 复制代码

void DFS(Graph G, int v) {
    visited[v] = TRUE;        // 标记当前顶点已访问
    Visit(v);                 // 访问顶点v（如打印）
    
    for (w = FirstNeighbor(G, v); w >= 0; w = NextNeighbor(G, v, w)) {
        if (!visited[w]) {    // 如果邻接顶点w未被访问
            DFS(G, w);        // 递归访问w
        }
    }
}

非递归实现（使用栈）：

将起始顶点入栈，标记为已访问
当栈不为空时：
- 取出栈顶顶点并访问
- 将该顶点的所有未被访问的邻接顶点入栈，并标记为已访问

4️⃣ DFS的遍历过程示例

对下面的无向图进行DFS遍历（从顶点1开始，按编号升序选择邻接顶点）：

复制代码

    1 ------ 2
    | \  |
    |  \ |
    4 ------ 3

邻接关系：
1 → 2, 3, 4
2 → 1, 3
3 → 1, 2, 4
4 → 1, 3

执行过程：

步骤	操作	栈（递归调用栈）	已访问顶点	说明
初始	访问1	`[1]`	`{1}`	从1开始
1	1的邻接中选最小的未访问顶点2	`[1, 2]`	`{1, 2}`	1→2
2	2的邻接中选最小的未访问顶点1（已访问），选3	`[1, 2, 3]`	`{1, 2, 3}`	2→3
3	3的邻接中1已访问、2已访问、4未访问	`[1, 2, 3, 4]`	`{1, 2, 3, 4}`	3→4
4	4的邻接1已访问、3已访问，无未访问顶点	`[1, 2, 3]`	`{1, 2, 3, 4}`	回溯到3
回溯	3无其他未访问顶点	`[1, 2]`	`{1, 2, 3, 4}`	回溯到2
回溯	2无其他未访问顶点	`[1]`	`{1, 2, 3, 4}`	回溯到1
回溯	1无其他未访问顶点	`[]`	`{1, 2, 3, 4}`	遍历结束

DFS访问顺序 ：1 → 2 → 3 → 4

5️⃣ DFS的深度优先生成树

在DFS遍历过程中，第一次访问某个顶点时经过的边 会形成一棵树，称为深度优先生成树（DFS Spanning Tree）。

还是用上面的图，DFS访问顺序为 1 → 2 → 3 → 4，经过的边有：

1 → 2（首次访问2）
2 → 3（首次访问3）
3 → 4（首次访问4）

这棵树以1为根，向下生长出2、3、4。其余边（如1→3、1→4、2→3）没有被包含在树中，它们被称为回边（Back Edge） ，指向已经访问过的顶点。

图的DFS生成树不唯一------取决于邻接顶点的访问顺序。如果每次选择邻接顶点时顺序不同（如从编号大的先访问），生成树的形态也会不同。

6️⃣ DFS的时间复杂度与空间复杂度

存储方式	时间复杂度	空间复杂度
邻接矩阵	O(n2)O(n^2)O(n2)（需要遍历n行，每行n列）	O(n)O(n)O(n)（递归栈深度）
邻接表	O(n+e)O(n + e)O(n+e)（每个顶点访问一次，每条边遍历两次）	O(n)O(n)O(n)（递归栈深度）

分析：邻接表的DFS时间复杂度优于邻接矩阵，因为邻接矩阵需要检查每个顶点的所有n个位置来判断邻接关系，而邻接表只遍历实际存在的边。

7️⃣ DFS的典型应用

应用场景	说明
判断图的连通性	一次DFS能访问到的顶点都在同一个连通分量中
求连通分量个数	对每个未被访问的顶点调用DFS，调用的次数就是连通分量数
拓扑排序	对有向无环图进行DFS，后序序列的反序为拓扑排序
检测图中是否有环	在DFS过程中，如果遇到已访问但不是父节点的顶点，说明有环
迷宫寻路	DFS是走迷宫最直接的思路

8️⃣ 经典例题

例题1：对下面的图进行DFS遍历（从顶点A开始，按字母顺序选择邻接顶点），请写出遍历序列。

复制代码

A ------ B ------ D
|   /    |
|  /     |
C ------ --------- E

解析：

从A出发，邻接顶点为B、C（按字母顺序先B）
A→B，B的邻接为A、C、D（A已访问，先C）
B→C，C的邻接为A、B、E（A、B已访问，E未访问）
C→E，E的邻接为B、C、D（B、C已访问，D未访问）
E→D，D的邻接为B、E（都已访问）
所有顶点都已访问，结束

答案：A → B → C → E → D

例题2：在有n个顶点、e条边的连通无向图中，DFS遍历过程中会形成一棵生成树，该生成树有（　）条边。

A. n

B. n-1

C. n+1

D. e

解析：生成树包含n个顶点，连通且无环，有n-1条边。选 B。

9️⃣ 记忆口诀

DFS用栈（递归），一条路走到黑。

访问标记防止重，走到尽头就回溯。

邻接表 O(n+e)O(n+e)O(n+e)，邻接矩阵 O(n2)O(n^2)O(n2)。

🔟 小测验（评论区对答案）

对下面的图进行DFS遍历（从顶点1开始，按编号从小到大选择邻接顶点），访问顺序为（　）。

复制代码

    1 ------ 2
   /|\   |
  / | \  |
 3  4  5 6

A. 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6

B. 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6

C. 1 → 3 → 2 → 4 → 5 → 6

D. 1 → 2 → 6 → 3 → 4 → 5

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