【数据结构】图的应用：最短路径（Dijkstra / Floyd）

考点频率 ：★★★★★（数据结构必考，选择题常考Dijkstra的dist数组变化，下午题偶尔结合图考查算法选边过程）

难度：⭐⭐⭐⭐⭐（Dijkstra逻辑较绕，Floyd的三重循环是难点）

建议：重点掌握Dijkstra的贪心选点过程和dist数组更新，Floyd掌握三层循环的顺序（k在外层）

1️⃣ 什么是最短路径问题？

最短路径 是图论中最经典的应用问题之一。它分为两种：

问题类型	含义	求解目标
单源最短路径	从一个指定顶点到其他所有顶点的最短路径	求一组最短路径（一个起点到所有终点）
多源最短路径	求图中任意两个顶点之间的最短路径	求一个最短路径矩阵（所有起点到所有终点）

打个比方 ：单源最短路径就像高德地图的"去XX"导航 ------你输入起点（你家），地图告诉你到每个目的地的最短路线。多源最短路径就像高德地图的"全国任意两点"导航------你随时查任意两个城市之间的最短路线。

求解两种问题的最经典算法：

Dijkstra算法 ：解决单源最短路径（不能处理负权边）
Floyd算法 ：解决多源最短路径（可以处理负权边，但不能有负权环）

为什么Dijkstra不能处理负权边？ Dijkstra的贪心策略是"每次选dist最小的顶点加入已确定集合"，一旦加入，就认为它的dist已经是最短的。但如果存在负权边，后续可能通过这条负权边让已经确定的顶点的dist变得更小，破坏了贪心的正确性。

2️⃣ Dijkstra算法（单源最短路径）

2.1 核心思想

Dijkstra算法的策略是：

维护一个"已确定最短距离"的顶点集合 SSS。每次从 V−SV-SV−S 中选择一个距离起点最近的顶点 加入 SSS，然后用这个顶点去"松弛"它的邻接顶点，更新它们到起点的距离。
打个比方 ：Dijkstra算法就像向全校公布"离校长室最近的办公室"。校长室是起点，你先把校长室周围的办公室距离都量一遍，找到最近的一间（比如教务处），然后以教务处为跳板，看看有没有"先到教务处再到某处"比"直接从校长室到某处"更近的路线。不断重复这个过程，直到所有办公室的距离都算出来。

2.2 算法步骤

初始化：dist[起点] = 0，其他顶点的 dist = ∞
循环 n−1n-1n−1 次：
- 从 未被访问 的顶点中，选择 dist 值最小的顶点 uuu
- 标记 uuu 为已访问（已确定最短距离）
- 对 uuu 的每个邻接顶点 vvv，如果 vvv 未被访问，执行松弛操作 ：
  dist $v$ =min⁡(dist $v$ ,dist $u$ +w(u,v))dist $v$ = \min(dist $v$ , dist $u$ + w(u, v))dist $v$ =min(dist $v$ ,dist $u$ +w(u,v))

2.3 执行过程示例

图：从顶点1出发，求到所有顶点的最短路径

复制代码

    1 ------(4)------ 2
   / \       / \
 (1) (2)   (2) (3)
 /     \   /     \
3 ------(5)------ 4 ------(1)------ 5

dist数组变化（∞表示无穷大）：

步骤	选中的顶点	已访问集合	dist $2$	dist $3$	dist $4$	dist $5$	松弛操作说明
初始	---	∅	∞	∞	∞	∞	起点为1
1	1	{1}	4	1	2	∞	通过1，dist3=1, dist4=2, dist2=4
2	3（dist=1）	{1,3}	4	1	2	∞	通过3，3-4权5，dist4不变（2<1+5=6）
3	4（dist=2）	{1,3,4}	4	1	2	3	通过4，4-2权2，dist2不变；4-5权1，dist5=3
4	5（dist=3）	{1,3,4,5}	4	1	2	3	通过5，5-2权3，dist2不变（4<3+3=6）
5	2（dist=4）	{1,3,4,5,2}	4	1	2	3	全部访问，结束

最终最短路径：1→3（1），1→4（2），1→5（3），1→2（4）

2.4 时间复杂度与适用场景

存储方式	时间复杂度	说明
邻接矩阵	O(n2)O(n^2)O(n2)	适合稠密图
邻接表 + 二叉堆	O(elog⁡n)O(e \log n)O(elogn)	适合稀疏图
邻接表 + 斐波那契堆	O(e+nlog⁡n)O(e + n \log n)O(e+nlogn)	最优但复杂

限制：Dijkstra算法不能处理带有负权边的图（贪心策略失效）。

3️⃣ Floyd算法（多源最短路径）

3.1 核心思想

Floyd算法的策略是：

动态规划。依次考虑每个顶点作为"中转点"，看看通过这个中转点能否让任意两个顶点之间的距离变得更短。
打个比方 ：Floyd算法就像查全国航班最短中转路线。你一开始只考虑直达航班（没有中转），然后逐渐放开限制------允许经过城市A中转，再允许经过城市B中转，直到所有城市都可以作为中转站。最终得到的矩阵就是所有城市之间的最短飞行距离。

3.2 算法步骤（三层循环）

核心代码逻辑（伪代码）：

c 复制代码

// 初始化 dist[i][j] = 边权（直接连接）或 ∞（不直接连接）
// 初始化 dist[i][i] = 0

for (int k = 0; k < n; k++) {          // 外层：中转点
    for (int i = 0; i < n; i++) {      // 中层：起点
        for (int j = 0; j < n; j++) {  // 内层：终点
            if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {
                dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
            }
        }
    }
}

⚠️ 重要：中转点 kkk 必须放在最外层 。如果 kkk 放在内层，会导致某些路径组合被遗漏（因为中转点的考虑顺序会影响能否组合出完整路径）。Floyd算法的动态规划递推关系决定了 kkk 必须在最外层，这一点考试中经常考查。

3.3 执行过程示例

图：4个顶点，边权如下

初始距离矩阵 D(0)D^{(0)}D(0)：

顶点	1	2	3	4
1	0	3	∞	7
2	3	0	1	∞
3	∞	1	0	2
4	7	∞	2	0

经过k=1（允许顶点1作为中转点）后：

检查所有 i,ji, ji,j，看看走 i → 1 → j 是否更短
比如 i=2,j=4i=2, j=4i=2,j=4：原来 dist $2$ $4$ =∞dist $2$ $4$ = ∞dist $2$ $4$ =∞，走 2→1→4=3+7=102→1→4 = 3 + 7 = 102→1→4=3+7=10，更新为10
更新后 D(1)D^{(1)}D(1) 中 dist $2$ $4$ =10dist $2$ $4$ = 10dist $2$ $4$ =10

经过k=2、k=3、k=4逐步更新，最终得到所有顶点之间的最短路径矩阵。

4️⃣ Dijkstra vs Floyd（完整对比表，重点！）

对比项	Dijkstra算法	Floyd算法
解决的问题	单源最短路径（一个起点到所有终点）	多源最短路径（所有起点到所有终点）
算法思想	贪心（每次选dist最小的顶点）	动态规划（逐步允许更多的中转点）
核心数据结构	dist数组 + visited数组	二维距离矩阵
核心循环结构	单层循环（选点+松弛）	三层循环（k在最外层）
时间复杂度	O(n2)O(n^2)O(n2)（邻接矩阵）/ O(elog⁡n)O(e \log n)O(elogn)（堆优化）	O(n3)O(n^3)O(n3)
是否支持负权边	❌ 不支持（贪心失效）	✅ 支持（但不能有负权环）
是否支持负权环	❌ 不支持	❌ 不支持（负权环会导致无限小路径）
空间复杂度	O(n)O(n)O(n)	O(n2)O(n^2)O(n2)
适用场景	单源查询、稠密图或稀疏图均可	需要查询任意两点距离、顶点数较少（n≤200n \le 200n≤200）

5️⃣ 经典例题

例题1（Dijkstra的dist数组）：用Dijkstra算法求从顶点A到各顶点的最短路径。以下哪个是算法执行过程中，某个时刻的dist数组状态？

解析：在Dijkstra执行过程中，dist数组的值会逐步减小（从不大于之前的dist值）。因此，如果某个选项中的dist值比初始值大或出现了"先变小后变大"的情况，就是错误的。

例题2（Floyd的三层循环）：下列关于Floyd算法三层循环顺序的说法中，正确的是（　）。

A. 起点 iii 在最外层，中转点 kkk 在最内层

B. 终点 jjj 在最外层，起点 iii 在最内层

C. 中转点 kkk 在最外层 ，起点 iii 和终点 jjj 在内层

D. 三层循环的顺序不影响最终结果

解析：Floyd算法的关键是中转点 kkk 在最外层 。如果顺序错误，动态规划的状态转移就无法正确完成。选 C。

例题3（判断）：Floyd算法可以处理包含负权环的图。（　）

解析：错误。如果图中存在负权环，任意两个顶点之间的最短路径会趋向于 −∞-\infty−∞，没有有限的最短路径。

6️⃣ 记忆口诀

Dijkstra求单源，贪心选点逐步松。

邻接矩阵 O(n2)O(n^2)O(n2)，负权边下不能碰。

Floyd求多源，动态规划三重圈。

中转点 kkk 在最外，顶点不多用它行。

7️⃣ 小测验（评论区对答案）

用Dijkstra算法求从顶点1到其他顶点的最短路径，以下关于算法执行过程的描述中，正确的是（　）。

A. 每次从所有顶点中选择dist值最小的顶点加入已访问集合

B. 每次从未被访问 的顶点中选择dist值最小的顶点加入已访问集合

C. 算法执行过程中，已访问顶点的dist值可能会被更新

D. Dijkstra算法可以处理负权边

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