六、背包问题
（1）：概述
背包问题：有n个物品，第i个物品的价值为Vi，重量为Wi，并且均为非负数，背包的容量为W（非负数），现需要考虑如何选择装入背包的物品，使装入背包的物品总价值最大化
设：某一背包纵容量为W17，五种物品如图
)1.部分背包（物品可分隔）
这类问题通常可以通过依次选择单位价值（Vi/Wi）最大的物品进行放入，剩余体积不够时进行切割，可以得到最优结果
依次选择单位价值最大，物品5 + 物品3 = 29，29 + 物品2的一部分
)2.0-1背包（物品不可分割）
放置策略：可以将背包问题的求解过程看作是进行一系列决策的过程，即决定哪些物品应该放入背包（总价值最大化）
1、优先放体积最大（贪心法），超过背包体积则放弃其他物品（W5 + W4 = 30）
2、优先放价值最大（贪心法），超过背包体积则放弃其他物品（V5 + V4 = 30）
3、优先放单位价值最大（贪心法），超过背包体积则放弃其他物品（物品5 + 物品3 = 29）
4、按顺序放置（回溯法），不合适就退出来重新放，直到尝试完背包能够放置的所有方案
（1、2、3 = 19）
（1、2、4 = 20）
······
（*）
5、刻画0-1背包问题的最优解的结构（动态规划法）：如果一个问题在最优解包含了物品n，即Xn = 1，那么其余X1、X2、······、Xn-1一定构成子问题1、2、······、n-1在容量W-Wn的最优解。如果这个最优解不包含物品n，即Xn = 0，那么其余X1、X2、······、Xn-1一定构成子问题1、2、······、n-1在容量W的最优解。
递归式：
|-------------|-------------------------------------------|----------------------|---|
| | 执行 | 条件 | |
| | 0 | i==0 或 W==0 | |
| ci, W { | ci-1, W | Wi>W（表示放不下） | } |
| | max{ci-1, W-Wi+Vi}, ci-1, W}（取最大） | i>0 且 W>=Wi（表示可以放） | |
（2）：例题（贪心法）
解：思路：
最先：优先装满
最优：体积最满
问题一：
(1)：j = 0（j初始赋值）
(2)：bj = bj + si（放置物品）
(3)：min = temp（重新赋值最小容量min）
(4)：bm = bm + si（放置物品）
问题二：
(5)：贪心法
(6)：贪心法
(7)：O(n^2)（包含while循环）
(8)：O(n^2)
问题三：
(9)优先装满：1（1，2，4）+1（3，7）+1（5，6）+1（8，9）+1（10） = 5
(10)体积最少：1（1，2，7，10）+1（3，4）+1（5，6）+1（8，9） = 4
(11)：否
（3）：例题（回溯法）
解：
>问题一：
(1)：k = 1（初始值赋值）
(2)：cw = cw + wk（重量赋值）
(3)：k = k - 1（回溯）
(4)：k = k + 1（继续下一个跳转）
>问题二：
(5)：物品2，物品3
(6)：35
(7)：穷举树：2^4-1=15
(8)：8（树已画出）
（4）：例题（动态规划法）
解：思路：根据递归式映射C代码逻辑
>问题一：
(1)：return cij （返回有效数值）
(2)：i > 0 && j >= wi （递归式第三种情况条件）
(3)：Calculate_Max_Value(v, w, i-1, j-wi) + vi（递归式第三种情况）
(4)：cij = temp;
>问题二：
(5)：动态规划法
(6)：自顶向下（最大值减1的方式，顶部最大，所以是自顶向下，反之为自底向上）
>问题三：
(7)：5,6 = 40