【C++】《C++二叉搜索树（BST）从入门到精通：概念、实现与Key/Value模型全解析》

j7～2026-08-24 8:40

一.二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

  • 若它的左子树不为空，则左⼦树上所有结点的值都小于等于根结点的值
  • 若它的右子树不为空，则右⼦树上所有结点的值都大于等于根结点的值
  • 它的左右子树也分别为⼆叉搜索树
  • ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值

举例子图示如下：

代码实现如下：

cpp 复制代码 
struct BSTNode
    {
        K _key;                    // 存储的键值
        BSTNode<K>* _left;         // 左子树指针
        BSTNode<K>* _right;        // 右子树指针

        BSTNode(const K& key)      // 构造函数
            :_key(key)             // 初始化 _key
            , _left(nullptrptr)    
            , _right(nullptrptr)   
        {}
    };

二.二叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： log2 N

最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为： N

所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续内容需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡叉搜索树AVL树和红⿊树 ，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

  1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。

  2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据

这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

三.二叉搜索树的插入

插⼊的具体过程如下：

  1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

  2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。

  3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）

先提供一个数组：

cpp 复制代码 
int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

插入这个16的过程就是比8大往右，同理后续一直到成为14的右子树

插入这个13的过程就是比8小往左和三一样左右都可以，比6小往左，再小往左，同理后续一直到成为4的左子树

cpp 复制代码 
bool Insert(const K& key)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;

			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}

			cur = new Node(key);
			if (parent->_key < key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}

			return true;
		}

四.⼆叉搜索树的查找

  1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。

  2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。

  3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回

  4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回

cpp 复制代码 
bool Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return true;
				}
			}

			return false;
		}

五.二叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

  1. 要删除结点N左右孩⼦均为空

  2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空

  3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空

  4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决⽅案：

  1. 把N结点 的**⽗亲** 对应孩⼦指针指向空 ，直接删除N结点 （情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）

  2. 把N结点的**⽗亲** 对应孩⼦指针指向N的右孩⼦ ，直接删除N结点

  3. 把N结点的**⽗亲** 对应孩⼦指针指向N的左孩⼦ ，直接删除N结点

  4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除 。找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N ，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

图示如下：

a.情况1：删除1（左为空 - cur->_left == nullptr）

cpp 复制代码 
// 删除 1（叶子节点，左为空）
if (cur->_left == nullptr)          // 1的左孩子为空 
{
    if (cur == _root)               // 1不是根节点
    {
        _root = cur->_right;
    }
    else                            // 进入这里
    {
        if (parent->_left == cur)   // 3的左孩子是1 
        {
            parent->_left = cur->_right;    // 3的左孩子 = 1的右孩子(nullptr)
        }
        else                     
        {
            parent->_right = cur->_right;
        }
    }
    delete cur;                     // 释放节点1的内存
}

大致过程：

cur = 1, parent = 3；

1 是 3 的左孩子；

所以parent->_left = cur->_right (nullptr)；

最后再delete cur。

b.情况2：删除10（左为空 - cur->_left == nullptr）

cpp 复制代码 
// 删除 10（左为空，右有14）
if (cur->_left == nullptr)          // 10的左孩子为空 
{
    if (cur == _root)               // 10不是根节点
    {
        _root = cur->_right;
    }
    else                            // 进入这里
    {
        if (parent->_left == cur)   // 13的左孩子是10
        {
            parent->_left = cur->_right;    // 13的左孩子 = 10的右孩子(14)
        }
        else                       
        {
            parent->_right = cur->_right;
        }
    }
    delete cur;                     // 释放节点10的内存
}

大致过程：

1.cur = 10, parent = 13；

2.10 是 13 的左孩子；

3.parent->_left = cur->_right (14)；

4.最后再delete cur.

cpp 复制代码 
//情况3：删除14（右为空 - 左有孩子）
else if (cur->_right == nullptr)    // 14的右孩子为空
{
    if (cur == _root)               // 14不是根节点
    {
        _root = cur->_left;
    }
    else                            // 进入这里
    {
        if (parent->_left == cur)   // 13的左孩子是14? 
        {
            parent->_left = cur->_left;
        }
        else                        // 13的右孩子是14为rue，进入这里
        {
            parent->_right = cur->_left;    // 13的右孩子 = 14的左孩子(10)
        }
    }
    delete cur;                     // 释放节点14的内存
}

大致过程：

1.cur = 3, replaceParent = 3, replace = 4；

2.while (replace->_left) 不执行（4的左孩子为空）；

3.cur->_key = replace->_key (3变成4)；

4.replaceParent->_right = replace->_right (nullptr)；

5.delete replace (删除原节点4)。

情况4：删除3（左右都不为空 - 找右子树最左节点）

cpp 复制代码 
// 删除 8（左右都不为空，右子树最左节点是10）
else                                // 左右都不为空就进入这里
{
    // 找右子树的最左节点（中序后继）
    // 右子树最左节点就是比cur大的所有节点中最小的那个
    Node* replaceParent = cur;      // replaceParent = 3
    Node* replace = cur->_right;    // replace = 4（3的右孩子）

    while (replace->_left)          // 4的左孩子为空那么循环不执行
    {
        replaceParent = replace;
        replace = replace->_left;
    }

    // 用replace的key覆盖cur的key（3变成4）
    cur->_key = replace->_key;
    // 注意：key_value版本还应该复制_value，这里代码没做（有bug）

    // 处理replace的右子树（用replace的右孩子顶替replace）
    if (replaceParent->_left == replace)    
    {
        replaceParent->_left = replace->_right;
    }
    else                                    
    {
        replaceParent->_right = replace->_right;    // 3的右孩子 = 4的右孩子(nullptr)
    }

    delete replace;                 // 释放原节点4
}

大致过程：

1.cur = 8, replaceParent = 8, replace = 13

2.while (replace->_left) 执行：

  • replaceParent = 13, replace = 10
  • 10的左孩子为空，退出循环

3.cur->_key = replace->_key (8变成10)

4.replaceParent->_left = replace->_right (13的左孩子指向nullptr)

5.delete replace (删除原节点10)

完整 Erase 函数代码

cpp 复制代码 
bool Erase(const K& key)
{
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;

    while (cur)
    {
        if (cur->_key < key)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else if (cur->_key > key)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else
        {
            // 删除
            // 左为空
            if (cur->_left == nullptr)
            {
                if (cur == _root)
                {
                    _root = cur->_right;
                }
                else
                {
                    if (parent->_left == cur)
                    {
                        parent->_left = cur->_right;
                    }
                    else
                    {
                        parent->_right = cur->_right;
                    }
                }
                delete cur;
            }
            else if (cur->_right == nullptr)
            {
                if (cur == _root)
                {
                    _root = cur->_left;
                }
                else
                {
                    if (parent->_left == cur)
                    {
                        parent->_left = cur->_left;
                    }
                    else
                    {
                        parent->_right = cur->_left;
                    }
                }
                delete cur;
            }
            else
            {
                // 左右都不为空
                // 右子树最左节点
                Node* replaceParent = cur;
                Node* replace = cur->_right;
                while (replace->_left)
                {
                    replaceParent = replace;
                    replace = replace->_left;
                }

                cur->_key = replace->_key;

                if (replaceParent->_left == replace)
                    replaceParent->_left = replace->_right;
                else
                    replaceParent->_right = replace->_right;

                delete replace;
            }

            return true;
        }
    }

    return false;
}

六.二叉搜索树的实现代码

cpp 复制代码 
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
namespace key
{
	template<class K>
	struct BSTNode
	{
		K _key;
		BSTNode<K>* _left;
		BSTNode<K>* _right;

		BSTNode(const K& key)
			:_key(key)
			, _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
		{
		}
	};

	// Binary Search Tree
	// Key
	template<class K>
	class BSTree
	{
		//typedef BSTNode<K> Node;
		using Node = BSTNode<K>;
	public:

		bool Insert(const K& key)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;

			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}

			cur = new Node(key);
			if (parent->_key < key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}

			return true;
		}

		bool Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return true;
				}
			}

			return false;
		}

		bool Erase(const K& key)
		{
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;

			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					// 删除
					// 左为空
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}
						delete cur;

					}
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							// 右为空
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_left;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_left;
							}
						}

						delete cur;

					}
					else
					{
						// 左右都不为空
						// 右子树最左节点
						Node* replaceParent = cur;
						Node* replace = cur->_right;
						while (replace->_left)
						{
							replaceParent = replace;
							replace = replace->_left;
						}

						cur->_key = replace->_key;

						if (replaceParent->_left == replace)
							replaceParent->_left = replace->_right;
						else
							replaceParent->_right = replace->_right;

						delete replace;
					}

					return true;
				}
			}

			return false;
		}

		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}
	private:

		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}

			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << " ";
			_InOrder(root->_right);
		}

	private:
		Node* _root = nullptr;
	};
}
cpp 复制代码 
//test.cpp
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"BinarySearch.h"

int main()
{
    key::BSTree<int> t;
    int a[] = { 8, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };

    // 插入数据
    printf("插入数据: ");
    for (auto e : a)
    {
        if (t.Insert(e)) printf("%d ", e);
    }
    printf("\n当前树: ");
    t.InOrder();

    // 插入16和3
    printf("\n插入16: %s\n", t.Insert(16) ? "成功" : "失败");
    printf("插入3: %s\n", t.Insert(3) ? "成功" : "失败(已存在)");
    printf("当前树: ");
    t.InOrder();

    // 删除3
    printf("\n删除3: %s\n", t.Erase(3) ? "成功" : "失败");
    printf("当前树: ");
    t.InOrder();

    // 删除8
    printf("\n删除8: %s\n", t.Erase(8) ? "成功" : "失败");
    printf("当前树: ");
    t.InOrder();

    // 循环删除所有
    printf("\n循环删除:\n");
    for (auto e : a)
    {
        if (t.Erase(e))
            printf("删除%d成功 当前树: ", e);
        else
            printf("删除%d失败 当前树: ", e);
        t.InOrder();
    }

    return 0;
}

运行结果如下：

七.⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

1. key搜索场景：

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。

  • 场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊。
  • 场景2：检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。

2.key/value搜索场景：

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

  • 场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂。
  • 场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。
  • 场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

3.key/value⼆叉搜索树代码实现

简单实现一个英译汉字典的demo

cpp 复制代码 
//BinarySearch.h
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;

namespace key_value
{
	template<class K, class V>
	struct BSTNode
	{
		K _key;
		V _value;

		BSTNode<K, V>* _left;
		BSTNode<K, V>* _right;

		BSTNode(const K& key, const V& value)
			:_key(key)
			, _value(value)
			, _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
		{}
	};

	// Binary Search Tree
	// Key/value
	template<class K, class V>
	class BSTree
	{
		//typedef BSTNode<K> Node;
		using Node = BSTNode<K, V>;
	public:
		// 强制生成构造
		BSTree() = default;

		BSTree(const BSTree& t)
		{
			_root = Copy(t._root);
		}

		BSTree& operator=(BSTree tmp)
		{
			swap(_root, tmp._root);
			return *this;
		}

		~BSTree()
		{
			Destroy(_root);
			_root = nullptr;
		}

		bool Insert(const K& key, const V& value)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key, value);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;

			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}

			cur = new Node(key, value);
			if (parent->_key < key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}

			return true;
		}

		Node* Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return cur;
				}
			}

			return nullptr;
		}

		bool Erase(const K& key)
		{
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;

			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					// 删除
					// 左为空
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}
						delete cur;

					}
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							// 右为空
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_left;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_left;
							}
						}

						delete cur;

					}
					else
					{
						// 左右都不为空
						// 右子树最左节点
						Node* replaceParent = cur;
						Node* replace = cur->_right;
						while (replace->_left)
						{
							replaceParent = replace;
							replace = replace->_left;
						}

						cur->_key = replace->_key;

						if (replaceParent->_left == replace)
							replaceParent->_left = replace->_right;
						else
							replaceParent->_right = replace->_right;

						delete replace;
					}

					return true;
				}
			}

			return false;
		}

		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}
	private:
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}

			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
			_InOrder(root->_right);
		}

		void Destroy(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
				return;

			Destroy(root->_left);
			Destroy(root->_right);
			delete root;
		}

		Node* Copy(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
				return nullptr;

			Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
			newRoot->_left = Copy(root->_left);
			newRoot->_right = Copy(root->_right);
			return newRoot;
		}
	private:
		Node* _root = nullptr;
	};
}
cpp 复制代码 
//test.cpp
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "BinarySearch.h"



int main()
{
	key_value::BSTree<string, string> dict;
	//BSTree<string, string> copy = dict;
	dict.Insert("left", "左边");
	dict.Insert("right", "右边");
	dict.Insert("insert", "插入");
	dict.Insert("string", "字符串");

	string str;
	while (cin >> str)
	{
		auto ret = dict.Find(str);
		if (ret)
		{
			cout << "->" << ret->_value << endl;
		}
		else
		{
			cout << "无此单词，请重新输入" << endl;
		}
	}

	return 0;
}

运行结果：

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