线段树

闻缺陷则喜何志丹

【计算几何第10章】更多几何数据结构：截窗数学几何下面是伪代码如果xs是升序排序，代码执行结束后xs的钱i个元素就是全部小于a的数。时间复杂度：O(k+1)，k是xs中小于a的元素的数量。

【题解】可持久化区间仿射区间和（Persistent Range Affine Range Sum）很好小朋友们，我们被要求写一个可持久化线段树，支持区间修改、区间复制和输出区间和。懒标记是必须的，但可持久化线段树一般不太支持 pushdown，尤其在本题中。

ACM CSP竞赛笔记（二十三）——线段树与树状数组【18-1 线段树：建树与区间查询】 https://www.bilibili.com/video/BV1cJ4m1u7yc/?share_source=copy_web&vd_source=2c56c6a2645587b49d62e5b12b253dca

力扣 3161. 块放置查询：线段树解法（Java 实现）LeetCode 3161 块放置查询问题是区间管理与数据结构应用的经典标杆题，也是面试中考察区间维护、动态更新与高效查询能力的核心考点。这道题的核心是破解 “在数轴上动态放置障碍物，并快速查询可放置指定长度块的最左侧位置” 的问题，而线段树是解决该问题的直观、通用的进阶思路 —— 它从区间维护的直接实现入手，在时间 / 空间复杂度与实现复杂度上取得了很好的平衡，完美对应了数据结构思维从入门到高阶的成长路径。

可持久化线段树/主席树学习笔记我们引用一下 OIWIKI 的定义：可持久化数据结构 (Persistent data structure) 总是可以保留每一个历史版本，并且支持操作的不可变特性 (immutable)． --OIWIKI

算法与数据结构精讲：最大子段和（暴力 / 优化 / 分治）+ 线段树从入门到实战最大子段和是最经典的入门题之一；而线段树则是处理区间查询、区间更新的高级数据结构，是进阶必备。本文将基于我提供的完整代码，分两大部分精讲：

树套树+标记永久化：[POI 2006] TET-Tetris 3D&&SPOJ1741 TETRIS3D - Tetris 3D题解双倍经验！非常经典的题目。省流：线段树套线段树、标记永久化。落下一个方块时，我们需要求出该方块在地面投影的区域中，最高的方块高度 x x x，然后将该区域的高度统一更改为 x + w x+w x+w。

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维护序列（信息学奥赛一本通- P1551）（洛谷-P2023）原题来自：AHOI 2009老师交给小可可一个维护数列的任务，现在小可可希望你来帮他完成。有长为 n 的数列，不妨设为 a1,a2,⋯,an 。有如下三种操作形式：

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【例 1】区间和（信息学奥赛一本通- P1547）（基础线段树和单点修改区间查询树状数组模版）给定一个全部为零的数列，规定有两种操作，一是修改某个元素，二是求区间的连续和。输入数据第一行包含两个正整数n,m(n≤100000,m≤500000),以下是m行，

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最大数（信息学奥赛一本通- P1549）（洛谷-P1198）原题来自：JSOI 2008给定一个正整数数列 a1,a2,a3,⋯,an ，每一个数都在 0∼p–1 之间。可以对这列数进行两种操作：

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花神游历各国（信息学奥赛一本通- P1550）（洛谷-P4145）原题来自：BZOJ 3211花神喜欢步行游历各国，顺便虐爆各地竞赛。花神有一条游览路线，它是线型的，也就是说，所有游历国家呈一条线的形状排列，花神对每个国家都有一个喜欢程度（当然花神并不一定喜欢所有国家）。

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【例 2】A Simple Problem with Integers（信息学奥赛一本通- P1548）这是一道模板题。给定数列 a[1],a[2],…,a[n]，你需要依次进行 q 个操作，操作有两类：1、lrx：给定 l,r,x，对于所有 i∈[l,r]，将 a[i] 加上 x（换言之，将 a[l],a[l+1],…,a[r] 分别加上 x）；

数据结构——线段树线段树（Segment tree）是一种数据结构，是算法入门和进阶的分水岭。因为线段树的整体代码量较大，需要有树、递归和分治思想的基础，还能与其他知识点组合成综合题，甚至还能用于优化动态规划。

【算法提高篇】（五）线段树 + 分治：解锁区间问题的终极思路，从最大子段和到复杂序列操作前言一、为什么需要 “线段树 + 分治”？二、核心原理：线段树节点该维护哪些分治信息？三、实战入门：最大子段和（洛谷 P4513 小白逛公园）

【算法提高篇】（四）线段树之多个区间操作：懒标记优先级博弈与实战突破前言一、多个区间操作的核心痛点：优先级决定结果二、经典组合 1：区间乘 + 区间加（洛谷 P3373【模板】线段树 2）

【算法提高篇】（三）线段树之维护更多的信息：从基础到进阶的灵活运用前言一、核心思考：维护多类型信息的三大关键二、基础进阶：无修改的多信息维护 —— 区间最小值查询2.1 例题：忠诚（洛谷 P1816）

【算法提高篇】（二）线段树之区间修改：懒标记的核心奥义与实战实现前言一、为什么基础线段树处理区间修改会 “拉胯”？二、懒标记的核心设计思想：“延迟更新，按需下发”2.1 核心思路拆解

2025 ICPC Wuhan Invitational Contest J：Dictionary（后缀数组+线段树）J. Dictionary time limit per test 4 seconds memory limit per test 1024 megabytes You’re going to learn words from a dictionary for the next q days. The dictionary is a string S = s 1 s 2 ⋯ s n S=s_1s_2⋯s_n S=s1s2⋯sn of length n consisting of lower-cased E

【算法提高篇】（一）线段树之入门篇：从原理到实战，搞定区间操作难题前言一、为什么需要线段树？—— 从实际问题说起二、线段树的核心概念：一棵维护区间的二叉树2.1 线段树的结构特点

零基础薄纱树套树——高级数据结构的结合树套树，顾名思义就是在树里套一个树，这里的树是一种代称，它指的是可以高效的查询和修改的数据结构，比如分块，树状数组，线段树，平衡树，那么既然我们有了这些高效的数据结构我们为什么还要再往里面套一个呢，难道是因为不够高效吗？肯定不是。主要是因为无法解决问题，大多数情况下是因为维度不够，（想象一下，不管是分块，树状数组，线段树，平衡树，他们管理的都是一个一维的数组，也就是区间问题），如果问题是二维的，我们就需要升维，那自然而然，往一维里套一个一维不就是二维的吗。