非自治连续系统稳定性定义与定理判据

考虑如下非自治系统（即系统函数表达式中显含变量 ttt）：

x˙=f(t,x),x∈Rn,t≥t0,(1)\dot{\boldsymbol{x}}=f(t,\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n,t\ge t_0,\tag{1}x˙=f(t,x),x∈Rn,t≥t0,(1)平衡条件为 f(t,0)≡0，∀t≥t0f(t,\boldsymbol{0})\equiv\boldsymbol{0}，\forall t\ge t_0f(t,0)≡0，∀t≥t0，fff 满足局部Lipschitz条件，保证解的存在唯一性。设x(t;t0;x0)\boldsymbol{x}(t;t_0;\boldsymbol{x}_0)x(t;t0;x0) 表示 t0t_0t0 时刻初值 x0\boldsymbol{x}_0x0 对应的解。

稳定性定义

1. Lyapunov稳定

∀ε>0,∃δ(ε,t0)>0\forall \varepsilon>0,\exists\delta(\varepsilon,t_0)>0∀ε>0,∃δ(ε,t0)>0，当∥x0−xe∥<δ\|\boldsymbol x_0-\boldsymbol x_e\|<\delta∥x0−xe∥<δ，则∀t≥t0\forall t\ge t_0∀t≥t0：

∥x(t;t0,x0)−xe∥<ε\|\boldsymbol x(t;t_0,\boldsymbol x_0)-\boldsymbol x_e\|<\varepsilon∥x(t;t0,x0)−xe∥<ε δ\deltaδ依赖ε\varepsilonε和初始时刻t0t_0t0。

2. 一致Lyapunov稳定

∀ε>0, ∃δ(ε)>0\forall \varepsilon>0,\ \exists\delta(\varepsilon)>0∀ε>0, ∃δ(ε)>0（δ\deltaδ与t0t_0t0无关 ），∀t0≥0\forall t_0\ge0∀t0≥0，只要∥x0−xe∥<δ\|\boldsymbol x_0-\boldsymbol x_e\|<\delta∥x0−xe∥<δ，对∀t≥t0\forall t\ge t_0∀t≥t0：

∥x(t;t0,x0)−xe∥<ε\|\boldsymbol x(t;t_0,\boldsymbol x_0)-\boldsymbol x_e\|<\varepsilon∥x(t;t0,x0)−xe∥<ε

3. 局部渐近稳定

• 平衡点xe\boldsymbol x_exe是Lyapunov稳定的；
• ∃δ0(t0)>0\exists\delta_0(t_0)>0∃δ0(t0)>0，若∥x0−xe∥<δ0\|\boldsymbol x_0-\boldsymbol x_e\|<\delta_0∥x0−xe∥<δ0，有
  lim⁡t→+∞x(t;t0,x0)=xe\lim_{t\to+\infty}\boldsymbol x(t;t_0,\boldsymbol x_0)=\boldsymbol x_et→+∞limx(t;t0,x0)=xe

4. 局部一致渐近稳定

• 平衡点xe\boldsymbol x_exe一致Lyapunov稳定；
• ∃δ0>0\exists\delta_0>0∃δ0>0，∀∥x0−xe∥<δ0\forall \|\boldsymbol x_0-\boldsymbol x_e\|<\delta_0∀∥x0−xe∥<δ0，解一致收敛到xe\boldsymbol x_exe：
  即∀η>0, ∃T(η)>0\forall \eta>0,\ \exists T(\eta)>0∀η>0, ∃T(η)>0，对∀t0≥0\forall t_0\ge0∀t0≥0，∀t≥t0+T(η)\forall t\ge t_0+T(\eta)∀t≥t0+T(η)，有
  ∥x(t;t0,x0)−xe∥<η\|\boldsymbol x(t;t_0,\boldsymbol x_0)-\boldsymbol x_e\|<\eta∥x(t;t0,x0)−xe∥<η TTT只与η\etaη有关，与t0t_0t0无关。

5. 全局渐近稳定

• 平衡点xe\boldsymbol x_exeLyapunov稳定；
• ∀x0∈Rn\forall \boldsymbol x_0\in\mathbb R^n∀x0∈Rn，lim⁡t→+∞x(t;t0,x0)=xe\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\boldsymbol x(t;t_0,\boldsymbol x_0)=\boldsymbol x_et→+∞limx(t;t0,x0)=xe。

6. 全局一致渐近稳定

• 平衡点xe\boldsymbol x_exe一致Lyapunov稳定；
• 对任意x0∈Rn\boldsymbol x_0\in\mathbb R^nx0∈Rn，解一致收敛到xe\boldsymbol x_exe。

7. 指数稳定

局部指数稳定：∃α>0, c>0\exists \alpha>0,\ c>0∃α>0, c>0，当∥x0∥\|\boldsymbol x_0\|∥x0∥足够小，

∥x(t)∥≤c∥x0∥e−α(t−t0),∀t≥t0\|\boldsymbol x(t)\|\le c\|\boldsymbol x_0\|e^{-\alpha(t-t_0)},\quad \forall t\ge t_0∥x(t)∥≤c∥x0∥e−α(t−t0),∀t≥t0全局指数稳定：上式对全部x0∈Rn\boldsymbol x_0\in\mathbb R^nx0∈Rn成立。

稳定性判定

V(t,x)V(t,\boldsymbol x)V(t,x): [0,+∞)×Rn→R[0,+\infty)\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}[0,+∞)×Rn→R，连续可微，V(t,0)≡0V (t,\boldsymbol 0)\equiv0V(t,0)≡0。沿轨线的全导数：V˙(t,x)=∂V∂t+∇xV(t,x)f(t,x)\dot{V}(t,\boldsymbol{x})=\frac{\partial V}{\partial t}+\nabla_{\boldsymbol{x}}V(t,\boldsymbol{x})f(t,\boldsymbol{x})V˙(t,x)=∂t∂V+∇xV(t,x)f(t,x)

基本定义

1. K,K∞,KL\mathcal{K}, \mathcal{K}_\infty, \mathcal{KL}K,K∞,KL 类函数定义

• K\mathcal{K}K类函数(严格单调递增函数)：从区间[0,a)[0,a)[0,a)映射到区间R≥0=[0,+∞)\mathbb R_{\ge0}=[0,+\infty)R≥0=[0,+∞)的函数族，即K:{α:[0,a)→[0,+∞)}\mathcal{K}:\left\{\right.\alpha:[0,a)\to[0,+\infty)\left. \right\}K:{α:[0,a)→[0,+∞)}（1）α\alphaα 在定义域 [0,a)[0,a)[0,a) 上连续，其中 0<a≤+∞0<a\le+\infty0<a≤+∞；
  （2）α\alphaα 在定义域 [0,a)[0,a)[0,a) 上严格递增，即有 0≤r1<r2<a  ⟹  α(r1)<α(r2)0\le r_1<r_2<a\implies \alpha(r_1)<\alpha(r_2)0≤r1<r2<a⟹α(r1)<α(r2)；
  (3) α(0)=0\alpha(0)=0α(0)=0
• K∞\mathcal{K}\inftyK∞函数： K\mathcal KK类函数，定义域为[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)，且lim⁡r→+∞α(r)=+∞\displaystyle\lim{r\to+\infty}\alpha(r)=+\inftyr→+∞limα(r)=+∞（无界）。
• KL\mathcal{KL}KL函数：从区间[0,a)×[0,+∞)[0,a)\times[0,+\infty)[0,a)×[0,+∞) 映射到区间R≥0=[0,+∞)\mathbb R_{\ge0}=[0,+\infty)R≥0=[0,+∞)的二维函数族，即KL:{β:[0,a)×[0,+∞)→[0,+∞)}\mathcal{KL}:\left\{\right.\beta:[0,a)\times[0,+\infty)\to[0,+\infty)\left. \right\}KL:{β:[0,a)×[0,+∞)→[0,+∞)}第一个变量满足K\mathcal{K}K类函数条件，固定第二个自变量，函数关于第一个自变量严格递增；固定第一个自变量，函数关于第二个自变量单调递减，且有lim⁡s→+∞β(r,s)=0\lim_{s\to+\infty}\beta(r,s)=0lims→+∞β(r,s)=0

2. V(t,x)V(t,\boldsymbol x)V(t,x) 函数正定

V(t,x)V(t,\boldsymbol{x})V(t,x) 在平衡点 xe\boldsymbol{x}_exe 邻域内是正定的，若存在严格单调递增函数 α∈K\alpha\in\mathcal{K}α∈K，使得V(t,x)≥α(∣∣x−xe∣∣),∀t≥0V(t,\boldsymbol{x})\ge \alpha(||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_e||), \forall t\ge 0V(t,x)≥α(∣∣x−xe∣∣),∀t≥0

3. V(t,x)V(t,\boldsymbol x)V(t,x) 函数递减

V(t,x)V(t,\boldsymbol{x})V(t,x) 在平衡点 xe\boldsymbol{x}_exe 邻域内是递减的，若存在二元函数 β∈K\beta\in\mathcal{K}β∈K，使得V(t,x)≤β(∣∣x−xe∣∣),∀t≥0V(t,\boldsymbol{x})\le \beta(||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_e||), \forall t\ge 0V(t,x)≤β(∣∣x−xe∣∣),∀t≥0

稳定性判定定理

1. 一致Lyapunov稳定

平衡点 xe\boldsymbol{x}_exe 是一致Lyapunov稳定的，若在xe\boldsymbol{x}_exe 邻域内存在 V(t,x)V(t,\boldsymbol{x})V(t,x)，满足：

• α(∣∣x−xe∣∣)≤V(t,x)≤β(∣∣x−xe∣∣)，α，β∈K;\alpha(||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_e||)\le V(t,\boldsymbol{x})\le \beta(||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_e||)，\alpha，\beta\in\mathcal{K};α(∣∣x−xe∣∣)≤V(t,x)≤β(∣∣x−xe∣∣)，α，β∈K;
• V˙(t,x)≤0\dot{V}(t,\boldsymbol{x})\le 0V˙(t,x)≤0

2. 局部一致渐近稳定

平衡点 xe\boldsymbol{x}_exe 是局部一致渐近稳定的，若在xe\boldsymbol{x}_exe 邻域内存在 V(t,x)V(t,\boldsymbol{x})V(t,x)，满足：

• α(∣∣x−xe∣∣)≤V(t,x)≤β(∣∣x−xe∣∣)，α，β∈K;\alpha(||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_e||)\le V(t,\boldsymbol{x})\le \beta(||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_e||)，\alpha，\beta\in\mathcal{K};α(∣∣x−xe∣∣)≤V(t,x)≤β(∣∣x−xe∣∣)，α，β∈K;
• V˙(t,x)≤−γ(∣∣x−xe∣∣)，γ∈K\dot{V}(t,\boldsymbol{x})\le -\gamma(||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_e||)，\gamma\in\mathcal{K}V˙(t,x)≤−γ(∣∣x−xe∣∣)，γ∈K

3. 全局一致渐近稳定（GUAS）Lyapunov定理（Khalil《Nonlinear Systems》） ★★★★★\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar★★★★★

系统x˙=f(t,x),f:[0,∞)×Rn→Rn\dot{\boldsymbol{x}}=f(t,\boldsymbol{x}), f:[0,\infty)\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^nx˙=f(t,x),f:[0,∞)×Rn→Rn 若xe\boldsymbol{x}_exe为平衡点，即有 f(t,xe)=0,∀t≥0f(t,\boldsymbol{x}_e)=\boldsymbol{0},\forall t \ge 0f(t,xe)=0,∀t≥0

定理： 若存在连续可微函数 V(t,x):[0,∞)×Rn→RV(t,\boldsymbol{x}):[0,\infty)\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}V(t,x):[0,∞)×Rn→R 以及K\mathcal{K}K类函数α(⋅)，β(⋅)，γ(⋅)\alpha(\cdot)，\beta(\cdot)，\gamma(\cdot)α(⋅)，β(⋅)，γ(⋅)，对∀x∈Rn，t≥0\forall \boldsymbol{x}\in\mathcal{R}^n，t\ge 0∀x∈Rn，t≥0 满足：

• （一致正定性）α(∣∣x−xe∣∣)≤V(t,x)≤β(∣∣x−xe∣∣)，α，β∈K;\alpha(||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_e||)\le V(t,\boldsymbol{x})\le \beta(||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_e||)，\alpha，\beta\in\mathcal{K};α(∣∣x−xe∣∣)≤V(t,x)≤β(∣∣x−xe∣∣)，α，β∈K;
• （沿轨迹导数负定）V˙(t,x)≤−γ(∣∣x−xe∣∣)，γ∈K\dot{V}(t,\boldsymbol{x})\le -\gamma(||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_e||)，\gamma\in\mathcal{K}V˙(t,x)≤−γ(∣∣x−xe∣∣)，γ∈K
  则平衡点 xe\boldsymbol{x}_exe 是全局一致渐近稳定的，

4. 局部指数稳定

若存在 V(t,x)V(t,\boldsymbol{x})V(t,x) 及常数 c1,c2,c3>0c_1,c_2,c_3>0c1,c2,c3>0，在平衡点 xe\boldsymbol{x}_exe 邻域内满足

• c1∣∣x−xe∣∣2≤V(t,x)≤c2∣∣x−xe∣∣2，α，β∈K;c_1||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_e||^2\le V(t,\boldsymbol{x})\le c_2||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_e||^2，\alpha，\beta\in\mathcal{K};c1∣∣x−xe∣∣2≤V(t,x)≤c2∣∣x−xe∣∣2，α，β∈K;
• V˙(t,x)≤−c3∣∣x−xe∣∣2.\dot{V}(t,\boldsymbol{x})\le -c_3||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_e||^2.V˙(t,x)≤−c3∣∣x−xe∣∣2.
  则平衡点 xe\boldsymbol{x}_exe 是局部指数稳定的。

Barbalat引理 （非自治系统最常用收敛工具）

Barbalat引理是Lyapunov分析里处理非自治系统、时变Lyapunov函数的核心工具，用来从"导数有界/负半顶"推出状态收敛，对标自治系统的LaSalle不变集原理。

Barbalat引理通常可适用于如下情况：

• 自适应控制（参数估计，含时变估计量）
• 时变扰动、时变参考轨迹跟踪
• 周期时变系统

Barbalat引理： 若 g(t):[0,+∞)→Rg(t):[0,+\infty)\to\mathbb Rg(t):[0,+∞)→R一致连续 ；且 lim⁡t→∞∫0tg(τ)dτ\lim_{t\to\infty}\int_0^tg(\tau)d\taulimt→∞∫0tg(τ)dτ存在且有界，则

lim⁡t→+∞g(t)=0\displaystyle\lim_{t\to+\infty}g(t)=0t→+∞limg(t)=0。

Lyapunov场景下的Barbalat引理

若Lyapunov函数V(t,x)V(t,\boldsymbol{x})V(t,x)满足如下条件：

• V(t,x(t))V(t,\boldsymbol{x}(t))V(t,x(t)) 有下界；
• V˙(t,x(t))<0;\dot{V}(t,\boldsymbol{x}(t))<0;V˙(t,x(t))<0;
• V¨(t,x(t))<0\ddot{V}(t,\boldsymbol{x}(t))<0V¨(t,x(t))<0 有界（推出V˙(t,x(t))<0\dot{V}(t,\boldsymbol{x}(t))<0V˙(t,x(t))<0一致连续）
  则有lim⁡t→+∞V˙(t,x(t))=0.\lim_{t\to+\infty}\dot{V}(t,\boldsymbol{x}(t))=0.t→+∞limV˙(t,x(t))=0.

Barbalat引理在应用时令 g=V˙g=\dot{V}g=V˙，

• V¨(t,x(t))<0\ddot{V}(t,\boldsymbol{x}(t))<0V¨(t,x(t))<0 有界，保证V˙\dot{V}V˙的一致连续性；
• V(t,x(t))V(t,\boldsymbol{x}(t))V(t,x(t)) 有下界，V˙(t,x(t))<0\dot{V}(t,\boldsymbol{x}(t))<0V˙(t,x(t))<0单调非增，保证∫0tV˙(τ)dτ\int_0^t \dot{V}(\tau)d\tau∫0tV˙(τ)dτ存在且有界（依据如下单调有界定理）

单调有界定理： 设函数 f:[0,+∞)→Rf:[0,+\infty)\to\mathbb Rf:[0,+∞)→R，满足：

（1） fff 单调递减 ：∀ 0≤t1<t2  ⟹  f(t2)≤f(t1)\forall\, 0\le t_1<t_2 \implies f(t_2)\le f(t_1)∀0≤t1<t2⟹f(t2)≤f(t1)；

（2）fff 有下界 ：∃ m∈R\exists\,m\in\mathbb R∃m∈R，使得 ∀t≥0, f(t)≥m\forall t\ge0,\ f(t)\ge m∀t≥0, f(t)≥m，

则 lim⁡t→+∞f(t)\displaystyle \lim_{t\to+\infty} f(t)t→+∞limf(t) 存在且为有限实数。

自适应闭环 + Barbalat引理完整推导示例

Barbalat引理在自适应控制中使用的完整步骤（Khalil Ch8）

考虑典型自适应闭环，状态x(t)\boldsymbol x(t)x(t)，参数估计θ^(t)\hat{\boldsymbol \theta}(t)θ^(t)，构造 Lyapunov

V(t)=12xTPx+12θ~TΓ−1θ~≥0 V(t) = \frac12 \boldsymbol x^\mathrm{T} P \boldsymbol x + \frac12 \tilde{\boldsymbol \theta}^\mathrm{T}\Gamma^{-1}\tilde{\boldsymbol \theta} \ge 0 V(t)=21xTPx+21θ~TΓ−1θ~≥0θ~=θ^−θ∗\tilde{\boldsymbol \theta}=\hat{\boldsymbol \theta}-\boldsymbol \theta^*θ~=θ^−θ∗ 为参数估计误差。

步骤1：求沿闭环轨迹导数，得到半负定

给定自适应控制 Lyapunov 函数：

V(t)=12xTPx+12θ~TΓ−1θ~ V(t) = \frac12 \boldsymbol x^\mathrm{T} P \boldsymbol x + \frac12 \tilde{\boldsymbol \theta}^\mathrm{T}\Gamma^{-1}\tilde{\boldsymbol \theta} V(t)=21xTPx+21θ~TΓ−1θ~

其中：

• PPP正定对称矩阵；Γ\GammaΓ为自适应增益正定矩阵；
• 参数误差 θ~=θ^−θ∗\tilde{\boldsymbol \theta}=\hat{\boldsymbol \theta}-\boldsymbol \theta^*θ~=θ^−θ∗，θ∗\boldsymbol \theta^*θ∗ 是真实常数参数，故 θ˙∗=0\dot{\boldsymbol \theta}^* = \boldsymbol 0θ˙∗=0，于是
  θ~˙=θ^˙ \dot{\tilde{\boldsymbol \theta}} = \dot{\hat{\boldsymbol \theta}} θ~˙=θ^˙
  对时间求导，代入控制器 + 自适应律，化简得到：

V˙(t)=−xTQx≤0 \dot V(t) = -\boldsymbol x^\mathrm{T}Q\boldsymbol x \le 0 V˙(t)=−xTQx≤0

注意: 这里右端只有 −xTQx-\boldsymbol x^\mathrm{T}Q\boldsymbol x−xTQx，不含参数误差项θ~\tilde{\boldsymbol\theta}θ~，所以 V˙\dot VV˙ 只是半负定，不是负定。

• V(t)≥0, V˙(t)≤0⇒V(t)V(t)\ge 0,\ \dot V(t)\le 0 \Rightarrow V(t)V(t)≥0, V˙(t)≤0⇒V(t)单调不增、有下界，故 lim⁡t→∞V(t)=V∞<+∞\lim\limits_{t\to\infty} V(t)=V_\infty<+\inftyt→∞limV(t)=V∞<+∞。
• 由 V(t)V(t)V(t) 有界，立刻得到: x(t)\boldsymbol x(t)x(t) 有界，θ~(t)\tilde{\boldsymbol\theta}(t)θ~(t) 有界，即所有闭环信号有界。

步骤2：证明 V˙(t)\dot V(t)V˙(t) 一致连续

V˙(t)=−xT(t)Qx(t) \dot V(t) = -\boldsymbol x^\mathrm{T}(t)Q\boldsymbol x(t) V˙(t)=−xT(t)Qx(t)

求二阶导数：

V¨(t)=−x˙TQx−xTQx˙ \ddot V(t) = -\dot{\boldsymbol x}^\mathrm{T}Q\boldsymbol x - \boldsymbol x^\mathrm{T}Q\dot{\boldsymbol x} V¨(t)=−x˙TQx−xTQx˙

因为闭环全部信号 x,x˙,θ~\boldsymbol x,\dot{\boldsymbol x},\tilde{\boldsymbol\theta}x,x˙,θ~ 已经由VVV有界推得有界，因此 V¨(t)\ddot V(t)V¨(t) 有界。

一个可导函数，若导数有界，则原函数一致连续。

于是 V˙(t)\dot V(t)V˙(t) 在 [0,∞)[0,\infty)[0,∞) 上一致连续。

步骤 3：调用 Barbalat 引理

V(t)V(t)V(t)有下界、存在有限极限；V˙(t)\dot V(t)V˙(t)一致连续

⇒lim⁡t→∞V˙(t)=0 \Rightarrow \lim_{t\to\infty}\dot V(t)=0 ⇒t→∞limV˙(t)=0

代入 V˙(t)=−xTQx\dot V(t) = -\boldsymbol x^\mathrm{T}Q\boldsymbol xV˙(t)=−xTQx：

lim⁡t→∞xT(t)Qx(t)=0 \lim_{t\to\infty}\boldsymbol x^\mathrm{T}(t)Q\boldsymbol x(t)=0 t→∞limxT(t)Qx(t)=0

QQQ正定，因此

lim⁡t→∞x(t)=0 \lim_{t\to\infty}\boldsymbol x(t)=0 t→∞limx(t)=0

⚠️ 重要：只能得到状态收敛 x(t)→0\boldsymbol x(t) \to 0x(t)→0，不能得到参数误差 θ~(t)→0\tilde{\boldsymbol\theta}(t) \to 0θ~(t)→0。

参数估计 θ^(t)\hat{\boldsymbol\theta}(t)θ^(t) 只是有界，不一定收敛到真实参数 θ∗\boldsymbol\theta^*θ∗；参数收敛需要额外条件：持续激励 PE(persistent excitation)。