【并查集 / 图论】蓝桥云课 - 魔法大陆的城市群（求无向图连通块数量）题解

1. 题目概述

题目大意 ：给定 nnn 个城市和 mmm 条双向道路。如果两个城市之间可以通过道路直接或间接到达，则属于同一个"城市群"。求魔法大陆上一共有多少个城市群（即求无向图中的连通块数量）。
数据规模 ：2≤n≤1052 \le n \le 10^52≤n≤105，1≤m≤2×1051 \le m \le 2 \times 10^51≤m≤2×105

2. 解题思路

本题是经典的无向图连通块计数问题 。由于数据规模 nnn 达到了 10510^5105，使用 并查集（Disjoint Set Union, DSU） 是最简洁且高效的解法。

核心思想：
- 初始时，将 nnn 个城市视为 nnn 个互相独立的城市群，设置答案计数器 ans = n。
- 顺序读入每条双向道路 (u,v)(u, v)(u,v)，利用并查集查找 uuu 和 vvv 的根节点：
  - 若根节点不同，说明这两个城市群之前不连通，通过当前道路合并两个集合，并将 ans 减 1。
  - 若根节点相同，说明它们早已连通，忽略该条边。
- 处理完所有道路后，剩余的 ans 即为最终的城市群数量。
为什么选择并查集而非 DFS：
- 无需显式建图：不需要构造邻接表保存边关系，边读入边处理，节省内存。
- 防爆栈 ：数据规模 n=105n=10^5n=105 时，若图退化为一条长链，DFS 递归层数过深易引发栈溢出（Segmentation Fault）。并查集配合路径压缩则非常稳定。

3. C++ 源码

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 100005;
int parent[MAXN];

// 查找根节点（带路径压缩）
int find(int x) {
    if (parent[x] == x) return x;
    return parent[x] = find(parent[x]); // 路径压缩，扁平化树结构
}

int main() {
    // 优化标准输入输出流
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, m;
    if (!(cin >> n >> m)) return 0;

    // 1. 初始化：每个城市各自独立为一个集合
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        parent[i] = i;
    }

    int ans = n; // 初始连通块数量为 n

    // 2. 依次处理每条边
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        int rootU = find(u);
        int rootV = find(v);

        // 不属于同一连通块则进行合并，连通块总数 -1
        if (rootU != rootV) {
            parent[rootU] = rootV;
            ans--;
        }
    }

    // 3. 输出最终的连通块数量
    cout << ans << "\n";

    return 0;
}

4. 复杂度分析

时间复杂度 ：O(n+m⋅α(n))O(n + m \cdot \alpha(n))O(n+m⋅α(n))。其中 α\alphaα 为阿克曼函数的反函数，近乎于常数 O(1)O(1)O(1)。即使在最坏情况下，总运算次数也在 10510^5105 级别，运行时间不超过 20ms。
空间复杂度 ：O(n)O(n)O(n)。仅需开辟一个大小为 10510^5105 的 parent 父节点数组，内存消耗小于 1MB。