算法日常・每日刷题--＜贪心＞5

300. 最长递增子序列 - 力扣（LeetCode）300. 最长递增子序列 - 给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如， $3,6,2,7$ 是数组 $0,3,1,6,2,2,7$ 的子序列。示例 1：输入：nums = $10,9,2,5,3,7,101,18$ 输出：4解释：最长递增子序列是 $2,3,7,101$ ，因此长度为 4 。示例 2：输入：nums = $0,1,0,3,2,3$ 输出：4示例 3：输入：nums = $7,7,7,7,7,7,7$ 输出：1 提示： * 1 <= nums.length <= 2500 * -104 <= nums $i$ <= 104 进阶： * 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/

题目描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例：输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18] 输出：4 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4。

思路分析

动态规划朴素解法：dp[i] 代表以i结尾的 LIS 长度，两层循环，时间复杂度 $O(n^2)$。当数据量变大时，$O(n^2)$会超时，于是引入贪心 + 二分查找优化到 $O(n\log n)$。

贪心核心思想

维护数组length： length[k] 含义：长度为 k+1 的上升子序列，末尾元素尽可能小。

为什么要让末尾尽可能小？末尾数字越小，后面越容易接更大的数字，更容易构造更长的上升子序列。

处理逻辑：

遍历原数组每一个元素nums[i]
如果nums[i]大于length数组末尾元素：直接尾插，代表找到了更长的子序列
否则：在length数组中，二分查找第一个 ≥ nums $i$ 的位置 ，用nums[i]替换该位置的值。更新对应长度子序列的最小末尾。

⚠️重点：length数组并不是真实的最长上升子序列，它只用来记录各长度子序列的最小末尾，最终数组的大小才是 LIS 的长度。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int BinarySearch(int left, int right, vector<int>& num, int target) {
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (num[mid] >= target) {
                right = mid;
            } else if (num[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> length;
        length.push_back(nums[0]);
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (nums[i] > length.back())
                length.push_back(nums[i]);
            else {
                int pos = BinarySearch(0, length.size(), length, nums[i]);
                length[pos] = nums[i];
            }
        }
        return length.size();
    }
};