动态规划、贪心算法、分治法

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在算法设计中，贪心算法（Greedy Algorithms）、动态规划与分治法（Divide and Conquer）并列，是最基础、最重要的算法设计思想。

贪心算法

动态规划

小偷背包示例

knapsack是背包的意思。

代码：

java 复制代码

public class Knapsack01 {

    /**
     * 0-1 背包问题求解
     * @param W 背包的总容量
     * @param w 每个物品的重量数组
     * @param v 每个物品的价值数组
     * @return 背包能装下的最大价值
     */
    public static int knapsack(int W, int[] w, int[] v) {
        int n = w.length; // 物品的总个数
        
        // 1. 定义状态数组：dp[i][j] 表示前 i 个物品在容量为 j 时的最大价值
        // 行数是 n+1（包含0个物品的情况），列数是 W+1（包含容量为0的情况）
        int[][] dp = new int[n + 1][W + 1];

        // 2. 遍历物品（相当于填表的行）
        // 从第 1 个物品开始，直到第 n 个物品
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            
            // 3. 遍历背包容量（相当于填表的列）
            // 从容量 0 一直遍历到最大容量 W
            for (int j = 0; j <= W; j++) {
                
                // 核心决策：小偷面对第 i 个物品时的二选一
                if (j < w[i - 1]) {
                    // 情况 A：当前背包容量 j 小于物品重量 w[i-1]
                    // 小偷装不下这个物品，只能放弃。
                    // 此时的最大价值等于【没有这个物品时】的最大价值
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
                } else {
                    // 情况 B：当前背包容量 j 大于等于物品重量 w[i-1]
                    // 小偷可以装下，此时需要比较"装"与"不装"哪个更划算
                    int notTake = dp[i - 1][j]; // 不装：继承上一行的结果
                    int take = dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]; // 装：当前物品价值 + 剩余空间的最优解
                    
                    // 取两者中的最大值
                    dp[i][j] = Math.max(notTake, take); 
                }
            }
        }

        // 4. 返回最终结果：表格右下角的值，即前 n 个物品在容量 W 下的最大价值
        return dp[n][W];
    }

    // 测试代码
    public static void main(String[] args) {
        int W = 5; // 背包容量为 5
        int[] weights = {2, 3, 4}; // 物品重量
        int[] values = {3, 4, 5};  // 物品价值

        int maxValue = knapsack(W, weights, values);
        System.out.println("小偷能偷到的最大价值是: " + maxValue);
    }
}

代码与表格的对应关系

1、i对应表格的行（第几个物品）。注意数组下标从0开始，所以第i个物品的重量是w $i-1$ 。

2、j对应表格的列（当前的背包容量）。

3、dp $i$ $j$ =Math.max(...)就是我们在表格里写下的那个"取最大值"的动作。

动态规划和贪心算法对比

对比维度	贪心算法 (Greedy)	动态规划 (DP)
核心思想	活在当下，只看眼前（局部最优）	统筹全局，步步为营（全局最优）
决策方式	做出选择后绝不后悔（无回溯）	会考察所有可能的子问题，择优保留
是否记笔记	不需要，只记录当前状态	必须记（通过表格/备忘录避免重复计算）
能否保证最优	不一定（取决于问题是否满足贪心性质）	一定能（只要状态转移正确）
运行效率	极高（通常只需排序或单次扫描）	相对较低（通常需要填表，遍历所有子问题）
空间消耗	极低（通常只需几个变量）	较高（需要额外的内存存储 DP 表格）
适用条件	贪心选择性质 + 最优子结构	重叠子问题 + 最优子结构 + 无后效性
通俗比喻	凭直觉走迷宫，选最顺眼的方向，绝不回头	走迷宫时记下每个路口的最优路线，稳扎稳打

分治法

分治法和归并排序经常划到一起。

分治法是核心思想，归并排序是其中一种具体的算法。