2026年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
A题 药材的烘干问题
一、 总体分析
问题1具体分析
问题1属于机理分析类。核心任务是在预热平衡阶段，根据药材圆柱形几何特征、初始温度与含水率、烘房温湿度变化以及给定热物性参数，建立药材内部温度场和水分浓度场模型。建模时可忽略轴向和周向变化，将三维问题简化为一维径向非稳态传热---传质问题，分别基于傅里叶热传导方程和Fick扩散方程建模，并结合中心对称边界与表面对流边界，采用有限差分方法求出不同时间、不同径向位置的温度和水分浓度。
问题2具体分析
问题2仍属于机理分析类，是在问题1基础上的深化。区别在于整个烘干过程中密度、比热容、导热系数和扩散系数均随水分浓度或温度变化，因此需要建立变物性、非线性热湿传递模型。计算过程中应根据当前温度和含水率实时更新各物性参数，再逐步推进温度场与水分场，从而获得3h内及后续烘干阶段的完整动态变化规律。
问题3具体分析
问题3属于机理分析类。本问并非重新建模，而是利用问题2得到的温度---水分动态模型继续延长计算时间，并增加烘干结束判据。由于要求药材各处水分浓度均低于0.15kg/kg，因此应在每个时刻计算整个径向区域的最大水分浓度，寻找其首次低于阈值的时刻，将该时刻确定为烘干完成时间，并同步输出各时刻、各位置的水分浓度结果。
问题4具体分析
问题4属于机理分析类，重点考虑药材失水引起的尺寸收缩。此时半径由常数变为随时间变化的R(t)R(t)R(t)，原固定区域传热传质问题转化为移动边界问题。应先利用附件2构造半径变化函数，再通过ξ=r/R(t)\xi=r/R(t)ξ=r/R(t)将变化区域映射到固定计算区间，同时采用附录4给出的新物性公式更新模型参数，重新求解温度场和水分场，并按照同样的含水率阈值确定修正后的烘干时长。
图1整体解题流程图
二、 问题一思路分析
1具体分析
问题1唯一归类为：机理分析类。
判定依据是本问的最终目标不是利用历史样本预测未知值，也不是寻找最优工艺参数，而是根据热传导和水分扩散的物理规律，建立药材内部温度T(r,t)T(r,t)T(r,t)和水分浓度C(r,t)C(r,t)C(r,t)随时间、空间变化的数学模型。题目明确要求给出不同时间、不同径向位置的温度和水分浓度，因此本质上是一个圆柱体内部非稳态传热---传质场求解问题。
本问给定药材长25cm、半径2cm，初始温度为28°C、初始水分浓度为2.55kg/kg，同时附件1提供烘房温度和水分浓度随时间的变化，附录2给出密度、比热容、热导率、对流换热系数、对流传质系数以及随含水率变化的扩散系数。因此建模信息实际上已经指向两个核心机制：傅里叶热传导与Fick水分扩散。
从几何结构看，药材长度远大于半径，且题目只要求"到药材中心的径向距离"，因此可忽略轴向和周向变化，将三维圆柱问题简化为一维径向轴对称模型。30min内不考虑尺寸变化，将半径固定为R=0.02R=0.02R=0.02m。
整个解题过程可以压缩为：首先读取附件1中0～1800s的烘房温度与水分浓度数据，并插值成每1s的连续边界输入；然后将药材视为均质轴对称圆柱体，根据能量守恒建立径向非稳态热传导方程，根据质量守恒和Fick第二定律建立水分扩散方程，其中水分扩散系数按照题目给定经验公式随CCC动态变化；中心采用对称边界，表面分别采用对流换热和对流传质边界；最后按照Δt=1\Delta t=1Δt=1s、Δr=0.1\Delta r=0.1Δr=0.1cm进行有限差分数值求解，得到完整的T(r,t)T(r,t)T(r,t)与C(r,t)C(r,t)C(r,t)时空矩阵，再提取指定时间和位置填写表1、表2，同时保存到result1.xlsx。
2模型建立
2.1数据处理与模型假设
附件1给出了烘房温度T∞(t)T_\infty(t)T∞(t)和环境水分浓度C∞(t)C_\infty(t)C∞(t)。原始数据按离散时间提供，而结果要求每隔1s输出，因此首先对两列环境数据进行分段线性插值。选择线性插值的原因是它能够准确通过原始观测点，同时不会人为引入高阶插值造成的局部振荡。
空间坐标统一转换为SI单位，取R=0.02R=0.02R=0.02m。为了与结果文件"每隔0.1cm"完全一致，直接设置 m，从中心到表面共得到21个径向节点；时间步长设置为Δt=1\Delta t=1Δt=1s，从0到1800s逐步计算。
建立以下基本假设：药材内部材料均匀、各向同性；初始时刻内部温度和含水率均匀，即T(r,0)=28、、、C(r,0)=2.55；由于长度25cm远大于半径2cm，忽略轴向和周向传递，只考虑径向变化；30min预热阶段尺寸保持不变；按照问题1给出的参数建模，不额外引入题目未给出的蒸发潜热等耦合项，因此温度场与水分场分别求解，但水分方程中的；由于长度25cm远大于半径2cm，忽略轴向和周向传递，只考虑径向变化；30min预热阶段尺寸保持不变；按照问题1给出的参数建模，不额外引入题目未给出的蒸发潜热等耦合项，因此温度场与水分场分别求解，但水分方程中的；由于长度25cm远大于半径2cm，忽略轴向和周向传递，只考虑径向变化；30min预热阶段尺寸保持不变；按照问题1给出的参数建模，不额外引入题目未给出的蒸发潜热等耦合项，因此温度场与水分场分别求解，但水分方程中的D随随随C动态变化。2.2输入与输出模型输入包括药材几何尺寸动态变化。 2.2输入与输出 模型输入包括药材几何尺寸动态变化。2.2输入与输出模型输入包括药材几何尺寸R，初始状态，初始状态，初始状态T_0、、、C_0，附件1给出的，附件1给出的，附件1给出的T_\infty(t)、、、C_\infty(t)，以及，以及，以及\rho=820kg/m3、kg/m³、kg/m3、c_p=2600J/(kg⋅K)、J/(kg·K)、J/(kg⋅K)、k=0.36W/(m⋅K)、W/(m·K)、W/(m⋅K)、h=25W/(m2⋅K)、W/(m²·K)、W/(m2⋅K)、h_m=8\times10^{-7}m/s。水分扩散系数按照题目给定经验公式实时计算，即m/s。 水分扩散系数按照题目给定经验公式实时计算，即m/s。水分扩散系数按照题目给定经验公式实时计算，即D©=7\times10^{-9}\exp(-0.89/C)。最终输出为两个二维时空场：温度。 最终输出为两个二维时空场：温度。最终输出为两个二维时空场：温度T(r,t)和水分浓度和水分浓度和水分浓度C(r,t)。重点提取。重点提取。重点提取t=100,300,600,900,1200,1500,1800s，以及s，以及s，以及r=0,0.005,0.010,0.015,0.020$m处的数据。
2.3核心模型
由圆柱体内部能量守恒和傅里叶热传导定律，可建立轴对称径向非稳态热传导方程：
ρcp∂T∂t=1r∂∂r(kr∂T∂r)\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(kr\frac{\partial T}{\partial r}\right)ρcp∂t∂T=r1∂r∂(kr∂r∂T)。
由于问题1中的ρ\rhoρ、cpc_pcp、kkk均为常数，可进一步定义热扩散率α=k/(ρcp)\alpha=k/(\rho c_p)α=k/(ρcp)。
中心r=0r=0r=0处不存在径向热流，因此满足对称条件∂T∂r(0,t)=0\frac{\partial T}{\partial r}(0,t)=0∂r∂T(0,t)=0。
表面r=Rr=Rr=R与热风之间进行对流换热，因此采用第三类边界条件：
−k∂T∂r(R,t)=hT(R,t)−T∞(t)-k\frac{\partial T}{\partial r}(R,t)=hT(R,t)-T_\\infty(t)−k∂r∂T(R,t)=hT(R,t)−T∞(t)。
初始条件为T(r,0)=28T(r,0)=28T(r,0)=28。
这三个部分共同构成问题1温度场的完整初边值问题。
水分迁移采用Fick第二定律。考虑扩散系数随水分浓度变化，应使用保守形式：
∂C∂t=1r∂∂rrD(C)∂C∂r\frac{\partial C}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\leftrD(C)\\frac{\\partial C}{\\partial r}\\right∂t∂C=r1∂r∂rD(C)∂r∂C，
其中
D(C)=7×10−9exp(−0.89/C)D(C)=7\times10^{-9}\exp(-0.89/C)D(C)=7×10−9exp(−0.89/C)。
药材中心由于对称性不存在净水分通量，因此∂C∂r(0,t)=0\frac{\partial C}{\partial r}(0,t)=0∂r∂C(0,t)=0。
药材表面与烘房空气之间存在对流传质，因此采用：
−D(C)∂C∂r(R,t)=hmC(R,t)−C∞(t)-D(C)\frac{\partial C}{\partial r}(R,t)=h_mC(R,t)-C_\\infty(t)−D(C)∂r∂C(R,t)=hmC(R,t)−C∞(t)。
初始条件为C(r,0)=2.55.C(r,0)=2.55.C(r,0)=2.55.。
这里需要特别注意，DDD不能在整个求解过程中固定为初始值，而应当随着每个节点的CinC_i^nCin更新，否则会丢失题目给出的非线性扩散特征。
2.4分步求解
第1步：读取附件1。保留0≤t≤18000\leq t\leq18000≤t≤1800s的数据，得到烘房温度序列和环境水分浓度序列。
第2步：时间插值。对两组环境变量进行线性插值，构造每秒对应的T∞(t)T_\infty(t)T∞(t)和C∞(t)C_\infty(t)C∞(t)。
第3步：建立计算网格。设置Δt=1\Delta t=1Δt=1s、Δr=0.001\Delta r=0.001Δr=0.001m，形成1801×211801\times211801×21.的时间---空间计算网格。
第4步：初始化。所有空间节点设置Ti0=28T_i^0=28Ti0=28、Ci0=2.55C_i^0=2.55Ci0=2.55。
第5步：更新温度场。根据当前时刻附件1中的环境温度，计算内部节点、中心节点和表面节点的下一时刻温度。
第6步：更新扩散系数。对每个位置利用Din=7×10−9exp(−0.89/Cin)D_i^n=7\times10^{-9}\exp(-0.89/C_i^n)Din=7×10−9exp(−0.89/Cin)重新计算扩散系数。
第7步：更新水分场。根据水分扩散方程、中心对称条件以及表面对流传质条件计算 。
第8步：时间推进。重复第5～7步直到t=1800t=1800t=1800s，形成完整的T(r,t)T(r,t)T(r,t)和C(r,t)C(r,t)C(r,t)。
第9步：结果提取。从矩阵中直接读取100、300、600、900、1200、1500、1800s以及0、0.5、1、1.5、2cm位置的数据，填写表1和表2。
第10步：文件输出。将全部1s×0.1cm的数据按照模板分别写入result1.xlsx的"温度"和"水分浓度"工作表。题目要求完整结果采用这一时间和空间间隔。
3.结果检验
本问建议重点做数值稳定性、网格收敛性和物理合理性三类检验，不需要额外引入复杂统计指标。
首先进行稳定性检验。根据题目参数，可得到α=k/(ρcp)≈1.6886×10−7\alpha=k/(\rho c_p)\approx1.6886\times10^{-7}α=k/(ρcp)≈1.6886×10−7m²/s。当Δt=1\Delta t=1Δt=1s、Δr=0.001\Delta r=0.001Δr=0.001m时，温度方程的傅里叶数约为FoT=αΔt/Δr2≈0.1689Fo_T=\alpha\Delta t/\Delta r^2\approx0.1689FoT=αΔt/Δr2≈0.1689，满足圆柱中心显式离散所需的稳定性限制。初始水分浓度下D(2.55)≈4.9377×10−9D(2.55)\approx4.9377\times10^{-9}D(2.55)≈4.9377×10−9m²/s，因此FoC=DΔt/Δr2≈0.00494Fo_C=D\Delta t/\Delta r^2\approx0.00494FoC=DΔt/Δr2≈0.00494，远低于稳定性上限。由此可知本题直接采用1s时间步、0.1cm空间步进行显式计算具有较好的数值稳定性。
其次进行网格收敛检验。可将计算步长进一步缩小为Δt=0.5\Delta t=0.5Δt=0.5s、Δr=0.0005\Delta r=0.0005Δr=0.0005m重新求解，并比较100、900、1800s等关键时刻、五个指定位置的温度和水分浓度。如果结果在题目要求的四位小数精度下基本稳定，则说明原网格能够满足计算要求。
最后检查物理规律。由于预热阶段烘房温度高于药材内部温度，正常结果应表现为表面升温快、中心升温慢，温度由表面向中心逐步传播；由于附件1中的环境水分浓度远低于药材初始水分浓度，结果应表现为表面首先失水，内部水分下降存在明显滞后，中心水分浓度整体高于表面。若出现中心先于表面升温、内部水分低于表面且无合理原因等现象，应优先检查边界条件符号和中心节点离散方式。
4.总结
问题1属于典型的机理分析类------圆柱体非稳态传热传质问题。核心模型由两个部分构成：温度场采用圆柱坐标下的傅里叶热传导方程，水分场采用扩散系数随含水率变化的Fick扩散方程；中心设置轴对称边界，表面分别设置对流换热和对流传质边界，附件1中的烘房温度和水分浓度作为随时间变化的外部边界输入。
这一问最关键的建模主线可以概括为：附件1边界数据插值→圆柱径向一维化→热传导方程+非线性水分扩散方程→初边值条件→1s×0.1cm有限差分求解→稳定性与物理规律检验→提取指定节点并生成完整结果矩阵。
这一框架既直接对应题目要求，也为后续问题2中进一步引入温度---水分相关变物性参数提供了自然基础。
注：本内容由"数模加油站" 原创出品，虽无偿分享，但创作不易。
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