一、取出第 x 位的值（0 / 1）
公式 ：(n >> x) & 1
功能：获取数字 n 二进制第 x 位，结果只能是 0 或 1
原理拆解
-
n >> x：将二进制整体右移 x 位，把第 x 位移到最右侧第0位 -
& 1：只保留最低位，清空所有高位，最终得到目标位数值
实战案例
n = 11（二进制 1011）
-
(11 >> 2) & 1→ 取出第2位 → 结果 0 -
(11 >> 3) & 1→ 取出第3位 → 结果 1
避坑重点
这里用有符号右移 >>完全没问题！
因为最后 &1 会截断所有高位，哪怕负数右移补1，也不会影响最终结果。
只有 循环整体右移遍历 时，才需要无符号右移 >>>。
二、将第 x 位 设置为 1
公式 ：n = n | (1 << x)
功能 ：强制把第 x 位改成1，其他所有位保持不变
原理拆解
-
1 << x：生成掩码，仅第x位为1，其余全0 -
|按位或：有1则1，0不变
实战案例
n = 11（1011），将第2位置1
11 | (1 << 2) = 1011 | 0100 = 1111（十进制15）
若该位原本就是1，运算后数值不变，无副作用。
三、将第 x 位 设置为 0
公式 ：n = n & ~(1 << x)
功能 ：强制把第 x 位清零，其他所有位保持不变
原理拆解
-
1 << x：生成单1掩码 -
~按位取反：掩码第x位变0，其余全部变1 -
& 按位与：遇0清零、遇1不变，精准清空目标位
实战案例
n = 15（1111），将第3位置0
15 & ~(1 << 3) = 1111 & 0111 = 0111（十进制7）
四、消除最低位的 1（汉明重量核心）
公式 ：n = n &(n - 1)
功能 ：消去二进制最右侧的一个1，其余位不变
核心用途：统计二进制中1的个数（汉明重量最优解）
实战案例
n = 11（1011）
-
11 & 10 = 1010：消去最后一个1 -
10 & 9 = 1000：再消去最后一个1 -
8 & 7 = 0000：最后一个1消除完毕
循环次数 = 二进制中1的个数，时间复杂度最优。
五、保留最低位的 1（lowbit 核心）
公式 ：n & -n
功能 ：只保留二进制最右侧的一个1，其余全部清零
底层原理 ：计算机负数以补码存储，-n = ~n + 1
实战案例
-
n = 11（1011） →
11 & -11 = 1 -
n = 12（1100） →
12 & -12 = 4
高频应用场景
-
树状数组 lowbit 操作
-
判断数字是否为2的幂：
n > 0 && (n == (n & -n))
六、异或（^）三大核心运算律（算法必考）
异或规则：相同为0，不同为1，是「唯一数字、汉明距离」等题目的核心底层逻辑。
所有高阶异或算法，全部基于以下三条定律，必须熟记！
1. 归零律：a ^ a = 0
任意两个相同的数字异或，结果一定为0。
案例：2 ^ 2 = 0、15 ^ 15 = 0
刷题作用：数组中出现两次的数字，全部异或抵消清零。
2. 恒等律：a ^ 0 = a
任意数字和0 异或，结果等于自身。
案例：0 ^ 4 = 4、0 ^ 99 = 99
刷题作用：初始化结果为0，不会改变第一个运算数的值。
3. 交换律 + 结合律
a ^ b ^ c = a ^ (b ^ c) = (a ^ c) ^ b
核心：异或运算顺序无关，随便调换位置结果不变
经典推导：a ^ b ^ a = (a ^ a) ^ b = 0 ^ b = b
刷题作用：完美解决「其余元素出现两次，一个元素只出现一次」的题目。
真题完整演示（透彻理解）
题目：nums = 4,1,2,1,2
整体运算：0 ^ 4 ^ 1 ^ 2 ^ 1 ^ 2
利用运算律重排：0 ^ 4 ^ (1^1) ^ (2^2)
代入定律：0 ^ 4 ^ 0 ^ 0 = 4
最终得到唯一出现一次的数字，线性时间、常量空间，完美符合题目要求。
七、5大公式终极汇总表（直接背诵）
| 运算功能 | 核心公式 |
|---|---|
| 取出第x位（0/1） | (n >> x) & 1 |
| 第x位置1 | `n |
| 第x位置0 | n & ~(1 << x) |
| 消除最低位1 | n & (n - 1) |
| 保留最低位1（lowbit） | n & -n |
八、配套经典刷题模板（可直接运行）
1. 汉明重量（统计1的个数）
java
public int hammingWeight(int n) {
int count = 0;
while(n != 0){
n = n & (n - 1);
count++;
}
return count;
}2. 汉明距离（两数二进制不同位数量）
java
public int hammingDistance(int x, int y) {
int xor = x ^ y;
int count = 0;
while(xor != 0){
xor = xor & (xor - 1);
count++;
}
return count;
}八、终极避坑总结
-
(n>>x)&1无需区分正负，永远正确 -
循环遍历二进制位**
>>>** 负数必须用 无符号右移 -
n&(n-1)消1，n&-n留1，两个极易混淆，务必区分 -
所有位操作位编号默认从0开始，题目从1开始需手动减1