第 8 题：BFS 广度优先搜索------水波扩散
题目考查： 从起点 S 出发进行 BFS，每次按照"上、下、左、右"的顺序检查相邻格子。当终点 E 第一次入队时，已经入队过多少个格子？
选项：
A. 15 B. 12 C. 14 D. 13
🧙 故事：迷宫里的水波探险
想象我们把一滴水滴在迷宫的起点 S 上。
水波会先扩散到离起点最近的格子，再扩散到更远的格子。这就是 BFS（广度优先搜索）的特点：
一层一层向外探索，先探索近处，再探索远处。
BFS 通常使用队列 queue：
-
新发现的格子入队；
-
每次取出队首格子进行探索；
-
越界、障碍格子和已经访问过的格子都跳过。
🔍 本题的关键细节
题目特别规定了检查顺序：
上、下、左、右而且问的是：
当
E第一次入队时，已经入队过多少个格子？
这里要特别注意：E 一入队就应该停止计数，不必等到 E 出队。
按照题目给出的地图和顺序模拟，直到 E 入队时，计数为 14。
✅ 正确答案：C. 14
🌟 小学生记忆法
把 BFS 想成排队买票：
-
新发现的格子排到队伍后面；
-
每次从队伍最前面取出一个格子；
-
按规定顺序寻找新的格子；
-
题目问"入队多少个"，就数被放进队伍的格子，而不是只数已经取出来的格子。
常见陷阱： 把"入队"误认为"出队"，或者忘记按照题目规定的邻居顺序探索。
第 9 题：最大公约数 gcd
题目：
满足
的正整数 n 有多少个？
选项：
A. 8 B. 6 C. 4 D. 5
🧙 故事：寻找共同的因子伙伴
gcd(a,b) 表示 a 和 b 的最大公约数，也就是同时能够整除这两个数的最大正整数。
题目要求：
首先，最大公约数是 6，说明 n 必须是 6 的倍数。
所以可以设：
n = 6 * k
由于 n 不超过 100：
6* k ≤ 100
因此：
🔍 进一步筛选
因为：
所以：
要让最大公约数恰好等于 6，就必须满足：
也就是说，k 不能与 10 有大于 1 的公因数。由于 10 的质因数是 2 和 5，k 不能是 2 的倍数，也不能是 5 的倍数。
在 1 到 16 中符合条件的 k 是：
1, 3, 7, 9, 11, 13
一共有 6 个。
对应的 n 是：
6, 18, 42, 54, 66, 78
✅ 正确答案：B. 6
🌟 记忆方法
遇到：
可以先想一想：
-
n是否一定是d的倍数？ -
令
n=d×k后，k还需要满足什么条件？ -
最后根据范围枚举筛选。
第 10 题：硬币问题------怎样用最少的硬币凑出 9 元？
题目：
某国硬币面值为 1 元、4 元、6 元，数量不限。凑出 9 元最少需要多少枚硬币？
选项：
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
🧙 故事：硬币商店的购物挑战
我们有三种硬币：
1 元、4 元、6 元要凑出 9 元，并且硬币数量越少越好。
可以先尝试较大的硬币：
-
用一枚 6 元硬币，还差 3 元，只能再用三枚 1 元硬币，一共 4 枚；
-
用两枚 4 元硬币，已经有 8 元，还差 1 元，再用一枚 1 元硬币，一共 3 枚。
于是找到了一种 3 枚硬币的方案：
4+4+1=9
🔍 为什么不能只用 2 枚？
两枚硬币的组合只有这些可能：
-
1+1=2 -
1+4=5 -
1+6=7 -
4+4=8 -
4+6=10 -
6+6=12
没有任何一种组合恰好等于 9。
因此，2 枚不够，而 3 枚可以做到。
✅ 正确答案：A. 3
🌟 算法小提醒
这类问题看起来像是"尽量先用大硬币"，但不能不加证明就认为贪心策略一定正确。
对于本题，我们通过检查组合，证明了 3 枚可行、2 枚不可能，所以最少就是 3 枚。
第 11 题：指针与数组------寻宝指针移动记
题目：
int a[5] = {1, 3, 5, 7, 9};
int *p = a + 2;
*(p - 1) = p[0] + p[2];
p[1] = *(a + 1) - a[0];
cout << a[1] << "," << a[3];选项：
A. 14,13
B. 8,13
C. 14,7
D. 14,2
🧙 故事：指针是一根寻宝指针
数组像一排宝箱，每个宝箱都有编号：
| 下标 | a[0] |
a[1] |
a[2] |
a[3] |
a[4] |
|---|---|---|---|---|---|
| 初始值 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
指针 p 指向数组中的某个位置：
int *p = a + 2;a + 2 表示指向 a[2]，所以：
p 指向 a[2]，值为 5第一步：执行 *(p - 1) = p[0] + p[2];
因为 p 指向 a[2]：
-
p[0]就是a[2]，值为 5； -
p[2]就是a[4]，值为 9； -
p - 1指向a[1]。
因此：
a1 = 5+9 = 14
数组变成：
| 下标 | a[0] |
a[1] |
a[2] |
a[3] |
a[4] |
|---|---|---|---|---|---|
| 当前值 | 1 | 14 | 5 | 7 | 9 |
第二步：执行 p[1] = *(a + 1) - a[0];
注意，第一步已经改变了 a[1]！
所以：
-
*(a + 1)就是a[1]，现在值为 14； -
a[0]的值是 1； -
p[1]就是a[3]。
于是：
a3 = 14−1 = 13
数组变成：
| 下标 | a[0] |
a[1] |
a[2] |
a[3] |
a[4] |
|---|---|---|---|---|---|
| 最终值 | 1 | 14 | 5 | 13 | 9 |
最后输出：
cout << a[1] << "," << a[3];得到：
14,13✅ 正确答案：A. 14,13
🌟 指针记忆卡
当 p 指向 a[k] 时：
p[0] == a[k]
p[1] == a[k + 1]
p[-1] == a[k - 1]还要记住：代码是按顺序执行的，前面修改了数组，后面的表达式就会使用修改后的值。
第 12 题：二分查找------每次砍掉一半
题目：
在含有 1000 个互不相同元素的升序数组中，用二分法查找给定值。最坏情况下需要与数组元素比较多少次？
选项：
A. 500 B. 9 C. 11 D. 10
🧙 故事：猜数字游戏
老师心里想了一个数，它藏在从小到大排列的 1000 个数字里。
如果从第一个数字开始一个一个找，最坏可能要找 1000 次。
但二分查找有一个厉害的本领：
每次看中间的数字，就能排除大约一半不可能的范围。
例如：
1000 个候选
↓
约 500 个
↓
约 250 个
↓
约 125 个
↓
...每比较一次，搜索范围就缩小一半左右。
🔍 计算比较次数
因为：
2^9=512
而：
1000 个元素的二分查找，最坏情况下需要 10 次比较。
✅ 正确答案：D. 10
🌟 复杂度记忆
二分查找的时间复杂度是：
O(logn)
注意：二分查找要求数据已经按照适当的顺序排列；本题明确给出了升序数组。
第 13 题：前缀和------从累计总数中找出单独一项
题目：
数组 a[1..n] 的前缀和数组 s 满足：
求 a[10]。
选项：
A. 252 B. 310 C. 58 D. 61
🧙 故事：累计收集宝石
前缀和 s[i] 表示从第 1 项一直加到第 i 项的总和：
例如：
s5 = a1+a2+a3+a4+a5s5
那么，想单独找出第 10 项怎么办？
可以用：
因为 s[10] 比 s[9] 多出来的，恰好就是 a[10]。
第一步：计算 s[10]
s10 = 300+10 = 310
第二步：计算 s[9]
s9 = 243 + 9= 252
第三步：相减
a10 = 310−252 = 58
✅ 正确答案：C. 58
🌟 记忆口诀
前缀和是大账本，
想找一项做减法：
当前总和减前项，
剩下的就是它！
第 14 题：数轴上的距离和------中位数的妙用
题目：
数轴上有 7 个点，坐标分别为：
1, 3, 4, 7, 10, 15, 20
选择一个整数坐标点 P，使 P 到这 7 个点的距离之和最小。最小距离和是多少？
选项：
A. 37 B. 42 C. 40 D. 38
🧙 故事：七位朋友约在哪里见面？
七位朋友住在数轴上的不同位置：
1，3，4，7，10，15，20大家想选一个整数位置集合，让所有人走过来的距离总和最小。
这时可以使用一个数学规律：
一组数到某个位置的绝对距离之和，在中位数位置取得最小值。
第一步：找到中位数
这些坐标已经从小到大排列。
一共有 7 个数，中间第 4 个数就是中位数：
P=7
第二步：计算距离之和
每个点到 7 的距离：
| 坐标 | 到 7 的距离 |
|---|---|
| 1 | 6 |
| 3 | 4 |
| 4 | 3 |
| 7 | 0 |
| 10 | 3 |
| 15 | 8 |
| 20 | 13 |
把它们加起来：
6+4+3+0+3+8+13 = 37
✅ 正确答案：A. 37
🌟 记忆口诀
数轴上要聚一聚，
距离总和想最小；
排序后找中位数，
再把距离加一起。
第 15 题：无向图的度数与边数
题目：
一个无向图有 10 个顶点，其中 4 个顶点的度为 3，其余顶点的度均为 4。该图的边数是多少？
选项：
A. 36 B. 18 C. 17 D. 20
🧙 故事：顶点的握手大会
把图中的每个顶点想象成一位同学。
如果两个顶点之间有一条边，就表示这两位同学握了一次手。
一个顶点的度，就是与它相连的边的数量。
无向图有一个非常重要的规律：
所有顶点的度数之和，等于边数的 2 倍。
为什么呢？
因为每条边连接两个顶点，在统计度数时，这条边会被计算两次------两端各一次。
第一步：计算所有顶点的度数之和
4 个顶点的度为 3：
4×3=12
剩下：
10−4=6
个顶点的度为 4：
6×4=24
度数总和：
12+24=36
第二步：计算边数
设边数为 E：
2E=36
所以：
E=18
✅ 正确答案：B. 18
🌟 图论记忆卡
对于无向图：
边数 = 所有顶点度数之和 / 2
这条规律常被称为握手定理。
🎯 第 8---15 题考点汇总
| 题号 | 正确选项 | 核心知识点 |
|---|---|---|
| 8 | C. 14 | BFS、队列、入队顺序 |
| 9 | B. 6 | 最大公约数、因数筛选 |
| 10 | A. 3 | 硬币组合、最少数量 |
| 11 | A. 14,13 | 指针与数组、按顺序模拟 |
| 12 | D. 10 | 二分查找、对数复杂度 |
| 13 | C. 58 | 前缀和、相邻前缀和相减 |
| 14 | A. 37 | 中位数、绝对距离和 |
| 15 | B. 18 | 无向图度数、握手定理 |
🏆 给同学们的提醒
题目中，有几类题目特别适合用"画图"和"模拟"来解决：
-
BFS 题： 画出队列变化，严格遵守题目给出的搜索顺序。
-
指针题： 先画出数组下标，再一步一步修改数组，千万别跳步。
-
二分查找题： 记住每次缩小一半的特点。
-
前缀和题： 想找单独一项，就用相邻的前缀和相减。
-
图论题： 无向图每条边连接两个顶点，所以度数总和要除以 2。
做选择题时，不要只想着"我好像见过这道题"，而要问自己：
题目给了什么条件？要我求什么？我能用哪个规律把它们连接起来？
能把这三个问题想清楚，你就基本已经成功了。🌟