第一题：进制减半------数字魔法转换器
一、故事背景：数字王国的翻译任务
想象一下，我们生活在一个十进制王国。
平常使用的数字是：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9但是，数字王国里还有其他进制的居民。
例如：
-
二进制：只有0和1。
-
八进制：使用0～7。
-
十进制：使用0～9。
-
十六进制：使用0～9和A～F。
现在，国王给了我们一个任务：
把一个以 m * n 为进制的数字，转换成以 n为进制的数字。
原题将这个转换称为"进制减半"，并要求按照从高位到低位的顺序输入各个数位。
举个例子
假设：
n = 2
m = 2那么原来的进制就是：
m*n = 2*2 = 4也就是说，我们要把一个四进制数转换成二进制数。
例如四进制数：
123它表示：
而27的二进制表示是：
11011所以：
四进制 123 = 二进制 11011这就是我们要完成的魔法。
二、为什么不能直接使用普通整数？
原题给出的数字最多有18位，而且可能超过普通整数类型的表示范围。
所以程序没有直接把整个数字存进一个 int 或 long long 变量，而是采用了数组。
程序的核心数组是：
long long b[N];我们可以把它想象成一排数字储物柜：
b[0] b[1] b[2] b[3] b[4] ...每个格子保存一位数字。
注意：程序把最低位放在 b[0]，而不是最高位。
例如：
数字：123存入数组后：
| 数组下标 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 数组内容 | 3 | 2 | 1 |
| 对应数位 | 个位 | 十位 | 百位 |
这样设计有什么好处？
因为进制转换的过程中，需要反复进行除法和取余，而从最低位开始处理非常方便。
三、核心魔法：为什么要不断除以n？
我们先不看代码，理解数学原理。
假设有一个十进制数：
27想把它转换成二进制。
不断除以2：
| 当前数字 | 除以2的商 | 余数 |
|---|---|---|
| 27 | 13 | 1 |
| 13 | 6 | 1 |
| 6 | 3 | 0 |
| 3 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
把余数从下往上读：
11011这就是二进制结果。
因此，进制转换的基本思想是：
-
不断除以目标进制。
-
记录每次除法的余数。
-
当商变成0时停止。
-
把余数倒过来读。
但是原题的数字可能非常大，不能直接使用普通整数进行除法。
所以程序采用一种更巧妙的方法：
把原来的每一位数字保存到数组中，再模拟"整个数除以n"的过程。
四、程序整体结构
原题程序如下，空缺处用①～⑤表示：
#include <iostream>
constexpr int N = 100005;
long long b[N];
int main() {
long long n, m, d;
std::cin >> n >> m >> d;
int len = 1;
for (int i = 0; i < d; i++) {
long long x;
std::cin >> x;
for (int j = len; j >= 1; j--)
b[j] = ①;
b[0] = ②;
len++;
for (int j = 0; j < len; j++)
if (b[j] >= n) {
b[j + 1] += ③;
b[j] = ④;
if (j + 1 == len) len++;
}
}
while (⑤) len--;
for (int i = len - 1; i >= 0; i--)
std::cout << b[i] << ' ';
return 0;
}我们先抓住整个程序的主线：
读入一位原数 → 更新数组 → 对整个数组进行除法处理 → 去掉前导零 → 输出结果。
下面逐个填空。
五、第34题：①处应该填什么？
原题选项：
A. b[j] * n
B. b[j] * m
C. b[j - 1] * n
D. b[j - 1] * m
1. 先看这段代码
for (int j = len; j >= 1; j--)
b[j] = ①;它的作用是什么？
每次读入一个新的数位后，程序需要把原来保存的数字整体向高位移动一格，再把新读入的数位放到最低位。
例如原来数组保存：
b[2] b[1] b[0]
1 2 3现在读入新数位4。
我们需要得到：
b[3] b[2] b[1] b[0]
1 2 3 4注意数组实际是倒着保存的，所以原来的每个数位都要向更大的下标移动一格。
2. 应该怎样移动？
原来：
b[2] = 1;
b[1] = 2;
b[0] = 3;移动后：
b[3] = b[2];
b[2] = b[1];
b[1] = b[0];因此，正确的移动方式是：
b[j] = b[j - 1];答案
第34题：C。
记忆口诀
数组整体向高位移动：
b[j] = b[j - 1];就是把前一个格子的内容搬到后一个格子里。
六、第35题：②处应该填什么？
原题选项：
A. x * n
B. x
C. 0
D. m
1. 看看新读入的数字放在哪里
代码：
b[0] = ②;我们刚才已经知道：
-
原来的数字整体向高位移动。
-
新读入的数位应该放在最低位，也就是
b[0]。
假设刚刚读入：
x = 7那么最低位就应该保存7。
因此：
b[0] = x;答案
第35题：B。
记忆口诀
新数字放最低位：
b[0] = x;七、第36题：③处应该填什么？
原题选项：
A. b[j] / m
B. b[j] % n
C. b[j] % m
D. b[j] / n
1. 先理解数组中的进位
我们要把一个数转换成n进制。
在n进制中，每一位只能是：
0、1、2、......、n-1如果某一位达到n或超过n，就必须向高位进位。
例如，在二进制中：
2 = 10（二进制）所以：
当前位留下0
向高位进1对于一般的n进制：
当前位的数值 = 原数值 % n
进位 = 原数值 / n2. 看看原题代码
if (b[j] >= n) {
b[j + 1] += ③;
b[j] = ④;
}其中：
b[j + 1] += ③;是把进位加到更高一位。
因此，③应该计算：
当前数位能够向高位贡献多少个n。
也就是：
b[j] / n答案
第36题：D。
八、第37题：④处应该填什么？
原题选项：
A. b[j] / m
B. b[j] % n
C. b[j] % m
D. b[j] / n
1. 当前位需要留下什么？
假设我们正在处理一个二进制数位。
当前格子里有：
b[j] = 5二进制中：
5 = 101（二进制）所以：
当前位留下1
向高位进2一般情况下：
当前位留下 b[j] % n进位则是：
b[j] / n因此：
b[j] = b[j] % n;答案
第37题：B。
记忆口诀
进制转换中的除法与取余：
进位 = b[j] / n;
当前位 = b[j] % n;这与十进制竖式加法中的"满十进一"是同一个思想，只不过这里变成了"满n进一"。
九、第38题：⑤处应该填什么？
原题选项：
A. len > 0 && b[len - 1] == 0
B. len > 0 && b[0] == 0
C. len > 1 && b[len - 1] == 0
D. len > 1 && b[0] == 0
1. 为什么需要删除前导零？
例如，某个结果在数组中保存为：
b[3] = 0
b[2] = 0
b[1] = 1
b[0] = 1从高位到低位输出：
0011但是我们通常希望输出：
11因此，程序需要把最高位多余的0去掉。
2. 最高位在哪里？
由于数组是倒着保存的：
b[0]：最低位
b[1]：次低位
b[2]：更高位
......所以当前最高位是：
b[len - 1]如果它等于0，就可以把长度减1：
len--;3. 为什么必须保证 len > 1？
假设转换结果是0。
如果不限制长度，程序可能不断删除最高位，最后长度变成0，导致输出循环无法正确输出一个0。
因此必须保留至少一位。
正确条件是：
len > 1 && b[len - 1] == 0答案
第38题：C。
十、第一题完整答案与代码
答案汇总
| 题号 | 空格 | 正确选项 | 填入内容 |
|---|---|---|---|
| 34 | ① | D | b[j - 1] * m |
| 35 | ② | B | x |
| 36 | ③ | D | b[j] / n |
| 37 | ④ | B | b[j] % n |
| 38 | ⑤ | C | len > 1 && b[len - 1] == 0 |
填空后的完整程序
#include <iostream>
constexpr int N = 100005;
long long b[N];
int main() {
long long n, m, d;
std::cin >> n >> m >> d;
int len = 1;
for (int i = 0; i < d; i++) {
long long x;
std::cin >> x;
for (int j = len; j >= 1; j--)
b[j] = b[j - 1] * m;
b[0] = x;
len++;
for (int j = 0; j < len; j++)
if (b[j] >= n) {
b[j + 1] += b[j] / n;
b[j] = b[j] % n;
if (j + 1 == len) len++;
}
}
while (len > 1 && b[len - 1] == 0)
len--;
for (int i = len - 1; i >= 0; i--)
std::cout << b[i] << ' ';
return 0;
}第一题通关口诀
先整体乘m，再加新数位；
满n就进位，余数留当前；
最后去前导零，从高位向低位输出。