Python凸优化cvxpy初步

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安装与测试

cvxpy是Python的开源凸优化建模库，用于求解满足一定约束条件时的凸函数的最值问题。在凸函数中，任意两点的连线，均在函数的一侧，这种性质非常优良，易于求求解最值。而cvxpy为凸优化问题提供了便捷人性化的语法，使用起来非常方便，下面安装后做一个简单的示例

复制代码

pip install cvxpy -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

考虑当 x + y ⩾ 1 x+y\geqslant1 x+y⩾1时， x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2的最小值，用cvxpy求解如下

python 复制代码

import cvxpy as cp

x, y = cp.Variable(), cp.Variable() # 优化变量
obj = cp.Minimize(x**2 + y**2)      # 目标函数
constraints = [x + y >= 1]          # 约束条件

prob = cp.Problem(obj, constraints) # 定义问题
prob.solve()                        # 求解

print("最优状态:", prob.status)
# 最优状态: optimal
print(f"最优目标值{prob.value:.2f}, x={x.value:.2f}, y={y.value:.2f}")
# 最优目标值0.50, x=0.50, y=0.50

基础表达式

从上面的示例可以看出，cvxpy中的优化变量，重载了运算符，遵循其自身的语法进行建模。例如其约束被定义为x+y>=1，目标函数被定义为x**2+y**2，这些不符合Python语法的表达式被称作cvxpy表达式。

在cvxpy中，表达式由变量、参数、数值常量、运算符+, -, *, /, @以及cvxpy中的原子函数构成，示例如下

python 复制代码

import cvxpy as cp

x, y = cp.Variable(), cp.Variable()
a, b = cp.Parameter(), cp.Parameter(value=2)

# CVXPY表达式示例
3.69 + b/3
x - 4*a
cp.sqrt(x) - cp.minimum(y, x - a)
cp.maximum(2.66 - sqrt(y), square(x + 2*y))

其中，cp.Variable是变量，cp.Parameter是参数。在优化过程中，变量将被优化至最优值，而参数则是固定的，且在优化之前，必须指定其value。从数学过程来看，上面的b和 2 2 2没什么区别。但是，如果想测试多种不同参数的情况，二者就会表现出巨大差异。当a,b作为参数传入到某个优化问题后，该模型便已被cvxpy编译，后续在优化时，只需重新指定a,b的数值即可；但是，如果不使用参数，而直接填入数值，那么每次优化前，都需要重新编译一遍模型。

问题

一个凸优化问题，数学表达式仅包含两个部分，即目标函数和约束条件。cvxpy中定义了两类目标函数，分别是最小化Minimize和最大化Maximize，二者的输入参数均为cvxpy表达式；约束条件则是约束表达式的列表。

通过目标函数和约束条件即可实现Problem对象，调用Problem中的solve方法，即可完成凸优化问题的求解。solve的部分参数如下

【solver】字符串类型，用于指定求解器，可选ECOS, SCS, OSQP等。
【verbose】为True时可打印日志
【gp】为True时，cvxpy将问题视为几何规划，自动进行变量代换。
【qcp】为True时，允许目标函数或约束是拟凸的，cvxpy 会通过二分法将其转化为一系列凸可行性问题来求解。
【requires_grad】为True时，开启自动微分。
【enforce_dpp】为True时，强制DPP检查，以确保问题对参数可微。
【ignore_dpp】为True时，忽略DPP检查，可节省时间。