【单调队列优化DP】U301134 绿色通道

题意理解

题目问"最长的空题段至少有多长"，等价于问：

是否存在一种抄题方案，使得总时间 ≤ t，且任意连续空题段长度 ≤ x？求这个x的最小值。

解题思路

a. 二分思想

如果空题间隔x过小，可能总时间会超过t；如果x过大总时间达不到t，但不是满足题意条件的最小值。总时间随着x的增加，可能是不上升的，可以想到二分。我们写一个二分，初始化l=-1(不可取到)，r=n（可取）。令mid=(l+r)/2，写个check函数，如果check(mid)返回True，说明x超过了t，这时l=mid；否则r=mid。

b.check函数实现------单调队列优化DP

根据题意，在最大空题间隔为x的情况下，如果最小的空题方案还大于x，那就返回True；否则返回False。所以我们要求在最大空题间隔为x的情况下，能使总时间最短的空题方案。前i题里面，我们记抄了第i题的最短总时间为dp $i$ 。

那么对于i（1<=i<=n），我们可以让a $i$ +min{dp $j$ }(i-x-1<=j<=i-1)。这里就可以考虑单调队列。在实现上，前x+1个数有可能i-x-1会下标越界，要特判。我们也可以虚拟一个第0题，耗时0分钟，这个最先入队，就可以不用写特判。

最后，我们的答案会在 $n-x,n$ 之间找最小值。我们也可以虚拟一个第n+1题耗时0分钟，必做。通过下面的代码，可以把最小值转移到dp $n+1$ 上。最后，返回dp $n+1$ >=t。

核心代码

cpp 复制代码

bool check(int x){
	deque<int> dq;
	dq.push_back(0);
	for(int i=1;i<=n+1;i++){
			while(dq.size()&&i-dq.front()>x+1) dq.pop_front();
			int ft=dq.front();
			dp[i]=dp[ft]+a[i];
		while(dq.size()&&dp[i]<=dp[dq.back()]) dq.pop_back();	
		dq.push_back(i);
	}
	return dp[n+1]>=t;
}

AC代码

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn=5e4+5;
int a[maxn],s,n,t,dp[maxn];
bool check(int x){
	deque<int> dq;
	dq.push_back(0);
	for(int i=1;i<=n+1;i++){
			while(dq.size()&&i-dq.front()>x+1) dq.pop_front();
			int ft=dq.front();
			dp[i]=dp[ft]+a[i];
		while(dq.size()&&dp[i]<=dp[dq.back()]) dq.pop_back();	
		dq.push_back(i);
	}
	return dp[n+1]>=t;
}
int main(){
	cin>>n>>t;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		s+=a[i]; 
	}
	int l=-1,r=n;
	while(l+1<r){
		int mid=(l+r)/2;
		if(check(mid)) l=mid;
		else r=mid;
	}
	cout<<r;
	return 0;
}