在交换环（带单位元 1≠01 \neq 01=0）中，主理想（Principal Ideal）是指由单个元素生成的理想。
它是线性代数中"一维子空间"或算术中"某个数的全部倍数"在环论中的推广。
定义
设 RRR 为一个有单位元的交换环，a∈Ra \in Ra∈R 是 RRR 中的一个元素。 III 为 RRR 中所有 aaa 的倍数构成的集合：
I={r⋅a∣r∈R} I=\{ r \cdot a \mid r \in R \} I={r⋅a∣r∈R}
称 III 为由元素 aaa 生成的主理想，记作 (a)(a)(a) 或 aRaRaR （或 RaRaRa）
III 符合理想的定义：
- 加法封闭 ：对任意 r1a,r2a∈(a)r_1 a, r_2 a \in (a)r1a,r2a∈(a)，有 r1a−r2a=(r1−r2)a∈(a)r_1 a - r_2 a = (r_1 - r_2)a \in (a)r1a−r2a=(r1−r2)a∈(a)。
- 乘法吸收 ：对任意 x∈Rx \in Rx∈R 及 ra∈(a)r a \in (a)ra∈(a)，有 x⋅(ra)=(xr)a∈(a)x \cdot (ra) = (xr)a \in (a)x⋅(ra)=(xr)a∈(a)。
因此，III 是 RRR 的一个理想。这个叫法没有问题。
主理想的例子
(1) 整数环 Z\mathbb{Z}Z
在 Z\mathbb{Z}Z 中，每个理想都是主理想：
- (2)=2Z={...,−4,−2,0,2,4,... }(2) = 2\mathbb{Z} = \{ \dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots \}(2)=2Z={...,−4,−2,0,2,4,...} 是由 2 生成的主理想（所有偶数）。
- (5)=5Z={...,−10,−5,0,5,10,... }(5) = 5\mathbb{Z} = \{ \dots, -10, -5, 0, 5, 10, \dots \}(5)=5Z={...,−10,−5,0,5,10,...} 是由 5 生成的主理想。
- (0)={0}(0) = \{0\}(0)={0} 是零理想（由单位元 000 生成）。
- (1)=Z(1) = \mathbb{Z}(1)=Z 是整个环（由单位元 111 生成）。
(2) 一元多项式环 FxFxFx（FFF 为域）
- 在 Rx\mathbb{R}xRx 中，(x2+1)={f(x)⋅(x2+1)∣f(x)∈Rx}(x^2 + 1) = \{ f(x) \cdot (x^2 + 1) \mid f(x) \in \mathbb{R}x \}(x2+1)={f(x)⋅(x2+1)∣f(x)∈Rx}，即所有能被 x2+1x^2 + 1x2+1 整除的多项式构成的集合。
不是主理想的理想的例子
- 在二元多项式环 Zx,y\mathbb{Z}x,yZx,y 或 Qx,y\mathbb{Q}x, yQx,y 中，理想 I=(x,y)={f(x,y)x+g(x,y)y}I = (x, y) = \{ f(x,y)x + g(x,y)y \}I=(x,y)={f(x,y)x+g(x,y)y}（即常数项为 0 的多项式集合）不能由单个多项式生成，因此它不是主理想。