在三维空间中，考虑两个右手直角坐标系 O1X1Y1Z1O_1X_1Y_1Z_1O1X1Y1Z1 与 O2X2Y2Z2O_2X_2Y_2Z_2O2X2Y2Z2。已知 O2O_2O2 在 O1X1Y1Z1O_1X_1Y_1Z_1O1X1Y1Z1 中的坐标为 (a,b,0)(a,b,0)(a,b,0)，而 O2X2Y2Z2O_2X_2Y_2Z_2O2X2Y2Z2 的姿态由 O1X1Y1Z1O_1X_1Y_1Z_1O1X1Y1Z1 绕自身 Z1Z_1Z1 轴逆时针旋转 θ\thetaθ 角后，再将原点平移至 O2O_2O2 而得到。这里约定 θ\thetaθ 的正方向为从 Z1Z_1Z1 轴正端观察时的逆时针方向。由于旋转轴为 ZZZ 轴且平移向量没有 zzz 分量，整个变换在 zzz 方向上保持恒等，本质上是一个二维平面刚体变换。
设空间任意一点 PPP 在 O1X1Y1Z1O_1X_1Y_1Z_1O1X1Y1Z1 中的坐标为 (x1,y1,z1)(x_1,y_1,z_1)(x1,y1,z1)，在 O2X2Y2Z2O_2X_2Y_2Z_2O2X2Y2Z2 中的坐标为 (x2,y2,z2)(x_2,y_2,z_2)(x2,y2,z2)。绕 ZZZ 轴旋转 θ\thetaθ 角的旋转矩阵为
Rz(θ)=(cosθ−sinθ0sinθcosθ0001).R_z(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.Rz(θ)= cosθsinθ0−sinθcosθ0001 .
这个矩阵作用于 O2O_2O2 系中的坐标向量，将其变换到与 O1O_1O1 系姿态相同的中间坐标系下，再加上原点平移向量 (a,b,0)T(a,b,0)^T(a,b,0)T，就得到 O1O_1O1 系中的坐标。因此从 O2X2Y2Z2O_2X_2Y_2Z_2O2X2Y2Z2 到 O1X1Y1Z1O_1X_1Y_1Z_1O1X1Y1Z1 的坐标变换关系为
(x1y1z1)=Rz(θ)(x2y2z2)+(ab0).\begin{pmatrix}x_1\\ y_1\\ z_1\end{pmatrix}=R_z(\theta)\begin{pmatrix}x_2\\ y_2\\ z_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\ b\\ 0\end{pmatrix}. x1y1z1 =Rz(θ) x2y2z2 + ab0 .
展开后可以写为
x1=x2cosθ−y2sinθ+a,x_1=x_2\cos\theta-y_2\sin\theta+a,x1=x2cosθ−y2sinθ+a,
y1=x2sinθ+y2cosθ+b,y_1=x_2\sin\theta+y_2\cos\theta+b,y1=x2sinθ+y2cosθ+b,
z1=z2.z_1=z_2.z1=z2.
从几何结构上看，Rz(θ)R_z(\theta)Rz(θ) 是一个正交矩阵，满足 Rz(θ)TRz(θ)=IR_z(\theta)^T R_z(\theta)=IRz(θ)TRz(θ)=I 且行列式为 111，因此该矩阵属于三维空间中的特殊正交群 SO(3)SO(3)SO(3)。更具体地说，它保持 ZZZ 轴不变，只在 XYXYXY 平面内进行旋转，所以它是平面旋转群 SO(2)SO(2)SO(2) 在三维空间中的一个自然嵌入。由于平移向量 (a,b,0)(a,b,0)(a,b,0) 也位于同一平面内，整个变换是一个保持距离和夹角的刚体运动，不会改变 zzz 坐标。这种性质使得该问题可以降维到 XYXYXY 平面内讨论，但齐次坐标形式仍保留三维结构，以便于后续与其他三维变换复合。
在机器人学、计算机视觉和机构运动学中，常把旋转和平移统一表示为 4×44\times44×4 的齐次变换矩阵。对于本题，从 O2O_2O2 系到 O1O_1O1 系的齐次变换矩阵为
TO1←O2=cosθ−sinθ0asinθcosθ0b00100001.T_{O_1\leftarrow O_2}=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0 & a\\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & b\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.TO1←O2= cosθsinθ00−sinθcosθ000010ab01 .
于是坐标变换可以紧凑地写成
(x1y1z11)=TO1←O2(x2y2z21).\begin{pmatrix}x_1\\ y_1\\ z_1\\ 1\end{pmatrix}=T_{O_1\leftarrow O_2}\begin{pmatrix}x_2\\ y_2\\ z_2\\ 1\end{pmatrix}. x1y1z11 =TO1←O2 x2y2z21 .
如果需要反向从 O1X1Y1Z1O_1X_1Y_1Z_1O1X1Y1Z1 变换到 O2X2Y2Z2O_2X_2Y_2Z_2O2X2Y2Z2，只需对上式求逆。由于旋转矩阵的逆等于其转置，且平移部分也需要相应反向，可得
(x2y2z2)=Rz(θ)T(x1−ay1−bz1).\begin{pmatrix}x_2\\ y_2\\ z_2\end{pmatrix}=R_z(\theta)^T\begin{pmatrix}x_1-a\\ y_1-b\\ z_1\end{pmatrix}. x2y2z2 =Rz(θ)T x1−ay1−bz1 .
将转置矩阵写出来就是
(x2y2z2)=(cosθsinθ0−sinθcosθ0001)(x1−ay1−bz1).\begin{pmatrix}x_2\\ y_2\\ z_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1-a\\ y_1-b\\ z_1\end{pmatrix}. x2y2z2 = cosθ−sinθ0sinθcosθ0001 x1−ay1−bz1 .
这等价于先把 O1O_1O1 系中的点平移到以 O2O_2O2 为原点的中间坐标系，再绕 ZZZ 轴反向旋转 θ\thetaθ 角。整个变换的逆具有明确的几何意义：先减去平移向量 (a,b,0)T(a,b,0)^T(a,b,0)T，再施加 −θ-\theta−θ 的旋转。
该变换关系也体现了旋转与平移的不可交换性。本题中 O2O_2O2 系是先旋转后平移得到的，因此变换顺序是先旋转后平移；若先平移后旋转，结果会不同。而齐次矩阵 TO1←O2T_{O_1\leftarrow O_2}TO1←O2 通过增广一维把仿射变换线性化，使得连续多个坐标系的变换可以通过矩阵连乘简洁地表达。理解这种旋转加平移的标准形式，是处理平面移动机器人定位、二维图像配准以及三维空间中标定问题的基础。