第 8 题：拓扑排序------四个小朋友怎样排队？
考点
有向无环图、拓扑排序
题目给出一个有向无环图：
-
顶点：{1,2,3,4}
-
边：{(1,2),(1,3)}
-
顶点 4 与任何顶点都不相邻。
问：这个图有多少种不同的拓扑序？
-
A. 12
-
B. 8
-
C. 4
-
D. 6
第一步：把图画出来
边 (1, 2) 表示 1 指向 2，边 (1, 3) 表示 1 指向 3。
第二步：理解什么叫拓扑序
拓扑序就是给图中的顶点排队，并且满足所有箭头的要求。
例如：
1, 2, 3, 4
是合法的，因为 1 在 2、3 前面。
但：
2, 1, 3, 4
不合法，因为 1 指向 2，1 必须排在 2 前面。
因此，我们只需要记住：
-
1 必须在 2 前面。
-
1 必须在 3 前面。
-
2 和 3 之间没有先后限制。
-
4 可以排在任何位置。
第三步：先决定 1 的位置
因为 1 必须排在 2、3 前面，所以 1 不可能排在最后，也不可能排在 2 或 3 后面。
我们分情况讨论。
情况一：1 排在第 1 位。
剩下的 2、3、4 可以任意排列：
3! = 6
种。
情况二：1 排在第 2 位。
那么 2 和 3 都必须排在 1 后面。
第 1 位只能由 4 占据，因此只剩下 2、3、4 的排列方式受到限制，具体只有：
4, 1, 2, 3
4, 1, 3, 2
共 2 种。
所以总数为：
6+2 = 8
正确答案：B（8）。
小结
拓扑排序不是要求所有点都按编号排列，而是要求所有箭头的先后关系都成立。
遇到这种题，先找出"谁必须在谁前面"，再分类计数，通常比直接枚举全部排列更清晰。
第 9 题：分治算法------把大任务拆成两个小任务
考点
分治算法、时间复杂度
题目给出：
T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + Θ(n)
并且：
T(1) = O(1)
问：T(n) 的渐进时间复杂度是什么？
-
A. Θ(nlogn)
-
B. Θ(n^2)
-
C. Θ(n^{1.5})
-
D. Θ(n)
第一步：看懂题目要求
想象你要完成一个大任务，规模是 n。
你把它分成两份：
-
第一份规模是 n / 3。
-
第二份规模是 2n / 3。
除了完成这两个小任务，你还要花费 Θ(n) 的时间来分配任务、整理结果等。
因此：
T(n)=T(n/3)+T(2n/3)+Θ(n)
这里的 Θ(n) 可以理解为：额外工作量与 n 成正比。
第二步：画出分治的任务树
一点特别重要：
第一层的工作量大约是 n，
第二层所有子任务的规模总和仍然约为 n。
继续分下去，每一层的总工作量都可以理解为约 n。
第三步：一共有多少层？
每次沿着最大的子任务继续走，规模会变成原来的 2/3。
经过 k层后，规模大约为：
当它下降到 1 左右时，递归就结束了。
因此：
≈1
整理可得：
换成渐进复杂度的写法，就是：
k=Θ(logn)
第四步：总工作量是多少？
每一层的总工作量约为 n，而层数约为 logn。
所以：
T(n)=Θ(n)×Θ(logn)
最终得到：
正确答案：A。
小结
分治题可以先问两个问题：
-
每一层的总工作量是多少？
-
一共需要多少层？
这道题每层约为 n，一共约有 logn层，所以得到 nlogn。
注意：不能只看"分成了两个子问题"，还必须看子问题的规模以及每层的总工作量。
第 10 题：树的直径与重心------树上最远的两座城市在哪里？
考点
树、直径、重心
题目给出一棵有 9 个结点的无根树，边如下：
(1,2),(1,3),(2,4),(2,5),(3,6),(6,7),(7,8),(5,9)
问：树的直径（按边数计算）和重心分别是什么？
-
A. 直径 6，重心为结点 3
-
B. 直径 7，重心为结点 2
-
C. 直径 8，重心为结点 1
-
D. 直径 7，重心为结点 1
第一步：把树画出来
根据题目中的边，可以画出下面的结构：
第二步：什么是树的直径？
树的直径就是：任意选择两个结点，它们之间的距离可能达到的最大值。
这里的距离按经过的边数计算，不是经过的结点数。
观察这棵树，可以发现最长的一条路径是：
9→5→2→1→3→6→7→8
我们数一数：
| 路径 | 经过的边数 |
|---|---|
| 9 → 5 | 1 |
| 5 → 2 | 2 |
| 2 → 1 | 3 |
| 1 → 3 | 4 |
| 3 → 6 | 5 |
| 6 → 7 | 6 |
| 7 → 8 | 7 |
所以，树的直径为 7。
注意：这条路径一共有 8 个结点，但只有 7 条边。题目明确要求按边数计算，因此答案不是 8。
第三步：什么是树的重心？
树的重心和几何中心不是一回事。
想象你要把一棵树形结构从某个结点切开。切掉这个结点后，树会分成若干个连通部分。
如果选择一个结点切掉后，剩下的所有部分中，最大的那一部分尽可能小，那么这个结点就是树的重心。
这棵树一共有 9 个结点。
我们分别检查结点 1 和结点 2。
如果删除结点 1：
-
左侧部分：结点 2、4、5、9，共 4 个。
-
右侧部分：结点 3、6、7、8，共 4 个。
最大部分有 4 个结点。
如果删除结点 2：
-
结点 4 单独成为一部分，有 1 个结点。
-
结点 5、9 成为一部分，有 2 个结点。
-
另一侧的结点 1、3、6、7、8，共 5 个。
最大部分有 5 个结点。
删除结点 1 后，最大的部分只有 4 个结点；删除结点 2 后，最大的部分有 5 个结点。
因此，结点 1 更符合重心的定义。
正确答案：D（直径 7，重心为结点 1）。
小结
-
树的直径：找最远的两个结点之间的最长路径。
-
树的重心：删除后，最大连通部分尽可能小的结点。
这两个概念名字相似，但定义完全不同，不要混淆。
第 11 题：缩点后的有向无环图------最少需要添加几条边？
考点
强连通分量、缩点、有向无环图
题目说：一张有向图缩点后得到一个有向无环图（DAG），其中：
-
一共有 6 个顶点。
-
入度为 0 的顶点有 3 个。
-
出度为 0 的顶点有 4 个。
问：为了使原图变成强连通图，至少需要添加多少条有向边？
-
A. 7
-
B. 6
-
C. 4
-
D. 3
第一步：认识入度和出度
想象每个结点是一座城市，箭头是单向道路。
-
入度：有多少条箭头指向这个城市。
-
出度：有多少条箭头从这个城市指向外面。
入度为 0 的结点，没有其他结点能直接沿箭头进入它。
出度为 0 的结点，没有箭头从它通向其他结点。
在有向无环图中，入度为 0 的点称为源点，出度为 0 的点称为汇点。
第二步：什么叫强连通？
强连通的意思是：
对于任意两个结点 u 和 v，都能从 u沿有向边到达 v，也能从 v 到达 u。
简单说，每个城市都必须能通过单向道路到达其他所有城市。
第三步：记住缩点后的经典结论
对于一个已经缩点、且包含至少两个顶点的有向无环图，最少需要添加的边数为：
其中：
-
S：入度为 0 的顶点数。
-
T：出度为 0 的顶点数。
为什么？
每个源点都需要获得进入它的路径，每个汇点都需要获得离开它的路径。通过合理连接这些源点和汇点，可以把整个图串成一个能够互相到达的环。
这条结论是有向图算法中的经典定理。
第四步：代入题目数字
题目给出：
S=3,T=4
因此：
max(3,4) = 4
正确答案：C（4）。
小结
遇到这种题，如果题目明确说的是"缩点后得到的 DAG"，就要想到强连通分量的经典结论。
需要注意：如果缩点后只剩一个顶点，图已经强连通，不需要添加边；本题有 6 个顶点，不属于这种特殊情况。
第 12 题：6 个结点能组成多少种不同的二叉树？
考点
二叉树形态、卡特兰数
题目问：含有 6 个结点的不同形态二叉树有多少棵？
结点不带标号，并且区分左右子树。
-
A. 42
-
B. 429
-
C. 132
-
D. 720
第一步：什么叫不同形态？
我们先看只有 3 个结点的二叉树。
当结点数量增加时，可能的形态数量增长得非常快。
这道题有一个专门的数学工具：卡特兰数（Catalan number）。
第二步：为什么二叉树数量和卡特兰数有关？
假设一棵二叉树有 n个结点。
根结点占用 1 个结点，剩下 n−1 个结点要分给左子树和右子树。
如果左子树有 i 个结点，那么右子树就有：
n−1−i
个结点。
因此，可以得到递推式：
其中：
空树也算一种形态，这是递推公式的起点。
通项公式：
第三步：逐步计算
前几个卡特兰数是：
| 结点数 n | 不同形态的数量 |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 5 |
| 4 | 14 |
| 5 | 42 |
| 6 | 132 |
因此，6 个结点对应：
正确答案：C（132）。
第四步：怎样帮助记忆？
卡特兰数不只用在二叉树上，还出现在合法括号序列、某些入栈出栈方案计数等问题中。
如果考试直接问 6 个结点的不同形态二叉树数量，可以通过递推计算，或者记住前几个常用结果。
但要特别注意：题目说"不带标号，区分左右子树"，这是形态计数，不是给 6 个结点分别编号后的二叉树数量。
第 13 题：字符串的前缀与后缀------找出首尾相同的小片段
考点
字符串、真前缀、真后缀
给定字符串：
string S = "ababaabab";问：所有既是真前缀又是真后缀的非空子串，其长度之和是多少？
-
A. 4
-
B. 6
-
C. 7
-
D. 5
第一步：什么是前缀？
字符串的前缀，就是从开头开始截取的一段。
例如：
S = ababaabab它的前缀包括：
a
ab
aba
abab
ababa
...什么叫真前缀？
不能是字符串本身。
因此，整个 ababaabab 不算真前缀。
第二步：什么是后缀？
后缀就是从字符串末尾开始截取的一段。
例如：
S = ababaabab它的后缀包括：
b
ab
bab
abab
aabab
...同样，真后缀也不能是整个字符串。
第三步：找出既是前缀又是后缀的片段
我们从较短的长度开始检查。
| 长度 | 前缀 | 后缀 | 是否相同 |
|---|---|---|---|
| 1 | a |
b |
否 |
| 2 | ab |
ab |
是 |
| 3 | aba |
bab |
否 |
| 4 | abab |
abab |
是 |
| 5 | ababa |
aabab |
否 |
| 6 | ababaab |
baabab |
否 |
| 7 | ababaab? |
--- | 重新按字符串位置判断 |
我们只需要正确找到所有相同的非空真前缀和真后缀。这里的字符串长度为 9：
下标： 0 1 2 3 4 5 6 7 8
字符： a b a b a a b a b前缀 ab 与后缀 ab 相同，长度为 2。
前缀 abab 与后缀 abab 相同，长度为 4。
其他长度的前缀与后缀都不相同。
第四步：求长度之和
2+4=6
正确答案：B（6）。
小结
这道题最稳妥的方法是：
-
明确字符串长度。
-
从长度 1 开始，分别取前缀和后缀。
-
比较两段字符串是否相同。
-
排除整个字符串本身。
-
把符合条件的长度相加。
注意：本题只要求真前缀和真后缀，不是要求所有相同子串，也不是要求最长公共子串。
第 14 题：归并排序统计逆序对------相等的数字算不算？
考点
归并排序、逆序对、比较运算符
题目给出归并排序统计逆序对的核心代码：
if (a[i] <= a[j]) {
tmp[k++] = a[i++];
}
else {
tmp[k++] = a[j++];
ans += mid - i + 1;
}如果把判断条件中的：
a[i] <= a[j]改成：
a[i] < a[j]那么 ans 统计出的结果会变成什么？
-
A. 完全不变
-
B. 变为原来的两倍
-
C. 变为满足 i<j 且 ai ≥ aj 的数对个数
-
D. 变为原来的一半
第一步：什么是逆序对？
想象有一排数字：
3 1 2如果一个数字在前面，另一个数字在后面，但前面的数字更大，就形成一个逆序对。
例如：
-
(3, 1)是逆序对，因为 3>1 。 -
(3, 2)是逆序对，因为 3>2 。 -
(1, 2)不是逆序对，因为 1<2 。
所以，这组数字一共有 2 个逆序对。
通常，逆序对的定义要求：
i < j, ai > aj
注意，这里是严格大于号 >，不是大于等于号 >=。
第二步：归并排序为什么能够统计逆序对？
归并排序会把数组分成左右两部分，并让左右两部分分别有序。
假设左边是：
2 4 6右边是：
1 3 5如果当前左边数字是 4，右边数字是 3，那么右边的 3 比左边的 4 小。
因为左边已经排好序，所以 4 后面的 6 也一定比 3 大。
因此，右边的 3 会与左边的 4、6 形成逆序对，一共 2 个。
代码：
ans += mid - i + 1;就是一次性统计左边从 i 到 mid 的所有数字与当前右边数字构成的逆序对数量。
第三步：原来的 <= 有什么作用？
原代码是：
if (a[i] <= a[j]) {
tmp[k++] = a[i++];
}
else {
tmp[k++] = a[j++];
ans += mid - i + 1;
}如果两个数字相等，例如：
左边：2
右边：2那么：
2 <= 2结果为真。
程序进入 if 分支，取出左边的数字，不会增加 ans。
这很合理，因为相等的数字不构成通常定义下的逆序对。
第四步：改成 < 后会发生什么？
修改后：
if (a[i] < a[j]) {
tmp[k++] = a[i++];
}
else {
tmp[k++] = a[j++];
ans += mid - i + 1;
}现在，如果左右两边的数字相等：
2 < 2结果为假！
程序会进入 else 分支，并执行：
ans += mid - i + 1;这意味着：相等的数字也会被计入统计结果。
因此，修改后的程序统计的不是严格逆序对，而是满足以下条件的数对：
i < j, ai ≥ aj
其中既包括前面的数字大于后面的数字，也包括两者相等的情况。
正确答案：C。
第五步：用一个例子验证
数组：
2 2原来的逆序对数量为 0，因为两个数字相等。
但修改后的程序会将这对相等的数字也计入统计。
| 比较条件 | 两个数字相等时 | 是否计入 |
|---|---|---|
a[i] <= a[j] |
进入 if |
否 |
a[i] < a[j] |
进入 else |
是 |
小结
这是一个非常经典的程序阅读陷阱。
< 和 <= 只差一个等号，但当程序统计的是数量时，这个等号可能直接改变答案。
做题时一定要问：边界相等时，程序到底会进入哪个分支？
第 15 题：快速幂
考点
快速幂、二进制拆分、取模
题目给出下面的函数：
long long power(long long a, long long b, long long p) {
long long r = 1 % p;
while (b) {
if (b & 1)
r = r * a % p;
a = a * a % p;
b >>= 1;
}
return r;
}执行：
power(2, 100, 1000)返回值是多少？
-
A. 576
-
B. 376
-
C. 976
-
D. 176
第一步：题目到底要求什么？
我们要求：
也就是计算 除以 1000 的余数。
如果从 2 开始，连续乘 100 次，数字会变得非常大，普通整数无法保存这么大的完整结果。
快速幂的思路是：
把乘方拆成平方，再利用指数的二进制表示决定什么时候乘进答案。
第二步：理解代码中的三个关键操作
1. b & 1：检查指数是不是奇数
if (b & 1)如果 b 是奇数，那么 b & 1 为 1；如果 b 是偶数，则为 0。
例如：
5 的二进制是 101，末位是 1 → 奇数
6 的二进制是 110，末位是 0 → 偶数所以，只有指数为奇数时，才执行：
r = r * a % p;2. a = a * a % p：不断平方
a = a * a % p;每次循环，都把当前的底数平方，并取模。
这样就能依次得到：
指数每次翻倍，不需要一个一个乘。
3. b >>= 1：指数除以 2
b >>= 1;这是右移一位，相当于对非负整数进行整除 2。
例如：
100 → 50 → 25 → 12 → 6 → 3 → 1 → 0当 b 变成 0，循环就结束。
第三步：手算关键结果
为了避免数字太大，我们始终只保留除以 1000 的余数。
首先：
所以：
继续平方：
只保留后三位：
再平方：
因此：
第四步：把
拆开
注意：
100=80+20
所以：
我们已经得到：
因此：
= 176 * 576 = 101376
所以，最终余数为：
正确答案：B（376）。
第五步：为什么快速幂这么重要？
假设指数从 100 变成 1,000,000,000。
如果使用普通循环，每次乘一次底数，就需要进行大量运算。
快速幂每次将指数除以 2，因此只需要大约：
O(logb)
次循环。
指数很大时，这种优化就非常重要。
本题记忆口诀
指数除以二，底数不断平方；奇数乘进答案，每一步都取模。
第 8---15 题答案汇总
| 题号 | 正确选项 | 核心考点 |
|---|---|---|
| 8 | B | 拓扑排序与合法排列计数 |
| 9 | A | 分治递推式、时间复杂度 |
| 10 | D | 树的直径与重心 |
| 11 | C | DAG 缩点、强连通图 |
| 12 | C | 二叉树形态、卡特兰数 |
| 13 | B | 字符串真前缀与真后缀 |
| 14 | C | 归并排序统计逆序对 |
| 15 | B | 快速幂、取模 |
给小学生的学习建议
这 8 道题的难度差异比较大。要分三层学习：
-
先理解题目： 第 8 题、第 10 题、第 13 题，可以先通过画图、列举和比较来建立直觉。
-
再理解算法： 第 9 题、第 14 题、第 15 题，重点看清递推关系、分支条件和循环过程。
-
最后记住经典结论： 第 11 题的强连通图加边公式、第 12 题的卡特兰数，适合在理解后整理成知识卡片。
提高级初赛的学习目标，不只是知道答案，更重要的是看到题目时，能够识别它考查的知识，再一步一步推导出结果。这样遇到新的题目和代码变形时，学生才能真正做到举一反三。