5.计算题
【题目部分】
专题一：列写微分方程与求传递函数（第1-15题）
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已知某系统微分方程为 \(3\frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=5r(t)\)，求传递函数\(G(s)=Y(s)/R(s)\)。
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已知系统微分方程为 \(\frac{d^2y(t)}{dt^2}+4\frac{dy(t)}{dt}+3y(t)=2\frac{dr(t)}{dt}+r(t)\)，求传递函数 \(G(s)\)。
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已知系统微分方程为 \(y^{(3)}(t)+3\ddot{y}(t)+4\dot{y}(t)+y(t)=2\dot{u}(t)+u(t)\)，求传递函数 \(G(s)=Y(s)/U(s)\)。
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已知系统微分方程为 \(y^{(4)}(t)+6\ddot{y}(t)+10\dot{y}(t)+3y(t)=7u(t)\)，求传递函数 \(G(s)\)。
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已知系统微分方程为 \(\ddot{y}(t)+2\dot{y}(t)+8y(t)+\dot{y}(t)+5\int_{0}^{t}y(\tau)d\tau=3\dot{u}(t)+u(t)\)，求传递函数 \(G(s)\)。
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已知RC无源网络，输入电压为 \(u_i\)，输出电压为电容两端电压 \(u_c\)。列写微分方程并求传递函数。
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已知RC无源网络，输入电压为 \(u_i\)，输出电压为电阻两端电压 \(u_r\)。列写微分方程并求传递函数。
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已知LRC串联电路，输入电压为 \(u\)，输出电压为电容两端电压 \(u_c\)。列写微分方程并求传递函数。
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质量-弹簧-阻尼器系统，输入为外力 \(F(t)\)，输出为位移 \(x(t)\)，运动方程为 \(m\ddot{x}+f\dot{x}+kx=F\)。求传递函数 \(X(s)/F(s)\)。
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直流电动机电枢控制，微分方程为 \(T_dT_m\ddot{n}+T_m\dot{n}+n=\frac{u_d}{C_e}\)。求传递函数 \(N(s)/U_d(s)\)。
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已知机械系统微分方程 \(m\ddot{x}_o+\mu_2\dot{x}_o=\mu_1(\dot{x}_i-\dot{x}_o)\)，输入为 \(x_i\)，输出为 \(x_o\)，求传递函数 \(X_o(s)/X_i(s)\)。
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已知机械系统微分方程 \(\mu\dot{x}_i=\mu(1+\frac{k_2}{k_1})\dot{x}_o+k_2x_o\)，输入为 \(x_i\)，输出为 \(x_o\)，求传递函数。
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某运算放大器电路，输入阻抗 \(Z_1(s)=R_1\)，反馈阻抗 \(Z_2(s)=R_2+\frac{1}{Cs}\)，求传递函数 \(U_o(s)/U_i(s)\)。
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某运算放大器电路，输入阻抗 \(Z_1(s)=R_1+\frac{1}{C_1s}\)，反馈阻抗 \(Z_2(s)=R_2\)，求传递函数（忽略负号）。
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已知某系统微分方程 \(2\dot{x}_o+x_o=4\dot{x}_i+x_i\)，求传递函数和单位阶跃响应。
专题二：结构图等效变换（第16-30题）
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两环节串联，\(G_1(s)=\frac{1}{s+2}\)，\(G_2(s)=\frac{3}{s+5}\)，求总传递函数。
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两环节并联，\(G_1(s)=\frac{2}{s}\)，\(G_2(s)=\frac{1}{s+1}\)，求总传递函数。
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单位负反馈系统，前向通道 \(G(s)=\frac{10}{s(s+2)}\)，求闭环传递函数 \(\Phi(s)\)。
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单位负反馈系统，前向通道 \(G(s)=\frac{s+2}{s^2+3s+1}\)，求闭环传递函数 \(\Phi(s)\)。
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非单位负反馈系统，\(G(s)=\frac{5}{s+3}\)，\(H(s)=2\)，求闭环传递函数 \(\Phi(s)\)。
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非单位负反馈系统，\(G(s)=\frac{1}{s}\)，\(H(s)=s+1\)，求闭环传递函数 \(\Phi(s)\)。
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前向通道由 \(G_1(s)=\frac{1}{s+1}\) 和 \(G_2(s)=\frac{2}{s+2}\) 串联组成，反馈 \(H(s)=1\)，求闭环传递函数。
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前向通道 \(G(s)=\frac{10}{s(s+1)}\)，局部反馈 \(H_2(s)=2s\) 包围 \(G(s)\)，求等效前向通道传递函数。
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已知系统前向通道 \(G(s)=\frac{5}{s+2}\)，反馈通道 \(H(s)=\frac{1}{s}\)，求闭环传递函数。
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已知某系统结构图，前向通道 \(G_1(s)\)、\(G_2(s)\)、\(G_3(s)\) 串联，主反馈 \(H_1(s)\) 从输出引回输入端，局部反馈 \(H_2(s)\) 包围 \(G_3(s)\)。写出闭环传递函数 \(\Phi(s)\)。
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已知系统前向通道 \(G(s)=\frac{K}{s(s+2)}\)，单位负反馈，求使系统稳定的 \(K\) 值范围。
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已知系统开环传递函数 \(G_k(s)=\frac{100}{s(s+10)}\)，求闭环特征方程。
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已知系统开环传递函数 \(G_k(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+5)}\)，求使系统稳定的 \(K\) 值范围。
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已知系统开环传递函数 \(G_k(s)=\frac{K(s+2)}{s(s+1)}\)，单位负反馈，求使系统稳定的 \(K\) 值范围。
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已知系统开环传递函数 \(G_k(s)=\frac{10}{s(s+5)}\)，单位负反馈，求闭环特征方程并判断稳定性。
专题三：信号流图与梅森公式（第31-42题）
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前向通路 \(T_1=G_1G_2G_3\)，单回路 \(\sum L_1=-G_1H_1-G_2H_2\)，无互不接触回路，求闭环传递函数。
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前向通路 \(T_1=G_1G_2\)，回路 \(L_1=-G_1H_1\)，\(L_2=-G_2H_2\) 且互不接触，求闭环传递函数。
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前向通路 \(T_1=10\)，\(T_2=5\)，单回路 \(\sum L_1=-2\)，无互不接触回路，求总传递函数。
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三条前向通路 \(T_1=G_1\)，\(T_2=G_2\)，\(T_3=G_3\)；三个回路 \(L_1=-G_1H_1\)，\(L_2=-G_2H_2\)，\(L_3=-G_3H_3\) 且互相接触，求传递函数。
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两个回路 \(L_1=-ab\)，\(L_2=-cd\) 不接触。前向通路 \(T_1=abc\) 与两者都接触，\(T_2=ad\) 只与 \(L_2\) 接触，求传递函数。
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前向通路 \(T_1=G_1G_2G_3\)，回路 \(L_1=-G_1H_1\)，\(L_2=-G_2H_2\)，\(L_3=-G_3H_3\)，其中 \(L_1\) 和 \(L_3\) 不接触，求传递函数。
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前向通路 \(T_1=G_1G_2\)，回路 \(L_1=-G_1H_1\)，\(L_2=-G_2H_2\)，\(L_3=-G_1G_2H_3\)，其中 \(L_1\) 和 \(L_2\) 不接触，求特征式 \(\Delta\)。
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前向通路 \(T_1=G_1\)，\(T_2=G_2\)；回路 \(L_1=-ab\)，\(L_2=-cd\) 不接触。\(T_1\) 与 \(L_1\) 接触但与 \(L_2\) 不接触，\(T_2\) 与 \(L_2\) 接触但与 \(L_1\) 不接触，求传递函数。
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前向通路 \(T_1=G_1G_2G_3G_4\)，回路 \(L_1=-G_1G_2H_1\)，\(L_2=-G_2G_3H_2\)，\(L_3=-G_1G_2G_3G_4H_3\)，所有回路互相接触，求传递函数。
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信号流图中 \(T_1=a\)，\(T_2=b\)，回路 \(L_1=-c\)，\(L_2=-d\) 不接触，且 \(T_1\) 与 \(L_1\) 不接触、与 \(L_2\) 接触，\(T_2\) 与 \(L_1\) 接触、与 \(L_2\) 不接触。求传递函数。
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前向通路 \(T_1=G_1G_2G_3\)，回路 \(L_1=-G_1H_1\)，\(L_2=-G_2H_2\)，\(L_3=-G_1G_2G_3H_3\)，其中 \(L_1\) 和 \(L_2\) 不接触，求特征式 \(\Delta\)。
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前向通路 \(T_1=5\)，回路 \(L_1=-2\)，\(L_2=-3\) 不接触，求传递函数。
专题四：系统传递函数综合计算（第43-50题）
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已知单位负反馈闭环传递函数 \(\Phi(s)=\frac{5}{s^2+4s+5}\)，求开环传递函数 \(G(s)\)。
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已知单位负反馈闭环传递函数 \(\Phi(s)=\frac{2s+1}{s^2+3s+2}\)，求开环传递函数 \(G(s)\)。
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已知系统前向通道 \(G(s)=\frac{10}{s(s+1)}\)，反馈通道 \(H(s)=1\)，求给定输入下的闭环传递函数和误差传递函数。
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已知系统前向通道 \(G_1(s)=\frac{1}{s+1}\)，\(G_2(s)=\frac{2}{s+2}\)，主反馈 \(H(s)=1\)。扰动 \(N(s)\) 作用于 \(G_1\) 与 \(G_2\) 之间，求扰动作用下的闭环传递函数 \(Y(s)/N(s)\)。
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已知系统前向通道 \(G_1(s)=\frac{5}{s+1}\)，\(G_2(s)=\frac{1}{s+2}\)，反馈 \(H(s)=1\)。求系统总输出 \(Y(s)\) 在给定输入 \(R(s)\) 和扰动 \(N(s)\) 同时作用下的表达式。
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已知某系统结构图，前向通道 \(G(s)=\frac{10}{s(s+5)}\)，反馈通道 \(H(s)=1\)。求系统在单位阶跃输入下的稳态误差（假设系统稳定）。
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已知系统特征方程为 \(s^3+4s^2+5s+2=0\)，判断系统稳定性。
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已知系统特征方程为 \(s^4+2s^3+3s^2+4s+5=0\)，判断系统稳定性。
【答案与详细解析】
**第1题**
**答案：** \(G(s)=\frac{5}{3s+2}\)
**解析：** 对原方程两边取拉氏变换（零初始条件），得 \(3sY(s)+2Y(s)=5R(s)\)，即 \((3s+2)Y(s)=5R(s)\)，故 \(G(s)=Y(s)/R(s)=5/(3s+2)\)。**正确原因：** 微分方程中 \(\dot{y}\) 对应 \(sY(s)\)，\(y\) 对应 \(Y(s)\)。**错误辨析：** 若忽略 \(y\) 项直接写 \(3s+2\) 而不提取公因式，会导致形式错误。
**第2题**
**答案：** \(G(s)=\frac{2s+1}{s^2+4s+3}\)
**解析：** 两边取拉氏变换得 \((s^2+4s+3)Y(s)=(2s+1)R(s)\)，故 \(G(s)=(2s+1)/(s^2+4s+3)\)。**正确原因：** \(\ddot{y}\) 对应 \(s^2Y(s)\)，\(\dot{r}\) 对应 \(sR(s)\)。**错误辨析：** 初始条件必须默认为零，否则不能直接取拉氏变换得到传递函数。
**第3题**
**答案：** \(G(s)=\frac{2s+1}{s^3+3s^2+4s+1}\)
**解析：** 取拉氏变换得 \(s^3Y(s)+3s^2Y(s)+4sY(s)+Y(s)=2sU(s)+U(s)\)，提取公因式后相除。**正确原因：** 三阶导数对应 \(s^3\)，系数一一对应。**错误辨析：** 若漏掉常数项 \(1\)（对应 \(y(t)\) 的变换 \(Y(s)\)），分母会缺少一项。
**第4题**
**答案：** \(G(s)=\frac{7}{s^4+6s^2+10s+3}\)
**解析：** 取拉氏变换得 \((s^4+6s^2+10s+3)Y(s)=7U(s)\)。**正确原因：** 分子为常数说明输入没有导数项，仅有比例作用。**错误辨析：** 若误将 \(6\ddot{y}\) 写成 \(6s^3\) 会多出一阶导数项。
**第5题**
**答案：** \(G(s)=\frac{3s^2+s}{s^4+2s^3+8s^2+s+5}\)
**解析：** 对积分项取拉氏变换得 \(\frac{5}{s}Y(s)\)。两边乘以 \(s\) 消去分母后整理，得 \((s^4+2s^3+8s^2+s+5)Y(s)=(3s^2+s)U(s)\)。**正确原因：** 积分对应 \(1/s\)，乘以 \(s\) 后所有项升一阶。**错误辨析：** 若不先乘以 \(s\) 消去分母，分子分母会出现分式嵌套，不是标准多项式形式。
**第6题**
**答案：** \(RC\frac{du_c}{dt}+u_c=u_i\)，\(G(s)=\frac{1}{RCs+1}\)
**解析：** 由基尔霍夫定律 \(u_i=Ri+u_c\)，\(i=C\frac{du_c}{dt}\)，消去 \(i\) 得 \(RC\dot{u}_c+u_c=u_i\)。取拉氏变换得 \((RCs+1)U_c(s)=U_i(s)\)。**正确原因：** 电容电流与电压的微分关系是核心。**错误辨析：** 若把电容电压写成 \(u_c=\frac{1}{C}\int i\,dt\) 而不消去中间变量，得不到仅含输入输出的方程。
**第7题**
**答案：** \(RC\frac{du_r}{dt}+u_r=RC\frac{du_i}{dt}\)，\(G(s)=\frac{RCs}{RCs+1}\)
**解析：** 输出为电阻电压 \(u_r=Ri\)，且 \(i=C\frac{d(u_i-u_r)}{dt}\)。代入消去 \(i\) 得 \(u_r=RC(\dot{u}_i-\dot{u}_r)\)，整理得 \(RC\dot{u}_r+u_r=RC\dot{u}_i\)。取拉氏变换得 \(G(s)=RCs/(RCs+1)\)。**正确原因：** 电阻电压与电流同相位，电容电压滞后电流。**错误辨析：** 若误认为 \(u_r=u_i-u_c\) 且直接用分压公式，会漏掉电容的微分环节，导致结果不含零点。
**第8题**
**答案：** \(LC\frac{d^2u_c}{dt^2}+RC\frac{du_c}{dt}+u_c=u\)，\(G(s)=\frac{1}{LCs^2+RCs+1}\)
**解析：** \(u=Ri+L\frac{di}{dt}+u_c\)，\(i=C\frac{du_c}{dt}\)，代入消去 \(i\)。取拉氏变换后得 \((LCs^2+RCs+1)U_c(s)=U(s)\)。**正确原因：** 电感电压正比于电流的导数，电容电流正比于电压的导数，形成二阶系统。**错误辨析：** 若将 \(L\frac{di}{dt}\) 中的 \(i\) 直接写成 \(C\dot{u}_c\) 而不求导，会漏掉 \(LC\) 对应的 \(s^2\) 项。
**第9题**
**答案：** \(G(s)=\frac{1}{ms^2+fs+k}\)
**解析：** 取拉氏变换得 \((ms^2+fs+k)X(s)=F(s)\)。**正确原因：** \(m\ddot{x}\) 对应 \(ms^2X(s)\)，\(f\dot{x}\) 对应 \(fsX(s)\)，\(kx\) 对应 \(kX(s)\)。**错误辨析：** 若将阻尼项写成 \(f\) 而不带 \(s\)，等于把阻尼器当成了弹簧，物理意义错误。
**第10题**
**答案：** \(G(s)=\frac{1/C_e}{T_dT_ms^2+T_ms+1}\)
**解析：** 取拉氏变换得 \((T_dT_ms^2+T_ms+1)N(s)=\frac{1}{C_e}U_d(s)\)。**正确原因：** 右边常数 \(1/C_e\) 来自 \(\frac{u_d}{C_e}\) 的拉氏变换。**错误辨析：** 若把 \(T_dT_m\) 误写成 \(T_d+T_m\)，会丢失二阶项，系统阶数错误。
**第11题**
**答案：** \(G(s)=\frac{\mu_1}{ms+\mu_1+\mu_2}\)
**解析：** 取拉氏变换得 \(ms^2X_o+\mu_2sX_o=\mu_1sX_i-\mu_1sX_o\)，移项得 \(\mu_1sX_i=(ms^2+\mu_1s+\mu_2s)X_o\)。约去 \(s\)（\(s\neq0\)）后得 \(G(s)=\mu_1/(ms+\mu_1+\mu_2)\)。**正确原因：** 输入位移的导数与输出位移的导数之差驱动阻尼器。**错误辨析：** 若不约去 \(s\)，分子分母会多一个 \(s\) 因子，但约去后才是既约形式。
**第12题**
**答案：** \(G(s)=\frac{k_1\mu s}{(k_1+k_2)\mu s+k_1k_2}\)
**解析：** 取拉氏变换得 \(\mu sX_i=\mu(1+\frac{k_2}{k_1})sX_o+k_2X_o\)，整理后提取公因式。**正确原因：** 该机械系统由两个弹簧和一个阻尼器构成，传递函数分子含有一个零点（微分环节）。**错误辨析：** 若忽略 \(k_2/k_1\) 项，等于认为第二个弹簧不存在，系统退化为单弹簧-阻尼系统。
**第13题**
**答案：** \(G(s)=-\frac{R_2Cs+1}{R_1Cs}\)
**解析：** 由理想运放"虚短""虚断"，\(U_i/Z_1=-U_o/Z_2\)，故 \(U_o/U_i=-Z_2/Z_1\)。代入 \(Z_1=R_1\)，\(Z_2=R_2+\frac{1}{Cs}\)。**正确原因：** 反馈阻抗包含电阻和电容串联，形成比例-积分特性。**错误辨析：** 若忽略负号，在工程上常省略，但严格来说反相放大器的传递函数带负号。
**第14题**
**答案：** \(G(s)=-\frac{R_2}{R_1+\frac{1}{C_1s}}=-\frac{R_2C_1s}{R_1C_1s+1}\)
**解析：** 同样由 \(U_o/U_i=-Z_2/Z_1\)，代入输入阻抗和反馈阻抗。**正确原因：** 输入阻抗含电容时，分母出现 \((R_1C_1s+1)\)，构成一阶惯性特性。**错误辨析：** 若把输入阻抗直接当成 \(R_1\)，会漏掉电容的极点，系统阶数降低。
**第15题**
**答案：** \(G(s)=\frac{4s+1}{2s+1}\)，单位阶跃响应 \(y(t)=1+\frac{3}{2}e^{-t/2}\)（\(t\geq0\)）
**解析：** 取拉氏变换得 \((2s+1)X_o(s)=(4s+1)X_i(s)\)，故 \(G(s)=(4s+1)/(2s+1)\)。单位阶跃 \(R(s)=1/s\)，\(Y(s)=\frac{4s+1}{s(2s+1)}\)，部分分式展开后反变换。**正确原因：** 分子阶次等于分母阶次，存在直通项，响应在 \(t=0^+\) 有跳变。**错误辨析：** 若只写传递函数而不求阶跃响应，答案不完整。
**第16题**
**答案：** \(G(s)=\frac{3}{(s+2)(s+5)}\)
**解析：** 串联等效为相乘，\(G(s)=G_1(s)G_2(s)\)。**正确原因：** 信号依次通过两个方框，前一个的输出是后一个的输入。**错误辨析：** 若将串联写成相加，得到的是并联的等效结果，属于概念混淆。
**第17题**
**答案：** \(G(s)=\frac{2}{s}+\frac{1}{s+1}=\frac{3s+2}{s(s+1)}\)
**解析：** 并联等效为相加，通分后化简。**正确原因：** 同一输入同时进入两个支路，输出在汇合点叠加。**错误辨析：** 若写成相乘，等于认为信号依次通过两个环节，与并联结构不符。
**第18题**
**答案：** \(\Phi(s)=\frac{10}{s^2+2s+10}\)
**解析：** 单位负反馈 \(\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}\)。\(1+\frac{10}{s(s+2)}=\frac{s^2+2s+10}{s(s+2)}\)，相除得 \(\Phi(s)=\frac{10}{s^2+2s+10}\)。**正确原因：** 分母特征式为 \(s^2+2s+10\)，二阶系统。**错误辨析：** 若分母漏掉 \(10\)（即忘记 \(1+G\) 中的 \(G\)），得到的是开环传递函数而非闭环。
**第19题**
**答案：** \(\Phi(s)=\frac{s+2}{s^2+4s+3}\)
**解析：** \(1+\frac{s+2}{s^2+3s+1}=\frac{s^2+4s+3}{s^2+3s+1}\)，相除得 \(\Phi(s)=\frac{s+2}{s^2+4s+3}\)。**正确原因：** 闭环分子等于前向通道分子，闭环分母等于 \(1+G\) 通分后的分子。**错误辨析：** 若将分子写成 \(1\)（认为单位反馈分子恒为1），忽略了前向通道本身的零点。
**第20题**
**答案：** \(\Phi(s)=\frac{5}{s+13}\)
**解析：** 非单位负反馈 \(\Phi(s)=\frac{G}{1+GH}\)。\(1+\frac{5}{s+3}\cdot2=\frac{s+13}{s+3}\)，相除得 \(\Phi(s)=\frac{5}{s+13}\)。**正确原因：** 反馈通道增益 \(H=2\) 使得等效开环增益变为 \(10\)，闭环极点从 \(-3\) 移到 \(-13\)。**错误辨析：** 若误用单位负反馈公式（分母 \(1+G\)），会得到 \(5/(s+8)\)，忽略了反馈系数的影响。
**第21题**
**答案：** \(\Phi(s)=\frac{1}{s^2+s+1}\)
**解析：** \(1+\frac{1}{s}(s+1)=\frac{s^2+s+1}{s}\)，相除得 \(\Phi(s)=1/(s^2+s+1)\)。**正确原因：** 反馈通道 \(H(s)=s+1\) 含微分项，使闭环特征方程出现 \(s^2\) 项。**错误辨析：** 若把 \(H(s)\) 当成常数，会漏掉 \(s\) 项，得到一阶系统，与实际不符。
**第22题**
**答案：** \(\Phi(s)=\frac{2}{s^2+3s+4}\)
**解析：** 前向通道 \(G=G_1G_2=\frac{2}{(s+1)(s+2)}\)，单位负反馈 \(\Phi=\frac{G}{1+G}\)。分母 \(1+\frac{2}{s^2+3s+2}=\frac{s^2+3s+4}{s^2+3s+2}\)。**正确原因：** 先合并串联环节，再套闭环公式。**错误辨析：** 若先分别求两个闭环再串联，是错误的，因为中间信号并非独立。
**第23题**
**答案：** \(G_{eq}(s)=\frac{10}{s^2+21s}\)
**解析：** 局部反馈等效 \(G_{eq}=\frac{G}{1+GH_2}\)。\(1+\frac{10}{s(s+1)}\cdot2s=\frac{s^2+s+20s}{s(s+1)}=\frac{s^2+21s}{s(s+1)}\)，化简得 \(G_{eq}=\frac{10}{s^2+21s}\)。**正确原因：** 局部反馈包围 \(G(s)\) 后，等效传递函数的分母增加 \(GH_2\) 项。**错误辨析：** 若将 \(H_2=2s\) 误当成常数 \(2\)，分母会变成 \(s(s+1)+20\)，缺少了 \(s\) 因子。
**第24题**
**答案：** \(\Phi(s)=\frac{5s}{s^2+2s+5}\)
**解析：** \(\Phi=\frac{G}{1+GH}\)，\(1+\frac{5}{s+2}\cdot\frac{1}{s}=\frac{s(s+2)+5}{s(s+2)}=\frac{s^2+2s+5}{s(s+2)}\)，相除得 \(\Phi(s)=\frac{5s}{s^2+2s+5}\)。**正确原因：** 分子出现了 \(s\)，是因为前向通道 \(G\) 乘以反馈通道的分母 \(s\) 后消去了一部分。**错误辨析：** 若直接写 \(\Phi=5/(s^2+2s+5)\)，会丢失分子中的 \(s\)，响应在 \(t=0\) 处会从0开始而不是跳变。
**第25题**
**答案：** \(\Phi(s)=\frac{G_1G_2G_3}{1+G_2G_3H_2+G_1G_2G_3H_1}\)
**解析：** 内环 \(G_3\) 被 \(H_2\) 包围，等效 \(G_3'=\frac{G_3}{1+G_3H_2}\)。前向通道变为 \(G_1G_2G_3'\)，再与主反馈 \(H_1\) 构成外环，代入化简即得。**正确原因：** 先内环后外环，内环特征项 \(G_3H_2\) 与外环特征项 \(G_1G_2G_3' H_1\) 相加。**错误辨析：** 若先化简外环，会引入 \(G_3\) 与 \(H_2\) 的耦合，无法直接套用简单反馈公式。
**第26题**
**答案：** \(K>0\)
**解析：** 闭环特征方程 \(s(s+2)+K=s^2+2s+K=0\)。二阶系统稳定条件为系数全正，即 \(K>0\) 且 \(2>0\)。**正确原因：** 二阶系统只需特征方程所有系数同号即可稳定。**错误辨析：** 若只写 \(K>0\) 而不说明二阶系统的判据，步骤不完整。
**第27题**
**答案：** \(s^2+10s+100=0\)
**解析：** \(1+\frac{100}{s(s+10)}=0\)，两边乘 \(s(s+10)\) 得 \(s(s+10)+100=0\)。**正确原因：** 开环传递函数分母为 \(s(s+10)\)，闭环特征方程是将开环分子加到分母上。**错误辨析：** 若忘记乘分母，直接写 \(1+G_k=0\) 而不化简，不是标准特征方程形式。
**第28题**
**答案：** \(0<K<30\)
**解析：** 闭环特征方程 \(s(s+1)(s+5)+K=s^3+6s^2+5s+K=0\)。列劳斯表，稳定条件为 \(K>0\) 且 \(\frac{30-K}{6}>0\)，即 \(0<K<30\)。**正确原因：** 三阶系统需满足劳斯表第一列全正，除系数正外还需中间项约束。**错误辨析：** 若只写 \(K>0\)，忽略了 \(s^1\) 行 \(30-K\) 可能为负导致的右半平面根。
**第29题**
**答案：** \(K>0\)
**解析：** 闭环特征方程 \(s(s+1)+K(s+2)=s^2+(1+K)s+2K=0\)。二阶系统稳定条件为 \(1+K>0\) 且 \(2K>0\)，即 \(K>0\)。**正确原因：** 开环零点 \(s=-2\) 进入闭环特征方程后，系数仍保持同号。**错误辨析：** 若误认为 \(K\) 必须小于某个上界，是因为没有正确列出劳斯表；此题二阶无上界。
**第30题**
**答案：** 闭环特征方程 \(s^2+5s+10=0\)，系统稳定。
**解析：** \(1+\frac{10}{s(s+5)}=0\)，得 \(s^2+5s+10=0\)。二阶系统系数 \(1,5,10\) 全正，故稳定。**正确原因：** 二阶系统只要系数全正就稳定，无需列劳斯表。**错误辨析：** 若认为需要判断 \(5^2-4\times10<0\) 为不稳定，是混淆了"无实根"与"不稳定"；共轭复根实部为负仍稳定。
**第31题**
**答案：** \(G(s)=\frac{G_1G_2G_3}{1+G_1H_1+G_2H_2}\)
**解析：** 梅森公式 \(T=\frac{T_1\Delta_1}{\Delta}\)。\(\Delta=1-(L_1+L_2)=1+G_1H_1+G_2H_2\)，\(\Delta_1=1\)（无与 \(T_1\) 不接触的回路）。**正确原因：** 两条回路都与前向通路接触，故余因子为1。**错误辨析：** 若在分母中多加了 \(L_1L_2\) 项，是因为误判了不接触条件，但两回路有公共节点，不构成不接触。
**第32题**
**答案：** \(G(s)=\frac{G_1G_2}{1+G_1H_1+G_2H_2+G_1G_2H_1H_2}\)
**解析：** \(\Delta=1-(L_1+L_2)+L_1L_2\)，因为 \(L_1\) 和 \(L_2\) 不接触。**正确原因：** 不接触回路乘积项 \(L_1L_2\) 前符号为正。**错误辨析：** 若漏掉 \(+G_1G_2H_1H_2\)，是因为没有识别出两回路没有公共节点，导致特征式不完整。
**第33题**
**答案：** \(G(s)=\frac{10+5}{1+2}=5\)
**解析：** 分子为前向通路之和 \(10+5=15\)，分母 \(\Delta=1-(-2)=3\)，故 \(T=15/3=5\)。**正确原因：** 两条前向通路都与回路接触，余因子均为1。**错误辨析：** 若分母写成 \(1-2=-1\)，是符号错误；梅森公式中回路增益带负号，\(\Delta=1-\sum L_1\)，\(L_1=-2\) 代入得 \(1-(-2)=3\)。
**第34题**
**答案：** \(G(s)=\frac{G_1+G_2+G_3}{1+G_1H_1+G_2H_2+G_3H_3}\)
**解析：** 三条前向通路求和，分母为 \(1-\sum L_1\)。**正确原因：** 所有回路互相接触，无不接触项。**错误辨析：** 若在分母中加入两两回路乘积，是因为没有验证"互相接触"条件，而题目已明确互相接触，不应有高阶项。
**第35题**
**答案：** \(G(s)=\frac{abc+ad(1+cd)}{1+ab+cd+abcd}\)
**解析：** \(\Delta=1-(L_1+L_2)+L_1L_2\)。\(T_2\) 与 \(L_2\) 接触但与 \(L_1\) 不接触，故 \(\Delta_2=1-L_1=1+ab\)？注意：\(L_1=-ab\)，\(\Delta_2=1-(-ab)=1+ab\)。但题目中 \(T_2=ad\) 只与 \(L_2\) 接触，与 \(L_1\) 不接触，故 \(\Delta_2=1+ab\)。**正确原因：** 余因子是去掉与通路接触的回路后的特征式。**错误辨析：** 若将 \(\Delta_2\) 写成 \(1+cd\)，是因为混淆了"接触"与"不接触"的对象，\(T_2\) 与 \(L_2\) 接触，应去掉 \(L_2\)，保留 \(L_1\)。
**第36题**
**答案：** \(G(s)=\frac{G_1G_2G_3}{1+G_1H_1+G_2H_2+G_3H_3+G_1G_3H_1H_3}\)
**解析：** \(\Delta=1-(L_1+L_2+L_3)+L_1L_3\)。\(L_1\) 和 \(L_3\) 不接触，故加 \(L_1L_3\)。**正确原因：** 只有 \(L_1\) 和 \(L_3\) 不接触，其余两两都有公共节点。**错误辨析：** 若漏掉 \(+G_1G_3H_1H_3\)，是因为没有逐对检查不接触关系。
**第37题**
**答案：** \(\Delta=1+G_1H_1+G_2H_2+G_1G_2H_3+G_1G_2H_1H_2\)
**解析：** \(\Delta=1-(L_1+L_2+L_3)+L_1L_2\)。\(L_1=-G_1H_1\)，\(L_2=-G_2H_2\)，\(L_3=-G_1G_2H_3\)。**正确原因：** 题目明确 \(L_1\) 和 \(L_2\) 不接触，故产生 \(L_1L_2\) 项。**错误辨析：** 若认为 \(L_3\) 与 \(L_1\) 或 \(L_2\) 也不接触，会多加项；但 \(L_3\) 含 \(G_1G_2\)，与 \(L_1\)、\(L_2\) 均有公共节点。
**第38题**
**答案：** \(G(s)=\frac{G_1(1+cd)+G_2(1+ab)}{1+ab+cd+abcd}\)
**解析：** \(\Delta=1-(L_1+L_2)+L_1L_2\)。\(T_1=G_1\) 与 \(L_1\) 接触但与 \(L_2\) 不接触，\(\Delta_1=1-L_2=1+cd\)；\(T_2=G_2\) 与 \(L_2\) 接触但与 \(L_1\) 不接触，\(\Delta_2=1-L_1=1+ab\)。**正确原因：** 余因子只保留与通路不接触的回路。**错误辨析：** 若将 \(\Delta_1\) 写成 \(1+ab\)，是把 \(T_1\) 与 \(L_1\) 的接触关系记反了。
**第39题**
**答案：** \(G(s)=\frac{G_1G_2G_3G_4}{1+G_1G_2H_1+G_2G_3H_2+G_1G_2G_3G_4H_3}\)
**解析：** 所有回路互相接触，\(\Delta=1-\sum L_1\)。**正确原因：** 题目明确"所有回路互相接触"，所以没有两两乘积项。**错误辨析：** 若在分母中加入 \(L_1L_2\) 等，是因为没有利用题目给出的接触条件，画蛇添足。
**第40题**
**答案：** \(G(s)=\frac{a(1+d)+b(1+c)}{1+c+d+cd}\)
**解析：** \(\Delta=1-(-c-d)+(-c)(-d)=1+c+d+cd\)。\(T_1=a\) 与 \(L_1\) 不接触（\(L_1=-c\)），与 \(L_2\) 接触（\(L_2=-d\)），故 \(\Delta_1=1-(-c)=1+c\)？注意：\(T_1\) 与 \(L_1\) 不接触，与 \(L_2\) 接触，所以余因子应保留 \(L_1\) 去掉 \(L_2\)：\(\Delta_1=1+c\)。\(T_2=b\) 与 \(L_1\) 接触、与 \(L_2\) 不接触，\(\Delta_2=1+d\)。**正确原因：** 余因子是去掉与通路相接触的回路后的 \(\Delta\)。**错误辨析：** 若将 \(\Delta_1\) 写成 \(1+d\)，是把接触关系记反了。
**第41题**
**答案：** \(\Delta=1+G_1H_1+G_2H_2+G_1G_2G_3H_3+G_1G_2H_1H_2\)
**解析：** \(\Delta=1-(L_1+L_2+L_3)+L_1L_2\)。\(L_3=-G_1G_2G_3H_3\)。**正确原因：** 题目明确 \(L_1\) 和 \(L_2\) 不接触，故加 \(L_1L_2\)。**错误辨析：** 若漏掉 \(L_1L_2\)，是因为没有逐对检查不接触性。
**第42题**
**答案：** \(G(s)=\frac{5}{1+2+3+6}=\frac{5}{12}\)
**解析：** \(\Delta=1-(-2-3)+(-2)(-3)=1+2+3+6=12\)。**正确原因：** 两个回路不接触，特征式包含乘积项 \(6\)。**错误辨析：** 若分母只写 \(1+2+3=6\)，漏掉了不接触回路乘积项，是因为忽略了两回路没有公共节点的事实。
**第43题**
**答案：** \(G(s)=\frac{5}{s^2+4s}\)
**解析：** 由 \(\Phi=\frac{G}{1+G}\) 反解 \(G=\frac{\Phi}{1-\Phi}\)。\(1-\Phi=\frac{s^2+4s+5-5}{s^2+4s+5}=\frac{s^2+4s}{s^2+4s+5}\)，故 \(G=\frac{5}{s^2+4s}\)。**正确原因：** 单位负反馈闭环分母减去分子即得开环分母。**错误辨析：** 若将 \(1-\Phi\) 算成 \(\frac{s^2+4s+10}{s^2+4s+5}\)，是把分子加到了分母上而非相减。
**第44题**
**答案：** \(G(s)=\frac{2s+1}{s^2+s+1}\)
**解析：** \(1-\Phi=\frac{s^2+3s+2-(2s+1)}{s^2+3s+2}=\frac{s^2+s+1}{s^2+3s+2}\)，故 \(G=\frac{2s+1}{s^2+s+1}\)。**正确原因：** 闭环分子即开环分子，闭环分母减分子得开环分母。**错误辨析：** 若将 \(1-\Phi\) 写成 \(\frac{s^2+5s+3}{s^2+3s+2}\)，是分子符号错误。
**第45题**
**答案：** 闭环传递函数 \(\Phi(s)=\frac{10}{s^2+s+10}\)，误差传递函数 \(\Phi_e(s)=\frac{s(s+1)}{s^2+s+10}\)
**解析：** \(\Phi=G/(1+G)\)，\(1+\frac{10}{s(s+1)}=\frac{s^2+s+10}{s(s+1)}\)。误差传递函数 \(\Phi_e=1/(1+G)=\frac{s(s+1)}{s^2+s+10}\)。**正确原因：** 误差传递函数与闭环传递函数的分母相同（特征式相同），分子分别是1和G的分子。**错误辨析：** 若将误差传递函数写成 \(1-\Phi\)，虽然相等，但形式上不如直接使用定义 \(\Phi_e=1/(1+G)\) 简洁。
**第46题**
**答案：** \(\frac{Y(s)}{N(s)}=\frac{G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}=\frac{1/(s+2)}{1+\frac{2}{(s+1)(s+2)}}\)
**解析：** 扰动作用于两环节之间，从 \(N\) 到 \(Y\) 只经过 \(G_2\)，反馈回路仍然包括 \(G_1G_2H\)。**正确原因：** 扰动传递函数的分子是扰动作用点到输出之间的前向通道，分母与给定作用下的特征式相同。**错误辨析：** 若将分子写成 \(G_1G_2\)，是把扰动作用点当成了系统输入端。
**第47题**
**答案：** \(Y(s)=\frac{G_1G_2}{1+G_1G_2H}R(s)+\frac{G_2}{1+G_1G_2H}N(s)\)
**解析：** 线性系统叠加原理：给定单独作用时 \(\Phi_r=G_1G_2/(1+G_1G_2H)\)，扰动单独作用时 \(\Phi_n=G_2/(1+G_1G_2H)\)，总输出为两者之和。**正确原因：** 两个输入同时作用时，输出是各自单独作用输出的代数和。**错误辨析：** 若将两传递函数相乘，等于认为两个输入串联，不符合叠加原理。
**第48题**
**答案：** \(e_{ss}=0\)
**解析：** 开环 \(G_k(s)=\frac{10}{s(s+5)}\)，型别 \(v=1\)（I型系统）。单位阶跃输入下，I型系统的位置误差系数 \(K_p=\infty\)，稳态误差 \(e_{ss}=1/(1+K_p)=0\)。**正确原因：** I型系统对阶跃输入无静差。**错误辨析：** 若计算 \(K_v\) 并求 \(1/K_v\)，是把阶跃输入误当成了斜坡输入；斜坡输入的稳态误差才是 \(1/K_v\)。
**第49题**
**答案：** 系统稳定。
**解析：** 三阶特征方程 \(s^3+4s^2+5s+2=0\)。劳斯判据稳定条件为系数全正且 \(a_1a_2>a_0a_3\)，即 \(4\times5=20>1\times2=2\)，满足。**正确原因：** 三阶系统劳斯表第一列全正等价于该不等式。**错误辨析：** 若只检查系数全正，会遗漏 \(a_1a_2>a_0a_3\) 的必要性；虽然此题两者都满足，但步骤应完整。
**第50题**
**答案：** 系统不稳定。
**解析：** 四阶特征方程 \(s^4+2s^3+3s^2+4s+5=0\)。列劳斯表，第一列符号改变两次（从 \(3\) 到 \(-1/3\)，再到 \(5\)），故有2个右半平面根，系统不稳定。**正确原因：** 劳斯表第一列符号改变次数等于右半平面根数。**错误辨析：** 若仅因系数全正就判定稳定，是错误的；系数全正只是必要条件，四阶及以上必须列劳斯表。