第六章控制系统设计与校正

第六章控制系统设计与校正

6.1 频率法校正的基本概念

一、校正的定义与实质

**系统校正**：当系统的基本组成部分确定后，若其性能指标不能全面满足要求，通过引入**校正装置**（参数可调的元件或环节），改变系统的结构或参数，使系统满足给定的各项性能指标。这一过程也称为系统的**综合**。
**频率法校正的实质**：引入校正装置的特性，**改变原系统开环对数幅频特性的形状**，使其满足性能指标。

二、系统性能指标的分类

**时域指标**：

静态指标：稳态误差、无差度（型别）、开环放大系数。
动态指标：调节时间 $t_s$、超调量 $\sigma\%$、上升时间 $t_r$、峰值时间 $t_p$。

**频域指标**：

开环频域指标：截止频率 $\omega_c$、相角稳定裕度 $\gamma$、幅值稳定裕度 $K_g$。
闭环频域指标：谐振峰值 $M_r$、谐振频率 $\omega_r$、带宽频率 $\omega_b$。
**注意**：若给定的是时域指标，在设计时需要先将其换算为频域指标。

三、三频段与系统性能的关系

四、校正方式

**串联校正**：校正装置 $G_c(s)$ 串接在系统前向通道中。结构简单，设计方便，应用最广。

**并联（局部反馈）校正**：校正装置 $H(s)$ 接在局部反馈通道中，包围前向通道的某一部分。可有效抑制被包围环节的参数波动和非线性影响。

**复合控制**：串联校正与反馈校正同时使用，或引入前馈补偿。

6.2 串联超前校正（Phase-Lead Compensation）

一、校正装置特性

**传递函数**：$G_c(s) = \alpha \frac{Ts+1}{\alpha Ts+1} \quad (\alpha < 1)$
**频率特性**：所有频率下具有**正相移**，最大超前角 $\varphi_m = \arcsin\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$，出现于几何中点频率 $\omega_m = \frac{1}{\sqrt{\alpha}T}$。
**低频增益**：$20\lg\alpha < 0\text{ dB}$，存在低频衰减。通常需引入增益补偿 $1/\alpha$，使低频增益恢复为 $0\text{ dB}$，相频特性不变。

二、校正作用与适用场合

**作用**：利用相位超前特性，**增大相角裕度**（提高平稳性），同时**增大截止频率**（提高快速性）。
**局限性**：对提高稳态精度作用不大；高频段增益提升，**抗高频干扰能力有所降低**。
**适用场合**：**稳态精度已满足要求**，但超调量过大或调节时间过长的系统；且系统中**噪声信号较小**。

三、设计步骤（分析法）

根据稳态误差要求，确定开环增益 $K$。
绘制未校正系统的伯德图，求出原截止频率 $\omega_c$ 和相角裕度 $\gamma$。
计算所需最大超前角：$\varphi_m = \gamma_{\text{req}} - \gamma + \Delta$（$\Delta$ 为补偿角，取 $5^\circ\sim10^\circ$）。
由 $\alpha = \frac{1-\sin\varphi_m}{1+\sin\varphi_m}$ 求 $\alpha$；令 $\omega_m = \omega_c'$，由 $\omega_m = \frac{1}{\sqrt{\alpha}T}$ 求 $T$。
写出 $G_c(s) = \frac{Ts+1}{\alpha Ts+1}$，并校验相角裕度是否满足要求。

6.3 串联滞后校正（Phase-Lag Compensation）

一、校正装置特性

**传递函数**：$G_c(s) = \frac{\alpha Ts+1}{Ts+1} \quad (\alpha < 1)$（或记为 $\frac{1+\beta Ts}{1+Ts}$，$\beta > 1$）
**频率特性**：所有频率下具有**负相移**（滞后）。高频段幅值衰减为 $20\lg\alpha < 0\text{ dB}$，起**低通滤波器**作用。

二、校正作用与适用场合

**作用**：利用高频衰减特性，**降低截止频率** $\omega_c$，使系统在新截止频率处获得足够的相角裕度。**以牺牲快速性换取稳定性**。
**适用场合**：**响应速度要求不高**，但要求**抑制高频噪声**或需要**提高稳态精度**的系统。
**注意**：为避免滞后相角对中频段稳定裕度的不利影响，校正装置的转折频率应远低于校正后的截止频率（通常取 $\omega_c' \ge 10/\alpha T$）。

三、设计步骤（分析法）

根据稳态误差要求，确定开环增益 $K$。
绘制未校正系统伯德图，求出原 $\omega_c$ 和 $\gamma$。
根据要求的相角裕度 $\gamma_{\text{req}}$，并考虑滞后网络引入的 $5^\circ\sim10^\circ$ 附加滞后，确定校正后的截止频率 $\omega_c'$（通常取原相频特性上 $\gamma = \gamma_{\text{req}} + \Delta$ 处的频率）。
由 $|G_0(j\omega_c')| = 1/\alpha$ 求出 $\alpha$；取转折频率 $1/T = 0.1\omega_c'$，求得 $T$。
写出 $G_c(s)$ 并校验。

6.4 相位滞后-超前校正（Lag-Lead Compensation）

一、校正装置特性

**传递函数**：$G_c(s) = \frac{(T_1s+1)(T_2s+1)}{(\frac{T_1}{\beta}s+1)(\beta T_2s+1)} \quad (\beta > 1)$
**频率特性**：低频段具有滞后特性（负斜率、负相移），高频段具有超前特性（正斜率、正相移）。相当于一个**滞后网络**和一个**超前网络**的串联。

二、校正作用与适用场合

**作用**：**兼有滞后校正和超前校正的优点**。既能利用低频段的高增益提高稳态精度，又能利用高频段的相位超前增大稳定裕度、加快响应。
**适用场合**：当系统**对稳态精度和动态性能都有较高要求**，单独使用超前或滞后校正均难以满足指标时，采用滞后-超前校正。

三、设计思路（简述）

先根据稳态精度要求确定开环增益。
按滞后校正的方法确定滞后部分参数，使中高频段幅值衰减，截止频率左移至期望值。
再按超前校正的方法确定超前部分参数，在中频段提供足够的相位超前，保证相角裕度。
校验性能指标。

6.5 期望串联校正（Desired Characteristic Method）

一、基本原理

期望特性法（综合法）**只适用于最小相位系统**。
**核心思想**：根据给定的性能指标，先构造一个**期望的开环对数幅频特性** $L_{\text{des}}(\omega)$，然后与未校正系统的 $L_0(\omega)$ 相减，得到校正装置的幅频特性：$L_c(\omega) = L_{\text{des}}(\omega) - L_0(\omega)$。
与超前/滞后校正的"试探法"相比，期望特性法能**一次性地全面满足稳态和动态指标**，避免了反复试凑的盲目性。

二、期望特性的"三频段"构造原则

**低频段**：增益 $K$ 足够大，斜率足够负（通常为 $-20$ 或 $-40\text{dB/dec}$），以满足稳态误差要求。
**中频段**：斜率宜取 $-20\text{dB/dec}$，且**中频宽度 $h = \omega_2/\omega_1$ 足够大**，以保证平稳性。截止频率 $\omega_c$ 根据调节时间要求确定。
**高频段**：幅值衰减尽可能快，以增强抗高频干扰能力。

三、典型期望特性模型

**二阶期望特性**：$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}$。工程上常取 $\zeta=0.707$ 为"最佳二阶系统"，此时超调量 $\sigma\%\approx4.3\%$，相角裕度 $\gamma\approx65.5^\circ$。
**三阶期望特性**：$G(s) = \frac{K(T_1s+1)}{s^2(T_2s+1)}$。中频宽度 $h = \omega_2/\omega_1$ 与超调量相关，转折频率可按 $\omega_1 = \frac{2\omega_c}{h+1}$，$\omega_2 = \frac{2h\omega_c}{h+1}$ 确定。

四、设计步骤

绘制满足稳态精度要求的未校正系统伯德图 $L_0$。
根据性能指标，构造期望特性 $L_{\text{des}}$（重点设计低、中、高频段及连接段）。
由 $L_c = L_{\text{des}} - L_0$ 求出校正装置的传递函数 $G_c(s)$。
校验校正后系统的性能指标。

6.6 并联（局部反馈）校正

一、基本原理与特点

**结构**：校正装置 $H(s)$ 跨接在前向通道某一部分 $G_2(s)$ 的两端，构成局部闭环。等效传递函数为 $G_2'(s) = \frac{G_2(s)}{1+G_2(s)H(s)}$。
**核心优势**：

**抑制扰动**：有效抑制被包围回路内部元件的扰动和参数波动。
**降低非线性影响**：减弱被包围环节的非线性特性对系统的影响。
**无需附加放大器**：反馈信号从高功率点传向低功率点，通常不需要额外的放大环节。

**重要性质**：在 $|G_2(j\omega)H(j\omega)| \gg 1$ 的频段内，$G_2'(j\omega) \approx 1/H(j\omega)$。此时局部闭环的特性**几乎完全取决于反馈网络**，而与原有环节 $G_2(s)$ 无关。这一特性常被用来"改造"不希望的环节。

二、典型局部反馈的影响

| :--- | :--- | :--- | :--- |

| 积分环节 $K/s$ | 比例反馈 $K_H$ | 惯性环节 $\frac{K}{s+KK_H}$ | 无差度降低，稳定性提高 |

| 惯性环节 $\frac{K}{Ts+1}$ | 比例反馈 $K_H$ | 惯性环节，时间常数和增益均减小 | 响应加快，但增益下降 |

| 惯性环节 $\frac{K}{Ts+1}$ | 微分反馈 $K_t s$ | 惯性环节，时间常数变为 $T+KK_t$ | 时间常数增大，响应变慢，稳定性提高 |

> **【图片保存提示】** 见原PPT第61页：比例反馈包围积分/惯性环节、微分反馈包围惯性/振荡环节的四种结构图。

6.7 PID控制器及其参数整定

一、PID控制器的基本形式

**时域方程**：$u(t) = K_p\left $e(t) + \\frac{1}{T_i}\\int_0\^t e(t)dt + T_d\\frac{de(t)}{dt}\\right$ $
**传递函数**：$G_c(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s = K_p\left(1+\frac{1}{T_i s}+T_d s\right)$
**三种作用的本质**：
**比例（P）**：即时响应误差，增大 $K_p$ 可加快响应、减小稳态误差，但过大会导致振荡加剧。
**积分（I）**：累积历史误差，**提高系统无差度**（型别），消除稳态误差。但引入 $-90^\circ$ 相位滞后，可能降低稳定性。
**微分（D）**：预测误差变化趋势，**增大系统阻尼**，减小超调，提高快速性。但会放大高频噪声。

二、常用PID组合形式

| 类型 | 传递函数 | 特性 | 适用场景 |

| :--- | :--- | :--- | :--- |

| **PI** | $K_p(1+\frac{1}{T_i s})$ | 滞后校正（低通滤波） | 稳态精度要求高、允许响应稍慢的系统 |

| **PID** | $K_p(1+\frac{1}{T_i s}+T_d s)$ | 滞后-超前校正 | 同时要求高精度和快响应的系统 |

> **【图片保存提示】** 见原PPT第80页（PI伯德图）、第85页（PD伯德图）、第89页（PID电路图）、第91页（三运放PID结构图）。

三、PID参数整定方法（拓展）

除理论计算（频率法、根轨迹法）外，工程上广泛使用**经验整定法**：

**临界比例度法（Ziegler-Nichols 闭环法）** ：

将控制器设为纯比例（$T_i=\infty, T_d=0$），逐渐增大 $K_p$。
直到系统对阶跃输入产生**等幅振荡**（临界状态），记录此时的**临界增益 $K_u$** 和**临界振荡周期 $T_u$**。
根据经验公式计算PID参数（不同文献公式略有差异，常见形式为：$K_p = 0.6K_u$，$T_i = 0.5T_u$，$T_d = 0.125T_u$）。
**注意**：该方法仅适用于**允许产生等幅振荡**的系统；对于不允许振荡的工业过程，需改用阶跃响应法（Z-N开环法）。

**衰减曲线法**：

在纯比例作用下，使系统阶跃响应达到 **4:1 衰减**（即相邻两个波峰的幅值比为4:1），记录此时的比例度和振荡周期，查表整定参数。相比临界比例度法，更适用于实际工业过程（不要求等幅振荡）。

**动态特性参数法（Z-N 开环法）** ：

通过阶跃响应实验获取被控对象的**延迟时间 $L$** 和**时间常数 $T$**，利用经验公式直接计算PID参数。适用于无法进行闭环临界试验的场合。

6.8 本章核心逻辑与易错点提醒

核心逻辑链

> **性能指标** → **选择校正方式**（超前 / 滞后 / 滞后-超前 / 期望特性 / 反馈） → **确定校正装置参数** → **校验性能指标** → **工程实现**

易错点提醒

**超前校正**：会增大截止频率和带宽，**降低抗高频干扰能力**；设计时需注意增益补偿（$1/\alpha$）。
**滞后校正**：会**降低截止频率**，使响应变慢；转折频率必须远离校正后的截止频率，以避免相位滞后破坏中频段稳定性。
**期望特性法**：**只适用于最小相位系统**。构造期望特性时，低、中、高频段的斜率变化应尽量平缓，避免过大的相位突变。
**局部反馈校正**：反馈信号取自**高功率点**传向**低功率点**，通常无需放大器；但在 $|G_2 H| \approx 1$ 附近，近似条件不成立，需谨慎设计。
**PID整定**：临界比例度法要求系统处于**等幅振荡**边缘，对于不允许长时间振荡的工业对象，应优先选用**衰减曲线法**或**开环阶跃响应法**。

第六章 控制系统设计与校正