洛谷 B4579：[GESP202609 四级] 新汉诺塔

【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/B4579

【题目描述】
汉诺塔问题是最经典的递推问题之一：
有三个可以放圆盘柱子，编号为 A、B 和 C。
开始时柱子 A 上套着 n 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。
我们的任务是要把这 n 个圆盘移到柱子 C 上，并保持它们的原有顺序不变。
在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则：
（1）圆盘只能从一根柱子顶部拿出，从另一根柱子顶部放入。
（2）每次只能移动一个圆盘。
（3）小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。
小杨在学习了汉诺塔问题后，决定添加一个新规则：
（4）每一次移动，圆盘只能从 A 移动到 B，从 B 移动到 C，或者从 C 移动到 A；其它移动是不允许的。
在新规则下，给定圆盘数量 n，试问最少移动步数是多少？

【输入格式】
输入一个正整数 n，表示圆盘的数量。

【输出格式】
输出一个整数，表示在新规则下将 n 个圆盘从 A 移动到 C 所需的最少移动步数。

【输入样例】
2

【输出样例】
7

【样例解释】
以下步骤是最佳的（编号为 1 的是小盘，为 2 的是大盘）：
（1）将 1 从 A 移动到 B；
（2）将 1 从 B 移动到 C；
（3）将 2 从 A 移动到 B；
（4）将 1 从 C 移动到 A；
（5）将 2 从 B 移动到 C；
（6）将 1 从 A 移动到 B；
（7）将 1 从 B 移动到 C。
可以证明没有更少步骤可以完成这个任务。

【数据范围】
对于所有数据，n≤20。

【算法分析】
● 本题是单向汉诺塔问题（循环移动：A→B，B→C，C→A）。
● 设 f $k$ 表示 k 个盘子做一次相邻正向转移（A → B，B → C，C → A）的最小步数。设 s $k$ 表示 k 个盘子跨一环转移（A → C，B → A，C → B）的最小步数。
任务一：把 k 个盘子从 A 搬到 B
阶段 1：k-1 个盘由 A → C，跨一环转移，代价 s $k-1$ 。
阶段 2：A 柱上的第 k 个盘由 A → B，代价+1。
阶段 3：k-1 个盘由 C → B，跨一环转移，代价 s $k-1$ 。
总步数为：f $k$ =s $k-1$ +1+s $k-1$ =2*s $k-1$ +1

任务二：把 k 个盘子从 A 搬到 C
阶段 1：k-1 个盘由 A → C，跨一环转移，代价 s $k-1$ 。
阶段 2：A 柱上的第 k 个盘由 A → B，代价+1。
阶段 3：k-1 个盘由 C → A，相邻正向转移，代价 f $k-1$ 。
阶段 4：B 柱上的第 k 个盘由 B → C，代价+1。
阶段 5：k-1 个盘由 A → C，跨一环转移，代价 s $k-1$ 。
总步数为：s $k$ =2*s $k-1$ +f $k-1$ +2

【算法代码】

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N=25;
LL s[N],f[N];

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    f[1]=1,s[1]=2;
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        f[i]=2*s[i-1]+1;
        s[i]=2*s[i-1]+f[i-1]+2;
    }
    cout<<s[n]<<endl;
    return 0;
}

/*
in:2
out:7
*/

【参考文献】
https://gesp.ccf.org.cn/101/attach/1767258770636832.pdf
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/156025724