csp信奥赛c++中的递归和递推研究
通过斐波那契数列理解递归与递推
题目描述
斐波那契数列是指这样的数列：数列的第一个和第二个数都为 1 1 1，接下来每个数都等于前面 2 2 2 个数之和。
给出一个正整数 a a a，要求斐波那契数列中第 a a a 个数是多少。
输入格式
第 1 1 1 行是测试数据的组数 n n n，后面跟着 n n n 行输入。每组测试数据占 1 1 1 行，包括一个正整数 a a a（ 1 ≤ a ≤ 30 1 \le a \le 30 1≤a≤30）。
输出格式
输出有 n n n 行，每行输出对应一个输入。输出应是一个正整数，为斐波那契数列中第 a a a 个数的大小。
输入输出样例 1
输入 1
4
5
2
19
1输出 1
5
1
4181
1通过本题来深入研究递归和递推的思想
斐波那契数列的定义是：
F(1)=1, F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2) ( n ≥ 3 n\ge 3 n≥3) 。
这个定义本身就是递归 的------用自身更小的实例来定义自身。而递推则是从已知的基础值出发，一步步推出更大的值。
下面通过这道题来深入理解两种思想。
一、递归
递归是一种直接或间接调用自身的函数设计方法。它把一个大型复杂问题层层转化为一个规模较小的同类问题，直到达到可以直接求解的"基础情况"（递归基）。
对应代码（递归版）：
cpp
int fib(int a) {
if (a == 1 || a == 2) return 1; // 递归基
return fib(a - 1) + fib(a - 2); // 递归调用
}执行过程（以 fib(5) 为例）：递归树
fib(5)
/ \
fib(4) fib(3)
/ \ / \
fib(3) fib(2) fib(2) fib(1)
/ \ | | |
fib(2) fib(1) 1 1 1
| |
1 1树的说明：
- 每个结点代表一次函数调用，结点下的两个子结点是它递归调用的两个子问题。
- 叶子结点是递归基
fib(1)或fib(2)，直接返回 1。 - 从叶子开始向上逐层返回：
fib(2)=1,fib(1)=1→fib(3)=1+1=2→fib(4)=fib(3)+fib(2)=2+1=3→fib(5)=fib(4)+fib(3)=3+2=5。
重复计算问题：
- 观察树中，
fib(3)被计算了 2 次 （分别在fib(5)的左子树和右子树中），fib(2)被计算了 3 次。 - 当
a增大时，重复计算的结点数呈指数增长，导致总调用次数约为 O ( 2 n ) O(2^n) O(2n)。例如a=30时调用次数超过 270 万次，效率极低。
特点：
- 思路自然：直接翻译数学定义，代码简洁易写。
- 缺点明显：大量重复计算，效率低下，且递归深度过大可能导致栈溢出。
- 适用场景：问题规模很小，或者配合记忆化优化（见后文记忆化搜索）。
二、递推
递推是从已知的初始条件出发，按照某种规则逐步推导出后续所有结果。它通常使用循环（迭代）实现，是一种自底向上的计算方法。
对应代码（递推预存储版）：
cpp
int f[31];
f[1] = f[2] = 1; // 初始条件
for (int i = 3; i <= 30; ++i) {
f[i] = f[i-1] + f[i-2]; // 递推公式
}
// 查询时直接返回 f[a]执行过程（计算 f[3] 到 f[5]）：
f[3] = f[2] + f[1] = 1+1 = 2
f[4] = f[3] + f[2] = 2+1 = 3
f[5] = f[4] + f[3] = 3+2 = 5每一步只用前面已经算好的值，没有重复计算。
特点：
- 效率高 ：计算
f[n]只需 O(n) 时间，查询只需 O(1)（若预存）。 - 空间可控：可以只保留最近两项，空间 O(1)；也可以预存整个表，空间 O(n) 但查询更快。
- 无函数调用开销：纯循环实现，不会栈溢出。
- 思路要求：需要找到"如何从已知推未知"的规则，不如递归直观。
适用场景：
- 问题具有明确的阶段性和递推关系（如动态规划、数列计算）。
- 需要反复查询不同 n 的结果（预存后 O(1) 查询）。
- 大规模数据（如 n= 10 6 10^6 106 甚至更大）。
三、递归 vs 递推 对比表
| 对比维度 | 递归 | 递推 |
|---|---|---|
| 实现方式 | 函数调用自身 | 循环迭代 |
| 方向 | 自顶向下（从大问题分解到小问题） | 自底向上（从小问题构建大问题） |
| 重复计算 | 严重（未优化时） | 无 |
| 时间复杂度 | 指数级 O ( 2 n ) O(2^n) O(2n) | 多项式级O(n) |
| 空间复杂度 | 调用栈深度 O(n) | 通常 O(1) 或 O(n) |
| 代码可读性 | 贴近数学定义，直观 | 需要设计迭代顺序，稍不直观 |
| 风险 | 栈溢出风险（n 大时） | 基本无风险 |
四、本题方法思路
本题中 a ≤ 30，三种方法（递归、记忆化搜索、递推）都能在时限内通过。
- 纯粹递归：虽然能 AC，但效率最低，仅适合理解定义或极小的 n。
- 递推（预存储）：代码清晰、查询最快，适合工程实践。
- 记忆化搜索：是递归的优化版，保留了递归的直观形式，同时消除了重复计算，适合那些"不好直接写出递推顺序但容易递归"的问题（如图论中的 DAG 记忆化搜索）。
总结一句话：
递归是"自己调用自己"，分解问题；递推是"从已知推未知"，迭代求解。递归自然但低效，递推高效但需思考顺序。
解法一：递归
思路
直接按照斐波那契的数学定义编写递归函数：
- 终止条件：
a == 1 || a == 2返回 1 - 否则返回
fib(a-1) + fib(a-2)
时间复杂度 O( 2 n 2^n 2n)，空间复杂度 O(n)（调用栈深度）。
代码实现
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 递归计算斐波那契数列的第 a 项
int fib(int a) {
if (a == 1 || a == 2) return 1; // 边界
return fib(a - 1) + fib(a - 2); // 递归调用
}
int main() {
int n, a;
cin >> n;
while (n--) {
cin >> a;
cout << fib(a) << endl;// 直接输出递归结果
}
return 0;
}解法二：记忆化搜索
思路
使用一个全局数组 memo 保存已计算过的值。
在 fib 函数中：
- 如果
memo[a] != 0直接返回 - 否则递归计算并存入
memo[a]
时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)。
对多组测试数据，memo 复用，效率高。
代码
cpp
#include <bits/stdc++.h>
const int MAXN = 31;
int memo[MAXN]; //记忆化数组，0表示未计算
// 记忆化搜索计算斐波那契数列的第 a 项
int fib(int a) {
if (a == 1 || a == 2) return 1; // 边界
if (memo[a] != 0) return memo[a]; // 已计算，直接返回
memo[a] = fib(a - 1) + fib(a - 2); // 计算并保存
return memo[a];
}
int main() {
memset(memo, 0, sizeof(memo)); // 初始化记忆数组
int n, a;
cin >> n;
while (n--) {
cin >> a;
cout << fib(a) << endl;
}
return 0;
}解法三：递推
思路
提前计算出所有可能用到的斐波那契数（因为 a≤30，所以计算到 30 即可）。
用一个全局数组 f 存储，f[1] = f[2] = 1，然后 for i = 3 to 30: f[i] = f[i-1] + f[i-2]。
函数 fib(int a) 直接返回 f[a]。
这样对于每个查询只需 O(1) 时间，预处理 O(n)。
代码
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 31;
int f[MAXN]; // 存储斐波那契数列的数组
int main() {
// 预处理：计算 f[1] 到 f[30]
f[1] = f[2] = 1;
for (int i = 3; i < MAXN; ++i) {
f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
}
int n, a;
cin >> n;
while (n--) {
cin >> a;
cout << f[a]<< endl; // O(1) 输出
}
return 0;
}三种解法对比总结
| 方法 | 时间复杂度（单次查询） | 空间复杂度 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|---|
| 递归 | O( 2 n 2^n 2n) | O(n) | 代码极简，与数学定义完全一致 | 重复计算极多，n=30 时调用次数约 270 万次，效率低 |
| 记忆化搜索 | O(n) | O(n) | 保留递归的直观性，避免重复计算，可复用中间结果 | 递归深度仍为 n（n≤30 安全），需要额外数组 |
| 递推+预存储 | O(1) | O(n) | 查询最快，预处理后直接数组访问，适合多组查询 | 需要事先知道最大范围（本题已知，无影响） |
针对本题（多组查询， a ≤ 30 a \le 30 a≤30）
- 递推+预存储 是最优选择，查询时间复杂度最低，代码也简洁。
- 记忆化搜索在本题也能高效运行，且不需要提前预知最大 n，但每次查询仍可能触发递归调用。
- 纯递归效率最低。
推荐：在实际编程中，对于固定小范围的多组查询，预存储法最佳。
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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