245. 2019年蓝桥杯国赛 - 数正方形（困难）- 递推

245. 数正方形（困难）

2019年蓝桥杯国赛 - 数正方形（困难）

标签：2019 国赛 递推

题目描述

在一个 N N N× N N N 的点阵上，取其中 4 个点恰好组成一个正方形的 4 个顶点，一共有多少种不同的取法？

由于结果可能非常大，你只需要输出模 109 + 7 109+7 109+7 的余数。

如上图所示的正方形都是合法的。

输入描述

输入包含一个整数 N ( 2 ≤ N ≤ 106 ) N (2≤N≤106) N(2≤N≤106)。

输出描述

输出一个整数代表答案。

输入输出样例

示例：

输入

txt 复制代码

输出

txt 复制代码

运行限制

最大运行时间：1s
最大运行内存: 256M

解决思路

这道题目要求我们在 N × N N \times N N×N 的点阵中，找到所有可以构成正方形的 4 个点。正方形的四个顶点之间具有特殊的关系，它们必须满足以下条件：

所有的边长度相等。
每两个相邻的顶点之间的距离是相等的。

分析

首先，我们需要明确如何在一个点阵中找到正方形。可以通过以下两种方式构建正方形：

**平行于坐标轴的正方形：**这些正方形的边是水平或垂直的，容易计算。假设正方形的边长为 i i i，那么每一个边长为 i i i 的正方形，可以从点阵中的任意一个点出发，计算正方形的起始点位置及数量。

**旋转后的正方形：**这种正方形的边不一定与坐标轴平行，但它们依然满足正方形的四个点和边长相等的条件。计算过程与平行于坐标轴的正方形类似。

对于每一个边长 i i i 的正方形，其顶点距离 i i i 的水平和垂直距离都可以通过计算确定。通过枚举所有可能的边长，我们可以求解出所有正方形的个数。

公式推导

由 2.1的图表可推得，对于每一个边长为 i i i 的正方形，假设其起始点坐标为 ( x , y ) (x, y) (x,y)，我们可以确定正方形的 4 个顶点位置。如果正方形的边长为 i i i，那么从某个点开始，所有合法的正方形的个数为：
( n − i ) 2 × i (n - i)^2 \times i (n−i)2×i

其中， ( n − i ) 2 (n - i)^2 (n−i)2 表示可以选择的起始点数量， i i i 表示每个正方形的边长。

算法步骤

初始化计数器 c o n t cont cont 为 0 0 0。
遍历所有可能的边长 i i i 从 1 1 1 到 n − 1 n−1 n−1。
对每个 i i i，计算该边长对应的正方形个数，并累加到 c o n t cont cont 中。
最后输出 c o n t cont cont 对 109 + 7 109+7 109+7 取模的结果。

代码实现

python 复制代码

# 获取边长
n = int(input())
MOD = 10**9 + 7  # 结果取模的常数

cont = 0
# 遍历所有可能的边长 i
for i in range(1, n):
    # 计算边长为 i 的空间下，正方形的个数
    cont += (n - i) ** 2 * i

# 输出最终的结果，取模 10^9 + 7
print(cont % MOD)

复杂度分析

时间复杂度 ： O ( n ) O(n) O(n)，遍历所有边长 i i i 从 1 1 1 到 n − 1 n-1 n−1。

空间复杂度 ： O ( 1 ) O(1) O(1)，使用的变量为常数个（n, MOD, cont, i），不需要额外存储空间。

杂度分析

时间复杂度 ： O ( n ) O(n) O(n)，遍历所有边长 i i i 从 1 1 1 到 n − 1 n-1 n−1。

空间复杂度 ： O ( 1 ) O(1) O(1)，使用的变量为常数个（n, MOD, cont, i），不需要额外存储空间。