通过 3D 动画直观演示球形瓶内可滑动半圆机构在倾倒时防粘盖、回正时刮膏体的运动学过程。
```python
-*- coding: utf-8 -*-
"""
球形瓶防粘盖滑动半圆机构 · 数字化实施例（仿真验证程序）
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本程序对应专利交底书附图 3「运动时序仿真图」，用于验证：
(1) 瓶体倾倒时，半圆滑动件在重力分量作用下由夹层 13 滑出，
于瓶口内侧形成凹面朝上的屏障，阻断膏体 30 与瓶盖 16 接触；
(2) 瓶体回正并开盖时，半圆滑动件滑回夹层 13，
其赤道刮缘 22 将黏附于凹面的膏体 30 刮落回瓶腔。
部件编号与说明书一致：
10 球形瓶体 11 外壁 12 上半球内壁 13 环形夹层腔
14 下腔 15 瓶口 16 瓶盖 20 半圆滑动件
21 半圆球面主体 22 赤道刮缘 30 膏体
运行环境：Python 3.9+ / numpy / matplotlib
输出：sphere_bottle_slider.gif
"""
import numpy as np
import matplotlib
matplotlib.use("Agg")
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation, PillowWriter
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D # noqa: F401
中文字体（按系统已有字体回退）
plt.rcParams"font.sans-serif" = ["Noto Sans CJK SC", "SimHei",
"Microsoft YaHei", "PingFang SC", "DejaVu Sans"]
plt.rcParams"axes.unicode_minus" = False
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1. 实施例几何参数（单位：归一化无量纲量，实物按比例放大）
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R_OUT = 1.00 # 11 外壁半径
R_CAV = 0.96 # 14 内腔半径（壁厚 0.04）
R_SLD = 0.78 # 21 半圆球面主体半径
Z_RET = 0.16 # 20 收纳位（位于 13 夹层腔内）
Z_DEP = -0.50 # 20 展开位（位于 14 内腔下部）
CAP_R = 0.30 # 16 瓶盖半径
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2. 运动时序（对应附图 3，横轴为时间 t / s）
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FPS, T_END = 24, 9.0
def smoothstep(x):
"""S 型速度曲线，避免启停冲击"""
x = np.clip(x, 0.0, 1.0)
return x * x * (3.0 - 2.0 * x)
def timeline(t):
"""返回 (瓶体倾角 theta, 滑片轴向位置 z_off, 开盖系数 cap_open)"""
if t < 1.2: # ① 正立，滑片收纳
return 0.0, Z_RET, 0.0
if t < 2.8: # ② 倾倒，滑片滑出
k = smoothstep((t - 1.2) / 1.6)
theta = np.pi * k
zo = Z_RET + (Z_DEP - Z_RET) * smoothstep((t - 1.6) / 1.0)
return theta, zo, 0.0
if t < 5.2: # ③ 倒置保持，膏体被托住
return np.pi, Z_DEP, 0.0
if t < 7.0: # ④ 回正
k = smoothstep((t - 5.2) / 1.8)
return np.pi * (1.0 - k), Z_DEP, 0.0
if t < 8.6: # ⑤ 开盖 + 滑片回收刮料
k = smoothstep((t - 7.0) / 1.6)
return 0.0, Z_DEP + (Z_RET - Z_DEP) * k, smoothstep((t - 7.0) / 0.5)
return 0.0, Z_RET, 1.0 # ⑥ 复位
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3. 膏体 30 的离散粒子动力学（简化的黏塑性流体模型）
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class PasteSim:
"""以 N 个示踪粒子表征膏体，含重力、阻尼、器壁约束与滑片约束"""
def init(self, n=120, seed=20240607):
rng = np.random.default_rng(seed)
d = rng.normal(size=(n, 3))
d /= np.linalg.norm(d, axis=1, keepdims=True)
d *= 0.86 * np.cbrt(rng.random((n, 1)))
d:, 2 = -np.abs(d:, 2) - 0.05 # 初始堆积于瓶底
self.p = d
self.v = np.zeros((n, 3))
self._zprev = Z_RET
def advance(self, theta, z_off, dt=1.0 / 48.0, sub=2):
"""瓶坐标系下的时间推进（世界重力随瓶体旋转投影到瓶坐标）"""
R = rot_x(theta)
g = R.T @ np.array(0.0, 0.0, -1.0) # 瓶坐标下的重力单位向量
for _ in range(sub):
self.v += g * dt * 10.0 # 重力项
self.v *= 0.90 # 内摩擦阻尼
self.p += self.v * dt
self._wall() # 约束 1：瓶腔 14
if z_off < 0.10: # 滑片处于展开状态
self._slider(z_off) # 约束 2：滑片凹面 21
self._zprev = z_off
return self.p
def _wall(self):
"""器壁 11/14 的硬约束：粒子投影回球腔内并清除法向穿透速度"""
p, v = self.p, self.v
r = np.linalg.norm(p, axis=1)
over = r > R_CAV
if np.any(over):
n = pover / rover, None
pover = n * R_CAV
vn = np.einsum("ij,ij->i", vover, n)
vover -= np.maximum(vn, 0.0):, None * n
def _slider(self, z_off):
"""滑片 21 的凹面约束 + 回收时的刮落效应"""
p, v = self.p, self.v
rho = np.hypot(p:, 0, p:, 1)
mask = rho < R_SLD - 1e-9
zs = np.full(len(p), np.inf)
zsmask = z_off + np.sqrt(np.maximum(R_SLD ** 2 - rhomask ** 2, 0.0))
hit = p:, 2 < zs
if not np.any(hit):
return
phit, 2 = zshit # 投影到凹面
vhit, 2 = np.maximum(vhit, 2, 0.0) # 清除法向穿透速度
------ 刮料机理：滑片回程（z_off 增大）时，赤道刮缘 22 将膏体向轴心刮落
dz = z_off - self._zprev
if dz > 1e-6:
push = min(dz * 60.0, 2.5)
rh = np.hypot(phit, 0, phit, 1)
rhrh \< 1e-9 = 1.0
vhit, 0 -= phit, 0 / rh * push
vhit, 1 -= phit, 1 / rh * push
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4. 三维几何与渲染
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def rot_x(a):
c, s = np.cos(a), np.sin(a)
return np.array(\[1.0, 0.0, 0.0, 0.0, c, -s, 0.0, s, c])
def rot_apply(X, Y, Z, R):
"""将瓶坐标系网格整体旋转到世界坐标"""
shp = X.shape
P = np.stack(np.asarray(X).ravel(), np.asarray(Y).ravel(), np.asarray(Z).ravel())
Q = R @ P
return Q0.reshape(shp), Q1.reshape(shp), Q2.reshape(shp)
def sph(r, n=36, v0=0.0, v1=np.pi):
u = np.linspace(0.0, 2.0 * np.pi, n)
v = np.linspace(v0, v1, max(n // 2, 8))
uu, vv = np.meshgrid(u, v)
return r * np.sin(vv) * np.cos(uu), r * np.sin(vv) * np.sin(uu), r * np.cos(vv)
def hemi(r, zoff, n=40, m=12):
u = np.linspace(0.0, 2.0 * np.pi, n)
v = np.linspace(0.0, np.pi / 2.0, m)
uu, vv = np.meshgrid(u, v)
return r * np.sin(vv) * np.cos(uu), r * np.sin(vv) * np.sin(uu), r * np.cos(vv) + zoff
def stage_text(t):
if t < 1.2: return "① 正立 · 半圆滑动件 20 收纳于夹层 13"
if t < 2.8: return "② 倾倒 · 20 受重力分量滑出，凹面朝上形成屏障"
if t < 5.2: return "③ 倒置 · 膏体 30 滞留于凹面，不接触瓶盖 16"
if t < 7.0: return "④ 回正 · 膏体随 20 回落瓶腔"
if t < 8.6: return "⑤ 开盖 · 20 回程，刮缘 22 将膏体刮回瓶内"
return "⑥ 复位 · 半圆滑动件重新收纳于夹层，等待下次倾倒"
def render(ax, theta, z_off, sim, cap_open, t):
ax.clear()
R = rot_x(theta)
ax.set_xlim(-1.2, 1.2); ax.set_ylim(-1.2, 1.2); ax.set_zlim(-1.2, 1.2)
ax.set_box_aspect((1, 1, 1))
ax.view_init(elev=16, azim=-60)
ax.set_axis_off()
------ 11 外壁（透明球壳）
X, Y, Z = sph(R_OUT, 44)
ax.plot_surface(*rot_apply(X, Y, Z, R), color="#a8c8dd",
alpha=0.055, linewidth=0, shade=False, antialiased=True)
------ 14 内腔面
X, Y, Z = sph(R_CAV, 36, np.pi / 2, np.pi)
ax.plot_surface(*rot_apply(X, Y, Z, R), color="#9fbfd0",
alpha=0.10, linewidth=0, shade=False)
X, Y, Z = sph(R_CAV, 36, 0, np.pi / 2)
ax.plot_surface(*rot_apply(X, Y, Z, R), color="#9fbfd0",
alpha=0.045, linewidth=0, shade=False)
------ 13 环形夹层腔示意（虚线圈）
tt = np.linspace(0, 2 * np.pi, 64)
for dz in (0.0, 0.12):
ex = R_SLD * 1.03 * np.cos(tt)
ey = R_SLD * 1.03 * np.sin(tt)
ez = np.full_like(tt, Z_RET - dz)
ax.plot(*rot_apply(ex, ey, ez, R), color="#6f93aa",
lw=1.0, alpha=0.65, ls="--")
------ 20 半圆滑动件（21 主体）
X, Y, Z = hemi(R_SLD, z_off, 44, 14)
ax.plot_surface(*rot_apply(X, Y, Z, R), color="#e07b39",
alpha=0.52, linewidth=0, shade=True, antialiased=True)
------ 22 赤道刮缘
ex = R_SLD * np.cos(tt); ey = R_SLD * np.sin(tt)
ez = np.full_like(tt, z_off)
ax.plot(*rot_apply(ex, ey, ez, R), color="#8a3b0a", lw=2.4)
------ 30 膏体粒子
P = (R @ sim.p.T).T
ax.scatter(P:, 0, P:, 1, P:, 2, s=17, c="#f2e3b3",
edgecolors="#b89b45", linewidths=0.4, depthshade=True)
------ 16 瓶盖
if cap_open < 0.5:
X, Y, Z = sph(CAP_R, 26, 0, np.pi / 2)
ax.plot_surface(*rot_apply(X, Y, Z + 0.98, R), color="#4a4a4a",
alpha=0.55, linewidth=0, shade=False)
ax.text2D(0.02, 0.95, stage_text(t), transform=ax.transAxes, fontsize=10.5)
ax.text2D(0.02, 0.05, "theta=%4.1f deg z_off=%+.2f" % (np.degrees(theta), z_off),
transform=ax.transAxes, fontsize=9, color="#555555")
======================================================================
5. 主程序
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def main(save="sphere_bottle_slider.gif"):
sim = PasteSim()
fig = plt.figure(figsize=(7.2, 7.2), dpi=100)
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
frames = np.arange(int(FPS * T_END))
def update(fi):
t = fi / FPS
theta, z_off, cap = timeline(t)
sim.advance(theta, z_off)
render(ax, theta, z_off, sim, cap, t)
return (ax,)
anim = FuncAnimation(fig, update, frames=frames, interval=1000.0 / FPS, blit=False)
anim.save(save, writer=PillowWriter(fps=FPS))
print("已输出动画：", save)
return anim
if name == "main":
main()
```
结构演示与动态时序解析
· 阶段① 正立收纳：瓶体直立，半圆滑动件藏在环形夹层腔里，膏体安静地堆积在瓶底。
· 阶段② 倾倒滑出：瓶身倾斜时，重力分量把半圆滑动件从夹层拉出来，凹面朝上形成物理屏障。
· 阶段③ 倒置阻挡：膏体粒子被滑片凹面托住，不会流到瓶盖位置。
· 阶段④ 回正回落：瓶体回正后，膏体随滑片一起落回瓶腔。
· 阶段⑤ 刮料回收：打开瓶盖，滑片沿轴向滑回夹层，赤道边缘把黏在凹面上的膏体刮回瓶内。
· 阶段⑥ 复位待用：滑动件重新收纳，等待下次倾倒。
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