在曲面的每个点上，都有其自身的局部几何结构，即该处距离运作的独特规律。ggg 的值是位置的函数。它们会随着你的移动而变化。
这正是使度规成为一个场field，而不仅仅是一个数字的原因。它同时存在于曲面的每个位置，默默地编码着每个位置的曲率。
正如一个函数为每个点赋予一个值，度量也会为每个点赋予一组 ggg 个值。原理相同，但对象更丰富。
如果你知道每个点的 ggg 值，也就是完整的度量场，你就完全掌握了几何结构。不仅是形状，还包括每个位置上的距离和角度如何运作。从这个意义上说，从几何角度来看，度规就是表面。
对于球体，ggg 值随纬度变化。在两极附近，经线密集聚集，度规反映了这一点。对于平面，它们在各处都是恒定的。对于鞍面，它们告诉你曲面在不同方向上的弯曲方式各不相同。
曲面不仅仅是你从外部看到的图像。它是所有这些局部测量值的集合，被缝合在一起。
我们所看到的是一种嵌入embedding，球体置于三维空间中，从外部可见。但度量是曲面从内部对自己所认知的。无需外部视角。
极点并非球体本身的特质。它们是我们叠加在球体上的坐标系所赋予的特质。经线在极点附近聚集，是纬度和经度的特征是我们选择描述球体的方式，而非球体本身的特征。
球体并不知道它的两极在哪里。
微分几何使用坐标系，但其最深奥的结论并不依赖于坐标系。真正的几何量，曲率、距离、角度，无论你选择哪种坐标系，它们都保持不变。我们说它们是不变的。
当你改变坐标系时，度量张量 的分量会发生变化。但它所编码的距离  却保持不变。张量的变换方式恰到好处，使得底层的几何结构得以完整保留。
这有点像，地球球体本身并不了解经纬度。但如果你测量两点之间的实际距离，无论使用哪张地图，得到的答案都是一样的。
从这里出发，我们有几条自然的道路。
其一是曲率curvature本身。它内在的真正含义，以及球面与圆柱面之间那种无法通过坐标系消除的差异。高斯曲率Gaussian curvature，是曲面自身所知晓的特质。
其二是测地线geodesic。曲面上可能存在的最直路径。当你脚下的地面弯曲时，"直"究竟意味着什么。
再往前走，爱因斯坦正等待着。那是引力化作几何的瞬间。