推前映射和拉回映射
前言
最近，学习到了微分几何的"迷雾区"------推前映射 （Push forward）和拉回映射 （Pull back）。推前映射比较容易理解，从一个切空间映射到另一个切空间。但是，余切空间（切空间的对偶空间）之间的拉回映射，开头给我整懵圈了（从数学层面，容易符号化推理出来，但是找不到对应的物理意义，就完全不知道为什么这样定义，感觉就像搞着玩一样）。结合机器人学，进行了进一步的思考（知道了为什么这么定义，不是瞎定义的），所以，记录如下。
本博客阅读预备知识： 已经知道微分几何中的推前映射和拉回映射（包括切空间和余切空间），以及机器人学中的雅可比矩阵相关的运动学和动力学。
正文
关节空间到工作空间的流形映射 的定义：记 n n n自由度串联机械臂的关节空间流形为 Q = R n \mathcal{Q} =\mathbb{R}^{n} Q=Rn，机械臂的工作空间流形为 W = S E ( 3 ) \mathcal{W} = \mathrm{SE}(3) W=SE(3)，关节空间到工作空间的映射为 F \mathbf{F} F（由机械臂的运动学可以求出）
F : Q → W , p ↦ F ( p ) \mathbf{F}:\ \mathcal{Q} \to \mathcal{W},\qquad p \mapsto \mathbf{F}(p) F: Q→W,p↦F(p)
其中 p p p是关节空间 Q \mathcal{Q} Q中的一个点。
关节空间的切空间到工作空间的切空间的推前映射 的定义：记 p p p点的切空间为 T p Q T_{p}\mathcal{Q} TpQ， p ∈ Q p \in \mathcal{Q} p∈Q， F ( p ) \mathbf{F}(p) F(p)点的切空间为 T F ( p ) W T_{\mathbf{F}(p)}\mathcal{W} TF(p)W， F ( p ) ∈ W \mathbf{F}(p) \in \mathcal{W} F(p)∈W，推前映射定义为：
P 1 : T p Q → T F ( p ) W , ∑ α i ∂ ∂ q i ↦ ∑ J i α ∂ ∂ q i \mathbf{P}{1}:\ T{p}\mathcal{Q} \to T_{\mathbf{F}(p)}\mathcal{W}, \qquad \sum \alpha_{i} \frac{\partial}{\partial q^{i}} \mapsto \sum J_{i}\alpha \frac{\partial}{\partial q^{i}} P1: TpQ→TF(p)W,∑αi∂qi∂↦∑Jiα∂qi∂
其中 J i J_{i} Ji是雅可比矩阵 J J J的第 i i i行， α = α 1 , . . . , α n T \alpha=\\alpha_{1}, ..., \\alpha_{n}^{T} α=α1,...,αnT。
工作空间的余切空间到关节空间的余切空间的拉回映射 的定义：记 F ( p ) \mathbf{F}(p) F(p)点的余切空间为 T F ( p ) ∗ W T^{*}{\mathbf{F}(p)}\mathcal{W} TF(p)∗W， F ( p ) ∈ W \mathbf{F}(p) \in \mathcal{W} F(p)∈W， p p p点的余切空间为 T p ∗ Q T^{*}{p}\mathcal{Q} Tp∗Q， p ∈ Q p \in \mathcal{Q} p∈Q，拉回映射定义为：
P 2 : T F ( p ) ∗ W → T p ∗ Q , ∑ β i d x i ↦ ∑ γ i d q i \mathbf{P}{2}:\ T^{*}{\mathbf{F}(p)}\mathcal{W} \to T^{*}{p}\mathcal{Q}, \qquad \sum \beta{i} d x^{i} \mapsto \sum \gamma_{i} d q^{i} P2: TF(p)∗W→Tp∗Q,∑βidxi↦∑γidqi
其中 P 2 \mathbf{P}{2} P2需要满足
( P 2 ( ∑ β i d x i ) ) ⏟ ∈ T p ∗ Q ( ∑ α i ∂ ∂ q i ) ⏟ ∈ T p Q = ( ∑ β i d x i ) ⏟ ∈ T F ( p ) ∗ W P 1 ( ∑ α i ∂ ∂ q i ) ⏟ ∈ T F ( p ) W (1) \underbrace{(\mathbf{P}{2}(\sum \beta_{i} d x^{i}))}{\in T^{*}{p}\mathcal{Q}}\underbrace{(\sum \alpha_{i} \frac{\partial}{\partial q^{i}})}{\in T{p}\mathcal{Q}} = \underbrace{(\sum \beta_{i} d x^{i})}{\in T^{*}{\mathbf{F}(p)}\mathcal{W}}\underbrace{\mathbf{P}{1}(\sum \alpha{i} \frac{\partial}{\partial q^{i}})}{\in T{\mathbf{F}(p)}\mathcal{W}} \tag{1} ∈Tp∗Q (P2(∑βidxi))∈TpQ (∑αi∂qi∂)=∈TF(p)∗W (∑βidxi)∈TF(p)W P1(∑αi∂qi∂)(1)
将 P 2 ( ∑ β i d x i ) = ∑ γ i d q i \mathbf{P}{2}(\sum \beta{i} d x^{i})=\sum \gamma_{i} d q^{i} P2(∑βidxi)=∑γidqi代入(1)式左侧，将 P 1 ( ∑ α i ∂ ∂ q i ) = ∑ J i α ∂ ∂ q i \mathbf{P}{1}(\sum \alpha{i} \frac{\partial}{\partial q^{i}})=\sum J_{i}\alpha \frac{\partial}{\partial q^{i}} P1(∑αi∂qi∂)=∑Jiα∂qi∂代入(1)式右侧，得
β T J α = γ T α (2) \beta^{T}J\alpha=\gamma^{T}\alpha \tag{2} βTJα=γTα(2)
其中 β = β 1 , . . . , β 6 T \beta = \\beta_{1}, ..., \\beta_{6}^{T} β=β1,...,β6T， γ = γ 1 , . . . , γ n \gamma=\\gamma_{1}, ..., \\gamma_{n} γ=γ1,...,γn。由于 α \alpha α的任意性，所以 γ = J T β \gamma = J^{T}\beta γ=JTβ。
注： β \beta β是6维向量。因为 W = S E ( 3 ) \mathcal{W}=\mathrm{SE}(3) W=SE(3)，即嵌入16维空间的6维流形。
从理论物理角度或者从机器人学来看，(1)式就是虚功原理 （或者虚功率原理 ），其中 P 2 ( ∑ β i d x i ) = ∑ γ i d q i ∈ T p ∗ Q \mathbf{P}{2}(\sum \beta{i} d x^{i})=\sum \gamma_{i} d q^{i} \in T^{*}{p}\mathcal{Q} P2(∑βidxi)=∑γidqi∈Tp∗Q为关节力矩， ∑ α i ∂ ∂ q i ∈ T p Q \sum \alpha{i} \frac{\partial}{\partial q^{i}} \in T_{p}\mathcal{Q} ∑αi∂qi∂∈TpQ为关节速度， ∑ β i d x i ∈ T F ( p ) ∗ W \sum \beta_{i} d x^{i} \in T^{*}{\mathbf{F}(p)}\mathcal{W} ∑βidxi∈TF(p)∗W为末端执行器上的受力， P 1 ( ∑ α i ∂ ∂ q i ) = ∑ J i α ∂ ∂ q i ∈ T p Q \mathbf{P}{1}(\sum \alpha_{i} \frac{\partial}{\partial q^{i}})=\sum J_{i}\alpha \frac{\partial}{\partial q^{i}} \in T_{p}\mathcal{Q} P1(∑αi∂qi∂)=∑Jiα∂qi∂∈TpQ为末端速度。
推前映射（Push forward）把关节空间的运动速度推到末端工作空间。拉回映射（Pull back）把作用在末端工作空间的"功率或者功的评价规则"拉回到关节空间，变成了各个关节应该承担多少力矩， τ = J T F \tau = J^{T}F τ=JTF。即：如果末端工作空间存在力 F F F，那么每一个关节需要提供多大的力矩来平衡这份功。
如果不能保障关节力矩提供额外的 J T F J^{T}F JTF来平衡外力 F F F的功率，那么外力 F F F会向系统灌输功率（转换为或者耗散掉系统的动能或者势能）。
写在最后
上述如有错误，恳请指正，谢谢。同时，欢迎讨论。