g12g_{12}g12 和 KKK 并非同一事物，它们存在于不同的层面上。度规 gijg_{ij}gij 描述了如何测量距离。高斯曲率 KKK 是从度量中推导出来的，它更深层。你需要先有度量，然后，通过一些细致的工作，才能从中提取出 KKK。这实际上正是高斯著名定理的核心。KKK 隐藏在 ggg 之中。
在二维空间中，每个点都有两个主曲率 κ1\kappa_1κ1 和 κ2\kappa_2κ2，因为曲面沿两个独立方向弯曲。它们的乘积给你一个数值------KKK。
在更高维度中，情况变得更加丰富。你不能再仅仅相乘两个数了。取代单一的曲率，你会得到一个被称为黎曼曲率张量Riemann curvature tensor的东西，一组完整的数值，编码了空间在每一对方向上的弯曲方式。KKK被推广成了一个更庞大的概念。
KKK 是大于还是小于零依然重要，但它已成为更宏大图景中的一环。
曲率就是二阶导数。
想象一条曲线，只是一条简单的曲线，比如一座山丘。一阶导数告诉你它在每个点上倾斜的方向。这就是斜率。但斜率并不能告诉你它是否在弯曲，一条直线具有恒定的斜率，且完全没有曲率。
二阶导数告诉你斜率是如何变化的。而这种变化，弯曲的弯曲，就是曲率。
一个平面：度规在不同位置保持不变。的一阶导数为零。没有曲率。
一个球体：随着你移动，度规会发生变化。的值各不相同。而正是它们的变化方式，即它们的二阶导数，构成了的本质。
高斯曾费尽心力才从度规中提炼出曲率。
度规是第一层叙事。当你追问第一层叙事如何变化时，曲率便应运而生。
在三维或更高维度中，我们不会把一切归结为一个数值。你需要为每一对方向计算，即通过某一点的每一条二维切片。结果便是黎曼曲率张量。它成对地保存了所有信息，没有丢弃任何一点。
对于曲面来说，一个数值就足够了，因为那里只有一对方向。而在更高维度中，方向对有很多。所以张量tensor将它们全部包含其中。
这正是难点所在。主曲率方向 κ1\kappa_1κ1 和 κ2\kappa_2κ2 很特别，它们是该点处曲面的自然轴。但你的坐标系并不知道这一点。它只是静静地停留在那里，无论当时的角度如何。
所以度规 gijg_{ij}gij 就像是通过一扇倾斜的窗户来观察曲率。要想纯粹从 ggg 中提取 KKK，你必须考虑所有可能的倾斜，你不能假设你的坐标恰好与 κ1\kappa_1κ1 和 κ2\kappa_2κ2 对齐。
这就是为什么用度规表示 KKK 的公式如此复杂。它涉及 ggg 的二阶导数，也包含一阶导数的组合，所有这些共同作用，以抵消坐标的任意选择，从而仅保留底层的内在真相。