第三章，矩阵，07-用初等变换求逆矩阵、矩阵的LU分解
玩转线性代数(19)初等矩阵与初等变换的相关应用的笔记，例见原文
一个基本的方法
已知： A r ∼ F A^r \sim F Ar∼F，求可逆阵 P P P，使 P A = F PA = F PA=F ( F F F为 A A A的行最简形)
方法：利用初等行变换，将矩阵A左边所乘初等矩阵相乘，从而得到可逆矩阵P.
步骤：
（1）对矩阵A进行l次初等行变换至行最简形：
A r ∼ F A^r \sim F Ar∼F，即 P l . . . P 2 P 1 A r = F P_l...P_2P_1A^r = F Pl...P2P1Ar=F
（2）求 P = P l . . . P 2 P 1 P=P_l...P_2P_1 P=Pl...P2P1
将 ( A , E ) (A, E) (A,E)看成分块矩阵，后面的E为记录器，对分块矩阵 ( A , E ) (A, E) (A,E)进行初等行变换：
( A , E ) → P l . . . P 2 P 1 ( A , E ) → ( P l . . . P 2 P 1 A , P l . . . P 2 P 1 ) → ( P A , P ) → ( F , P ) (A, E) \rightarrow P_l...P_2P_1(A, E) \rightarrow (P_l...P_2P_1A, P_l...P_2P_1) \rightarrow (PA, P) \rightarrow (F, P) (A,E)→Pl...P2P1(A,E)→(Pl...P2P1A,Pl...P2P1)→(PA,P)→(F,P)
即当A化为F后E化为P。
那么若A可逆， A − 1 A = E A^{-1}A = E A−1A=E，即将A化为单位阵，右边的E就化为 A − 1 A^{-1} A−1
求 A − 1 B A^{-1}B A−1B
即将上面的"记录器"E换为B，将A化为E的一系列行变换操作（等效于左乘 A − 1 A^{-1} A−1）全部作用到B上
A − 1 ( A , B ) = ( E , A − 1 B ) A^{-1}(A, B)=(E,A^{-1}B) A−1(A,B)=(E,A−1B)
LU分解
假设A是m*n矩阵并且可以化简为行阶梯形而不必经过行对换或数乘，则A可以分解成如下的形式：
A = ( 1 0 0 0 ∗ 1 0 0 ∗ ∗ 1 0 ∗ ∗ ∗ 1 ) ( ■ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ■ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ■ ∗ 0 0 0 0 0 ) = L U A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\* & 1 & 0 & 0 \\* & * & 1 & 0\\* & * & * & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \blacksquare & * & * & * & * \\0 & \blacksquare & * & * & * \\0 & 0 & 0 & \blacksquare & *\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =LU A= 1∗∗∗01∗∗001∗0001 ■000∗■00∗∗00∗∗■0∗∗∗0 =LU
L是单位下三角矩阵，主对角线元素全是1，它其实是一系列 E ( i j ( k ) ) E(ij(k)) E(ij(k))类型初等矩阵的乘积，L可逆；U是A的一个等价的行阶梯形矩阵。
例1，求矩阵A的LU分解：
令
A = ( 2 4 2 1 5 2 4 − 1 9 ) A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 1 & 5 & 2 \\ 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} A= 21445−1229
则
( A , E ) = ( 2 4 2 1 0 0 1 5 2 0 1 0 4 − 1 9 0 0 1 ) ∼ ( 2 4 2 1 0 0 0 3 1 − 1 2 1 0 0 − 9 5 − 2 0 1 ) ∼ ( 2 4 2 1 0 0 0 3 1 − 1 2 1 0 0 0 8 − 7 2 3 1 ) = ( U , p ) (A,E)=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 9 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & -9 & 5 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & -\frac{7}{2} & 3 & 1 \end{pmatrix} =(U, p) (A,E)= 21445−1229100010001 ∼ 20043−92151−21−2010001 ∼ 2004302181−21−27013001 =(U,p)
故 U = P A ⇒ A = P − 1 U U=PA \Rightarrow A=P^{-1}U U=PA⇒A=P−1U，有
A = ( 2 4 2 1 5 2 4 − 1 9 ) = ( 1 0 0 1 2 1 0 2 − 3 1 ) ( 2 4 2 0 3 1 0 0 8 ) = L U A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 1 & 5 & 2 \\ 4 & -1 & 9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ \frac{1}{2} & 1 & 0\\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}=LU A= 21445−1229 = 121201−3001 200430218 =LU
例12，LU分解解线性方程组：
将系数矩阵进行LU分解，然后分两步解出方程
在具体求解时要使用数学软件来求，计算机解线性方程组时就采用LU分解．手动进行LU分解当然是比较麻烦的.