第四章，向量组，3-线性相关性

线性相关性的定义

定义：给定向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am，如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1,k2,⋯,km使
k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ + k m a m = 0 k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0 k1a1+k2a2+⋯+kmam=0

则称向量组A线性相关，否则称为线性无关。

推广：两个向量线性相关的充要条件是两向量对应元素成比例

线性相关性的判断

根据定义来判断（例见原文）

线性表示法判断

向量组 a 1 , a 2 , ⋯ , a m a_1,a_2,\cdots,a_m a1,a2,⋯,am线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可同其余 m − 1 m-1 m−1个向量线性表示，其逆否命题就是任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示，则向量组一定线性无关

证明：设向量组 a 1 , a 2 , ⋯ , a m a_1,a_2,\cdots,a_m a1,a2,⋯,am线性相关，则存在不全为0的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1,k2,⋯,km（不妨设某一 k i ≠ 0 k_i\neq0 ki=0），使得 k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ + k m a m = 0 k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0 k1a1+k2a2+⋯+kmam=0，从而 a i = − 1 k i ( k 1 a 1 + ⋯ + k i − 1 a i − 1 + k i + 1 a i + 1 + ⋯ + k m a m ) a_i=-\frac{1}{k_i}(k_1a_1+\cdots+k_{i-1}a_{i-1}+k_{i+1}a_{i+1}+\cdots+k_ma_m) ai=−ki1(k1a1+⋯+ki−1ai−1+ki+1ai+1+⋯+kmam)，即 a i a_i ai可由其余向量线性表示

反之，设任一向量 a i a_i ai可由其余向量线性表示 a i = − k 1 a 1 + ⋯ + k i − 1 a i − 1 + k i + 1 a i + 1 + ⋯ + k m a m a_i=-k_1a_1+\cdots+k_{i-1}a_{i-1}+k_{i+1}a_{i+1}+\cdots+k_ma_m ai=−k1a1+⋯+ki−1ai−1+ki+1ai+1+⋯+kmam，即 − 1 a i + k 1 a 1 + ⋯ + k i − 1 a i − 1 + k i + 1 a i + 1 + ⋯ + k m a m = 0 -1a_i+k_1a_1+\cdots+k_{i-1}a_{i-1}+k_{i+1}a_{i+1}+\cdots+k_ma_m=0 −1ai+k1a1+⋯+ki−1ai−1+ki+1ai+1+⋯+kmam=0，所以向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am线性相关

秩法判断

定理：向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) A=(a_1,a_2,\cdots,a_m) A=(a1,a2,⋯,am)的秩小于向量的个数m;

向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) A=(a_1,a_2,\cdots,a_m) A=(a1,a2,⋯,am)的秩等于向量的个数m。

行列式判断

对于向量个数与维数相等的向量组的线性相关性的判定，可以采用另一种方法：即利用行列式是否为零来判断其秩，而不用具体求出秩的大小.

方程法

如：向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔方程 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) x (a_1,a_2,\cdots,a_m)x (a1,a2,⋯,am)x有非零解;

向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔方程 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) x (a_1,a_2,\cdots,a_m)x (a1,a2,⋯,am)x只有零解.

结论

对于向量组的线性相关性判断有很多方法，但是最重要的是定义和从定义出发得出的判定定理：线性表示法，秩法、方程法等．下面的结论都是从这几个角度来推出的．

结论1

若 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am线性相关，则 B : a 1 , a 2 , ⋯ , a m , a m + 1 B:a_1,a_2,\cdots,a_m,a_{m+1} B:a1,a2,⋯,am,am+1也线性相关；反之，B线性无关，则A线性无关。

分析：（秩法解释）若 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( A ) < m R(A)<m R(A)<m，而 R ( B ) = R ( A , b ) ≤ R ( A ) + R ( b ) = R ( A ) + 1 < m + 1 ⇒ B : a 1 , a 2 , ⋯ , a m , a m + 1 R(B)=R(A,b)\leq R(A)+R(b)=R(A)+1<m+1\Rightarrow B:a_1,a_2,\cdots,a_m,a_{m+1} R(B)=R(A,b)≤R(A)+R(b)=R(A)+1<m+1⇒B:a1,a2,⋯,am,am+1线性相关；

反之 B : a 1 , a 2 , ⋯ , a m , a m + 1 B:a_1,a_2,\cdots,a_m,a_{m+1} B:a1,a2,⋯,am,am+1线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( B ) = m + 1 R(B)=m+1 R(B)=m+1，而 m + 1 = R ( B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) = R ( A ) + 1 ⇒ R ( A ) ≥ m m+1=R(B)\leq R(A)+R(B)=R(A)+1\Rightarrow R(A)\geq m m+1=R(B)≤R(A)+R(B)=R(A)+1⇒R(A)≥m，又A为m列，故 R ( A ) ≤ m ⇒ R ( A ) = m ⇒ A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m 线性无关 R(A)\leq m\Rightarrow R(A)=m\Rightarrow A:a_1,a_2,\cdots,a_m线性无关 R(A)≤m⇒R(A)=m⇒A:a1,a2,⋯,am线性无关。

结论2

m个n维向量组成的向量组，当m>n时一定线性相关。特别地，n+1个n维向量一定线性相关。

分析：对 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am，若m>n，则有 R ( A ) ≤ n < m R(A)\le n< m R(A)≤n<m，故线性无关.

结论3

设 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am线性无关，而 B : a 1 , a 2 , ⋯ , a m , a m + 1 , b B:a_1,a_2,\cdots,a_m,a_{m+1},b B:a1,a2,⋯,am,am+1,b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式唯一。

分析: { 向量组 B 线性相关 ⇒ R ( B ) < m + 1 ⇒ R ( B ) ≤ m R ( B ) ≥ R ( A ) = m ⇒ R ( B ) = m \left\{ \begin{aligned} 向量组B线性相关\Rightarrow R(B)<m+1\Rightarrow R(B)\le m\\ R(B)\ge R(A)=m \end{aligned} \right.\Rightarrow R(B)=m {向量组B线性相关⇒R(B)<m+1⇒R(B)≤mR(B)≥R(A)=m⇒R(B)=m

故Ax=b有解，且 R ( A ) = m R(A)=m R(A)=m，所以解唯一，表达式也唯一。