第四章，向量组，2-矩阵等价与向量组等价的关系

- 矩阵乘法与线性表示
- 矩阵等价与向量组等价

矩阵乘法与线性表示

设有 A m ∗ n B n ∗ l = C m ∗ l A_{m*n}B_{n*l}=C_{m*l} Am∗nBn∗l=Cm∗l，那么A、B矩阵的行、列向量组与C的行、列向量组之间有什么关系呢？

先看C的行向量组， C = A B C=AB C=AB，根据初等变换的知识，A在B左边，说明是对B进行的行变换（此时的行变换不一定是初等行变换，也不一定是可逆的），将B的行变成了C的行，故C的行向量组可以由B的行向量组来线性表示，如下：
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) ( b 1 T b 2 T ⋮ b n T ) = ( c 1 T c 2 T ⋮ c m T ) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1^T\\ b_2^T\\ \vdots \\ b_n^T\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_1^T\\ c_2^T\\ \vdots \\ c_m^T\\ \end{pmatrix} a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋮⋯a1na2n⋮amn b1Tb2T⋮bnT = c1Tc2T⋮cmT

同理，C的列向量组可由A的列向量组线性表示
( c 1 c 2 ⋯ c l ) = ( a 1 a 2 ⋯ a n ) ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n l ) \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & \cdots & c_l \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nl} \\ \end{pmatrix} (c1c2⋯cl)=(a1a2⋯an) b11b21⋮bn1b12b22⋮bn2⋯⋯⋮⋯b1nb2n⋮bnl

矩阵等价与向量组等价

矩阵等价是两个矩阵可经过初等变换来相互转化；两个向量组等价是指它们可以相互线性表示。两个向量组等价的判断条件也已经清楚，就是 R ( A ) = R ( B ) = R ( A , B ) R(A)=R(B)=R(A,B) R(A)=R(B)=R(A,B)

矩阵等价有行等价、列等价和等价有一种形式，如何判断两个矩阵等价？首先矩阵是同型矩阵，其次矩阵A与B的秩相等。因为若 R ( A ) = R ( B ) R(A)=R(B) R(A)=R(B)，则A与B的标准形是相同的，即
A ∼ F = ( E r 0 0 0 ) A\sim F=\begin{pmatrix} E_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} A∼F=(Er000),同时 B ∼ F = ( E r 0 0 0 ) B\sim F=\begin{pmatrix} E_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} B∼F=(Er000)

根据等价矩阵的传递性知， A ∼ B A\sim B A∼B。

由此可知，对两个向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m , B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l A:a_1,a_2,\cdots,a_m, B:b_1,b_2,\cdots,b_l A:a1,a2,⋯,am,B:b1,b2,⋯,bl和两个矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) , B : ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) A=(a_1,a_2,\cdots,a_m), B:(b_1,b_2,\cdots,b_l) A=(a1,a2,⋯,am),B:(b1,b2,⋯,bl)，向量组A与B等价 ⇒ \Rightarrow ⇒矩阵A与B等价，反之不成立。

若矩阵A与B等价，可以推出的结论：

（1）若 A ∼ r B A^r_{\sim}B A∼rB，则存在可逆矩阵P，使PA=B，即B=PA，所以B的行向量组可由A的行向量组线性表示，同时有 A = P − 1 B A=P^{-1}B A=P−1B，所以A的行向量组也可以由B的行向量组线性表示，说明A与B的行向量组等价；

（2）若 A ∼ c B A^c_{\sim}B A∼cB，A与B的列向量组是等价的。

其实线性表示与线性组合这些概念也可以用到方程组上．对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方程组A的一个线性组合；若其中一个方程可以写成其它方程的线性组合，则称该方程可由其它方程线性表示，若方程组B的每个方程都可由方程组A的线性表示，就称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组A 的解一定是方程组B的解；若方程组A与方程组B能相互线性表示，就称这两个方程组等价，等价的方程组一定同解

为什么方程组B能由方程组A线性表示，方程组A 的解一定是方程组B的解？

理解：方程组B能由方程组A线性表示，即若 x ∈ A x\in A x∈A一定有 x ∈ B x\in B x∈B，所以A的解都是B的解，B的解集合范围大。