[一. 🦁 前言](#一. 🦁 前言)
[二. 🦁 各种树的知识点](#二. 🦁 各种树的知识点)
- [1. 树](#1. 树)
- - [1.1 概念](#1.1 概念)
  - [1.2 属性](#1.2 属性)
  - [1.3 常考性质](#1.3 常考性质)
  - [1.4 树转换成二叉树](#1.4 树转换成二叉树)
  - [1.5 森林转换为二叉树](#1.5 森林转换为二叉树)
  - [1.6 二叉树转换为森林](#1.6 二叉树转换为森林)
  - [1.7 树的遍历](#1.7 树的遍历)
  - [1.8 森林的遍历](#1.8 森林的遍历)
- [2. 二叉树](#2. 二叉树)
- - 2.1满二叉树
  - [2.2 完全二叉树](#2.2 完全二叉树)
  - 2.3二叉排序树
  - [2.4 平衡二叉树](#2.4 平衡二叉树)
  - [2.5 二叉树常考性质](#2.5 二叉树常考性质)
  - [2.6 二叉树存储结构](#2.6 二叉树存储结构)
  - - [1. 顺序存储](#1. 顺序存储)
    - [2. 链式存储](#2. 链式存储)
  - 2.7二叉树的遍历
  - - [1. 先序遍历](#1. 先序遍历)
    - [2. 中序遍历](#2. 中序遍历)
    - [3. 后序遍历](#3. 后序遍历)
    - [4. 层序遍历](#4. 层序遍历)
- [3. 线索二叉树](#3. 线索二叉树)
- [4. 哈夫曼树与哈夫曼编码](#4. 哈夫曼树与哈夫曼编码)
- - [4.1 哈夫曼树的构造](#4.1 哈夫曼树的构造)
- [5. 并查集](#5. 并查集)
- - [5.1 初始版本](#5.1 初始版本)
  - [5.2 优化版本](#5.2 优化版本)
[三. 🦁 总结](#三. 🦁 总结)

一. 🦁 前言

根据王道考研数据结构总结出的知识点，以下是文章整体大纲：

二. 🦁 各种树的知识点

1. 树

1.1 概念

树是n个结点的有限集合，n = 0时称为空树，这是一种特殊情况。任意一棵非空树中应满足：

有且仅有一个特定的称为根的节点
当n>1时，其余结点可分为m个互不相交的有限集合T1、T2、T3......Tm；每个集合又称为根结点的子树。

1.2 属性

结点的深度：从上往下数；
结点的高度：从下往上数；
树的高度：总共多少层
结点的度：有几个孩子
树的度：树中结点的度的最大值

1.3 常考性质

结点数 = 总度数+1
度为m的树和m叉树

度为m的树是一定存在一个结点，它的度为m，且树非空；m叉树是指任意结点的度≤m，可以为空；

度为m的树第i层至多有m的i-1次方个结点（i>=1）
高度为h的m叉树至少有h个结点；高度为h，度为m的树至少有h+m-1个结点。

1.4 树转换成二叉树

树转换成二叉树的画法:

在兄弟结点之间加一条线；
对每个结点，只保留它与第一个孩子的连线，抹去与其他孩子的连线；
以树根为轴心，顺时针旋转 45°

1.5 森林转换为二叉树

森林转换成二叉树的画法:

将森林中的每棵树转换成相应的二叉树
每棵树的根也可视为兄弟结点，在每棵树之间加一根连线
以第一棵树的根为轴心顺时针旋转 45°

1.6 二叉树转换为森林

就是将森林转换为二叉树的逆做法

1.7 树的遍历

树的遍历: 用某种方式访问树中的每个结点，且仅访问一次

先序遍历：先根后子树

后根遍历：先子树后根

先根遍历序列为：ABEFCDG 对应二叉树中的先序遍历

后根遍历序列为：EFBCGDA 对应二叉树中的中序遍历

1.8 森林的遍历

先序遍历：先根后子树

中序遍历：先子树后根

先序遍历序列为：ABCDEFGHI 对应二叉树的先序遍历

中序遍历序列为：BCDAFEHIG 对应二叉树的中序遍历

2. 二叉树

二叉树是n个结点的有限集合；

2.1满二叉树

一棵高度为h，且含有2的h次方-1个结点的二叉树；

特点：

只有最后一层有叶子结点；
不存在度为1的结点；
按层序从1开始编号，结点为i的左孩子结点为2i；右孩子为2i+1；结点i的父结点为i/2;

2.2 完全二叉树

当且仅当每个结点都与高度为h的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应时，称为完全二叉树；

特点：

只有最后两层可能有叶子结点；
最多只有一个度为1的结点；
i ≤ n/2为分支结点，i ＞ n/2为叶子结点；
如果一个完全二叉树某结点只有一个孩子，则这个一定是左孩子；

2.3二叉排序树

左子树的所有结点均小于根结点；
右子树的所有结点均大于根结点；
左子树和右子树又各是一棵二叉排序树

2.4 平衡二叉树

树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1；

2.5 二叉树常考性质

设非空二叉树中度为0、度为1、度为2的结点个数分别为n0、n1、n2，则n0 = n2 +1（叶子结点永远比二分支结点多一个）；

2.6 二叉树存储结构

1. 顺序存储

使用数组实现顺序存储。一定要把二叉树的结点编号与完全二叉树对应起来。

i 的左孩子 --- 2i+1
i 的右孩子 --- 2i+2
i 的父节点 --- 『(i-1）/2』

2. 链式存储

c 复制代码

struct ElemType{
	int value;
}

c++ 复制代码

typedef struct BiTNode{
	ElemType data;		//数据域
	struct BiTNode *lchild;		//左孩子指针
	struct BiTNode *rchild;		//右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;

假设二叉树有n个结点，那么一定会有2n个指针，共有n+1个空链域；

二叉树操作：

c++ 复制代码

// 定义一棵空树
BiTree root = null;
// 插入根节点
root = (BiTree) malloc(sizeof(BiTNode));
root->data = {1};
root->lchild = NULL;
root->rchild = NULL;

//插入新结点
BiTNode * p = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));
p->data = {2};
p->lchild = NULL;
p->rchild = NULL;
root->lchild = p;		//作为根节点的左孩子

2.7二叉树的遍历

1. 先序遍历

先序遍历(preOrder)的操作过程如下：

若二叉树为空，则什么也不做

若二义树非空:

访问根结点
先序遍历左子树
先序遍历右子树

c++ 复制代码

void preOrder(BiTree root){
	if(root != null){
		visit(root);			//访问根节点操作
		preOrder(root->lchild);
		preOrder(root->rchild);
	}
}

c++ 复制代码

void preOrder(BiTree root){
	if(root != null){
		visit(root);			//访问根节点操作
		preOrder(root->lchild);
		preOrder(root->rchild);
	}
}

如下：每个结点都会被访问三次。

2. 中序遍历

中序遍历(inOrder)的操作过程如下：

若二叉树为空，则什么也不做
若二义树非空:
- 中序遍历左子树
- 访问根结点
- 中序遍历右子树

c 复制代码

void inOrder(BiTree root){
	if(root != null){
		inOrder(root->lchild);
        visit(root);			//访问根节点操作
		inOrder(root->rchild);
	}
}

3. 后序遍历

后序遍历(postOrder)的操作过程如下：

若二叉树为空，则什么也不做
若二义树非空:
- 后序遍历左子树
- 后序遍历右子树
- 访问根节点

c 复制代码

void postOrder(BiTree root){
	if(root != null){
		postOrder(root->lchild);
		postOrder(root->rchild);
        visit(root);			//访问根节点操作
	}
}

应用：求树的深度

4. 层序遍历

算法思想：

初始化一个辅助队列
根结点入队
若队列非空，则队头结点p出队，访问p，并将其左右孩子插入队尾(如果有的话)
重复步骤3，直到队列为空。

// 层序遍历

c++ 复制代码

void levelOrder(BiTree root){
	LinkQueue queue;			
	InitQueue(queue);			//初始化队列
	BiTree p;
	enQueue(root);				//根节点入队
	while(!isEmpty(queue)){		//队列不为空则循环
		deQueue(queue,p);		//队头结点出队
		visit(p);
		if(p->lchild != NULL) enQueue(queue,p->lchild);
		if(p->rchild != NULL) enQueue(queue,p->rchild);
	}
}

队列定义如下：

3. 线索二叉树

4. 哈夫曼树与哈夫曼编码

权: 树中结点常被赋予一个代表某种意义的数值；

结点带权路径长度: 从树的根到任意结点的路径长度与该结点上权值的乘积；

哈夫曼树: 带权路径长度最小的二叉树

4.1 哈夫曼树的构造

构造哈夫曼树的步骤：

将所有结点分别作为仅含一个结点的二叉树；
构造一个新结点，从中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树，并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和；（意思即 每次找出两个权值最小的组成一棵二叉树）
从中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入森林中；
重复步骤(2) 和 (3)，直至剩下一棵树为止

求哈夫曼编码就是在哈夫曼树的基础上将左子树的路径变成0，右子树的路径变成1，如下：

a的哈夫曼编码为：011

b的哈夫曼编码为：10

c的哈夫曼编码为：00

d的哈夫曼编码为：010

e的哈夫曼编码为：11

ecabcbbe
WPL = 5×2 + 2×3 + 4×3 + 7×2 + 9×2

5. 并查集

5.1 初始版本

java 复制代码

public class unionFind{
	// 初始化并查集
	public void init(int[] nums){
		Arrays.fill(nums,-1);
	}
	// 查操作：找x所属集合，返回x所属根节点
	int find(int[] nums,int x){
		while(s[x] >= 0){
            x = s[x];
        }
        return x;
	}
	// 并操作：将两个集合合并为一体
	public void union(int[] nums,int rootX,int rootY){
		if(rootX == rootY) return;
		nums[rootY] = rootX;
	}
}

5.2 优化版本

java 复制代码

public class unionFind{
	// 初始化并查集
	public void init(int[] nums){
		Arrays.fill(nums,-1);
	}
    
	 /**
     * 并操作：使用根节点记录树的节点数目，让小树合并到大树上
     * 该方法构造的树高不超过log2n]+1
     * @param s
     * @param x
     * @param y
     */
	public void union(int[] nums,int x,int y){
        int root1 = find(nums,x);
        int root2 = find(nums,y);
		if (root1 == root2) return;
        if(s[root2]>s[root1]){      //root2节点更少（负数）
            s[root1] += s[root2];   //将小树的根节点数目加到大树根节点上
            s[root2]  = root1;      //小树合并到大树
        }else{
            s[root2] += s[root1];
            s[root1] = root2;
        }
	}
    /**
     * 查操作：压缩路径
     * @param s
     * @param x
     * @return
     */
    int find1(int[] s,int x){
        int root = x;
        while(s[root] >= 0) root = s[root];     //循环找到根节点
        while (x != root){      //压缩路径
            int t = s[x];       //t指向x的父节点
            s[x] = root;        //x直接挂到根节点下
            x = t;
        }
        return root;
    }
}

本质上表示集合的一种逻辑关系。

三. 🦁 总结

根据王道视频课总结的数据结构知识点，对于期末考、考研、面试的宝子有帮助哦！！！

【数据结构】| 王道考研——树的前世今生

目录

一. 🦁 前言

二. 🦁 各种树的知识点

1. 树

1.1 概念

1.2 属性

1.3 常考性质

1.4 树转换成二叉树

1.5 森林转换为二叉树

1.6 二叉树转换为森林

1.7 树的遍历

1.8 森林的遍历

2. 二叉树

2.1满二叉树

2.2 完全二叉树

2.3二叉排序树

2.4 平衡二叉树

2.5 二叉树常考性质

2.6 二叉树存储结构

1. 顺序存储

2. 链式存储

2.7二叉树的遍历

1. 先序遍历

2. 中序遍历

3. 后序遍历

4. 层序遍历

3. 线索二叉树

4. 哈夫曼树与哈夫曼编码

4.1 哈夫曼树的构造

5. 并查集

5.1 初始版本

5.2 优化版本

三. 🦁 总结