序言
本书涵盖内容：
2D parallel beam imaging
2D fan beam imaging
3D parallel ray imaging
3D parallel plane imaging
3D cone beam imaging
算法包括：analytical method，iterative method
应用于：
X-ray CT
single photon emission CT（SPECT）
positron emission tomography（PET）
magnetic resonance imaging（MRI）
层析的基本原理
tomos：希腊语，意为截面，切片。
tomography：横截面成像的过程。
断层成像：得到物体内部的截面图像。
CT：computed tomography，计算机断层成像。
图像重建：由物体投影数据得到断层成像。
投影即射线和，线积分，radon变换。
下面举几个投影的例子：
1、二维 x-y 平面中的一个均匀圆盘，圆盘的圆心在坐标原点。圆盘投影值表示为：
p ( s ) = 2 ρ R 2 − s 2 , ∣ s ∣ < R p(s) = 2\rho \sqrt{R^2-s^2}, |s|<R p(s)=2ρR2−s2 ,∣s∣<R
p ( s ) = 0 , ∣ s ∣ ≥ R p(s) = 0, |s|\geq R p(s)=0,∣s∣≥R
由于圆盘是中心对称的几何体，因此对于所有角度来说，投影都一样： p ( s , θ ) = p ( s ) p(s,\theta)=p(s) p(s,θ)=p(s)
2、 y 轴上坐标为 ( 0 , r ) (0,r) (0,r)的点源投影：
p ( s , θ ) = 1 , s = r s i n θ p(s, \theta) = 1, s=rsin\theta p(s,θ)=1,s=rsinθ
p ( s , θ ) = 0 , s ≠ r s i n θ p(s, \theta) = 0, s\neq rsin\theta p(s,θ)=0,s=rsinθ
探测器旋转一圈，采集到的投影数据是一个正弦函数。
由此，人们将投影数据称为正弦图。
点源重建：解出点源的位置以及数值。
投影数据：沿着每条与探测器垂直的直线，对物体求线积分。
反投影：沿着每条与探测器垂直的直线，将投影数据均匀涂抹回去。
反投影导致边缘模糊不清，先在点源投影脉冲两边添加一对负值的翅膀（滤波）再进行反投影。（FBP，Filtered Backprojection）
点源重建只需要两个角度投影数据。
反投影的定义取决于投影是如何定义的。但反投影运算并不是投影运算的逆运算，反投影算子不是投影算子的逆算子。
一个2x2的矩阵： A = [ a i j ] 2 × 2 A=[a_{ij}]{2\times 2} A=[aij]2×2，对其进行0度与90度的投影：
p 11 = a 11 + a 21 p{11} = a_{11} + a_{21} p11=a11+a21
p 12 = a 12 + a 22 p_{12} = a_{12} + a_{22} p12=a12+a22
p 21 = a 11 + a 12 p_{21} = a_{11} + a_{12} p21=a11+a12
p 22 = a 21 + a 22 p_{22} = a_{21} + a_{22} p22=a21+a22
进行反投影：
B = [ p 11 + p 21 p 12 + p 21 p 11 + p 22 p 12 + p 22 ] B=\begin{bmatrix} p_{11} + p_{21} & p_{12} + p_{21}\\ p_{11} + p_{22} & p_{12} + p_{22} \end{bmatrix} B=[p11+p21p11+p22p12+p21p12+p22]
原矩阵，投影矩阵，反投影矩阵： A , P , B A,P,B A,P,B，三者存在以下关系：
P = C A P = CA P=CA
B = C T P B = C^TP B=CTP
B = C T C A B = C^T C A B=CTCA
反投影算子 C T C^T CT与投影算子 C C C的关系不是求逆而是共轭转置
f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)为物体截面密度函数
投影函数（射线和，线积分，Radon变换）有下面下面几种表达方式：
p ( s , θ ) = ∫ ∫ f ( x , y ) δ ( x c o s θ + y s i n θ − s ) d x d y p(s,\theta)=\int \int f(x,y)\delta(xcos\theta + ysin\theta -s)dxdy p(s,θ)=∫∫f(x,y)δ(xcosθ+ysinθ−s)dxdy
p ( s , θ ) = ∫ ∫ f ( x , y ) δ ( x ⃗ ⋅ θ ⃗ − s ) d x d y p(s,\theta)=\int \int f(x,y)\delta(\vec{x}\cdot \vec{\theta} -s)dxdy p(s,θ)=∫∫f(x,y)δ(x ⋅θ −s)dxdy
p ( s , θ ) = ∫ f ( s c o s θ − t s i n θ , s s i n θ + t c o s θ ) d t p(s,\theta)=\int f(scos\theta - tsin\theta, ssin\theta+tcos\theta)dt p(s,θ)=∫f(scosθ−tsinθ,ssinθ+tcosθ)dt
p ( s , θ ) = ∫ f ( θ ⃗ + t θ ′ ⃗ ) d t p(s,\theta)=\int f(\vec{\theta} + t\vec{\theta'})dt p(s,θ)=∫f(θ +tθ′ )dt
p ( s , θ ) = ∫ f θ ( s , t ) d t p(s,\theta)=\int f_{\theta}(s,t)dt p(s,θ)=∫fθ(s,t)dt
以上表达式积分范围为 [ − ∞ , ∞ ] [-\infty, \infty] [−∞,∞]
θ ⃗ , θ ′ ⃗ \vec{\theta}, \vec{\theta'} θ ,θ′ 为垂直与平行于平行束方向的单位向量。
θ \theta θ为探测器绕物体逆时针转，等价于物体绕旋转中心顺时针转。
反投影图像的几种表达方式：
b ( x , y ) = ∫ 0 π p ( s , θ ) ∣ s = x c o s θ + y s i n θ d θ b(x,y) = \int_0^\pi p(s,\theta)|{s=xcos\theta + ysin\theta}d\theta b(x,y)=∫0πp(s,θ)∣s=xcosθ+ysinθdθ
b ( x , y ) = ∫ 0 π p ( s , θ ) ∣ s = x ⃗ ⋅ θ ⃗ d θ b(x,y) = \int_0^\pi p(s,\theta)|{s=\vec{x} \cdot \vec{\theta}}d\theta b(x,y)=∫0πp(s,θ)∣s=x ⋅θ dθ
b ( x , y ) = ∫ 0 π p ( x ⃗ ⋅ θ ⃗ , θ ) d θ b(x,y) = \int_0^\pi p(\vec{x} \cdot \vec{\theta},\theta) d\theta b(x,y)=∫0πp(x ⋅θ ,θ)dθ
b ( x , y ) = 1 2 ∫ 0 2 π p ( s , θ ) ∣ s = x c o s θ + y s i n θ d θ b(x,y) = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} p(s,\theta)|_{s=xcos\theta + ysin\theta}d\theta b(x,y)=21∫02πp(s,θ)∣s=xcosθ+ysinθdθ
函数 f ( x ⃗ ) = δ ( x ⃗ − x ⃗ 0 ) = δ ( x − x 0 ) δ ( y − y 0 ) f(\vec{x}) = \delta(\vec{x} - \vec{x}_0) = \delta(x - x_0)\delta(y - y_0) f(x )=δ(x −x 0)=δ(x−x0)δ(y−y0)的Radon变换：（逐步推导）
p ( s , θ ) = ∫ ∫ f ( x ⃗ ) δ ( x ⃗ ⋅ θ ⃗ − s ) d x d y p(s,\theta)=\int \int f(\vec{x})\delta(\vec{x}\cdot \vec{\theta} -s)dxdy p(s,θ)=∫∫f(x )δ(x ⋅θ −s)dxdy
p ( s , θ ) = ∫ ∫ δ ( x − x 0 ) δ ( y − y 0 ) δ ( x c o s θ + y s i n θ − s ) d x d y p(s,\theta)=\int \int \delta(x - x_0)\delta(y - y_0) \delta(xcos\theta + ysin\theta -s)dxdy p(s,θ)=∫∫δ(x−x0)δ(y−y0)δ(xcosθ+ysinθ−s)dxdy
p ( s , θ ) = ∫ δ ( y − y 0 ) ∫ δ ( x − x 0 ) δ ( x c o s θ + y s i n θ − s ) d x d y p(s,\theta)=\int \delta(y - y_0) \int \delta(x - x_0) \delta(xcos\theta + ysin\theta -s)dxdy p(s,θ)=∫δ(y−y0)∫δ(x−x0)δ(xcosθ+ysinθ−s)dxdy
p ( s , θ ) = ∫ δ ( y − y 0 ) δ ( x 0 c o s θ + y s i n θ − s ) d y p(s,\theta)=\int \delta(y - y_0) \delta(x_0cos\theta + ysin\theta -s)dy p(s,θ)=∫δ(y−y0)δ(x0cosθ+ysinθ−s)dy
p ( s , θ ) = δ ( x 0 c o s θ + y 0 s i n θ − s ) p(s,\theta)=\delta(x_0cos\theta + y_0sin\theta -s) p(s,θ)=δ(x0cosθ+y0sinθ−s)
这里运用了 δ \delta δ函数的第一条性质。
补充
之前共轭转置和代数余子式转置都叫做adjoint
现在共轭转置叫adjugate，代数余子式转置叫classical adjoint
代数余子式转置： C ∗ = ∣ C ∣ C − 1 C^* = |C|C^{-1} C∗=∣C∣C−1
共轭转置： C ∗ = C H = c o n j ( C T ) C^* = C^H = conj(C^T) C∗=CH=conj(CT)
因此书上的这个伴随只得是共轭转置。
参考：[学习笔记]共轭转置矩阵与伴随矩阵都用A*表示合理吗？ - 裴以鹏的文章 - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/87330558.
狄拉克分布函数 δ ( x ) \delta(x) δ(x)可以通过高斯函数 G ( x , n ) G(x,n) G(x,n)来定义：
l i m n → ∞ ∫ − ∞ ∞ G ( x , n ) f ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ δ ( x ) f ( x ) d x = f ( 0 ) lim_{n\rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{\infty} G(x,n)f(x)dx =\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) f(x)dx = f(0) limn→∞∫−∞∞G(x,n)f(x)dx=∫−∞∞δ(x)f(x)dx=f(0)
其中， f ( x ) f(x) f(x)为一个平滑函数，对于任意N有 l i m x → ∞ x N f ( x ) = 0 lim_{x\rightarrow \infty} x^N f(x) = 0 limx→∞xNf(x)=0， G ( x , n ) = ( n / π ) 1 / 2 e − n x 2 G(x,n) = (n/\pi)^{1/2} e^{-nx^2} G(x,n)=(n/π)1/2e−nx2
δ ( x ) \delta(x) δ(x)的性质：
∫ − ∞ ∞ δ ( x − a ) f ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ δ ( x ) f ( x + a ) d x = f ( a ) \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a)f(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)f(x+a)dx = f(a) ∫−∞∞δ(x−a)f(x)dx=∫−∞∞δ(x)f(x+a)dx=f(a)
∫ − ∞ ∞ δ ( a x ) f ( x ) d x = f ( 0 ) / ∣ a ∣ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(ax)f(x)dx = f(0)/|a| ∫−∞∞δ(ax)f(x)dx=f(0)/∣a∣
∫ − ∞ ∞ δ ( n ) ( x ) f ( x ) d x = ( − 1 ) n f ( n ) ( 0 ) \int_{-\infty}^{\infty} \delta^{(n)}(x)f(x)dx = (-1)^n f^{(n)}(0) ∫−∞∞δ(n)(x)f(x)dx=(−1)nf(n)(0)
δ ( g ( x ) ) f ( x ) = Σ n δ ( x − λ n ) / ∣ g ′ ( λ n ) ∣ \delta (g(x)) f(x) = \Sigma_n \delta(x-\lambda_n)/|g'(\lambda_n)| δ(g(x))f(x)=Σnδ(x−λn)/∣g′(λn)∣, λ n \lambda_n λn为 g g g的零点
二维狄拉克分布函数 δ ( x ⃗ ) = δ ( x ) δ ( y ) \delta (\vec{x}) = \delta(x)\delta(y) δ(x )=δ(x)δ(y)
三维狄拉克分布函数 δ ( x ⃗ ) = δ ( x ) δ ( y ) δ ( z ) \delta (\vec{x}) = \delta(x)\delta(y)\delta(z) δ(x )=δ(x)δ(y)δ(z)