常见的距离有曼哈顿距离、欧式距离、切比雪夫距离、闵可夫斯基距离、汉明距离、余弦距离等，用Python实现计算的方式有多种，可以直接构造公式计算，也可以利用内置线性代数函数计算，还可以利用scipy库计算。
1.曼哈顿距离
也叫城市街区距离，是两点差向量的L1范数，也就是各元素的绝对值之和。A(x1,x2,...,xn)和B(y1,y2,...,yn)之间的曼哈顿距离表示为
d = ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ d=\sum_{i=1}^{n}{\left| x_i-y_i \right|} d=i=1∑n∣xi−yi∣
Python实现：
python
import numpy as np
from scipy.spatial import distance
A = np.array([1,2,3])
B = np.array([4,5,6])
# 方式一：直接构造公式计算
dist1 = np.sum(np.abs(A-B))
# 方式二：内置线性代数函数计算
dist2 = np.linalg.norm(A-B,ord=1) #ord为范数类型，取值1（一范数）,2（二范数）,np.inf（无穷范数），默认2。
# 方式三：scipy库计算
dist3 = distance.cityblock(A,B)2.欧式距离
是一种最常见的距离，也就是两点差向量的L2范数。A(x1,x2,...,xn)和B(y1,y2,...,yn)之间的欧式距离表示为
d = ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 d=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{\left( x_i-y_i \right)^{2}}} d=i=1∑n(xi−yi)2
Python实现：
python
import numpy as np
from scipy.spatial import distance
A = np.array([1,2,3])
B = np.array([4,5,6])
# 方式一：直接构造公式计算
dist1 = np.sqrt(np.sum((A-B)**2))
# 方式二：内置线性代数函数计算
dist2 = np.linalg.norm(A-B,ord=2)
# 方式三：scipy库计算
dist3 = distance.euclidean(A,B)3.切比雪夫距离
最大的维度内距离，是两点差向量的无穷范数。A(x1,x2,...,xn)和B(y1,y2,...,yn)之间的切比雪夫距离表示为
d = m a x ( ∣ x i − y i ∣ ) d=max\left( \left| x_i-y_i \right| \right) d=max(∣xi−yi∣)
Python实现：
python
import numpy as np
from scipy.spatial import distance
A = np.array([1,2,3])
B = np.array([4,5,6])
# 方式一：直接构造公式计算
dist1 = np.max(np.abs(A-B))
# 方式二：内置线性代数函数计算
dist2 = np.linalg.norm(A-B,ord=np.inf)
# 方式三：scipy库计算
dist3 = distance.chebyshev(A,B)4. 闵可夫斯基距离
是一种范式距离的统称，可表示为两点差向量的Lp范数。A(x1,x2,...,xn)和B(y1,y2,...,yn)之间的闵可夫斯基距离表示为
d = ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ p p d=\sqrtp{\sum_{i=1}^{n}{\left| x_i-y_i \right|^{p}}} d=pi=1∑n∣xi−yi∣p
Python实现：
python
import numpy as np
from scipy.spatial import distance
A = np.array([1,2,3])
B = np.array([4,5,6])
# 方式一：内置线性代数函数计算
dist1 = np.linalg.norm(A-B,ord=3) # np.linalg.norm(A-B,ord=p)
# 方式二：scipy库计算
dist2 = distance.minkowski(A,B,3) # distance.minkowski(A,B,p)5.汉明距离
衡量两个字符串之间的差异程度，对两个对象的向量元素逐个比较，差异的个数占总个数的比例。A(x1,x2,...,xn)和B(y1,y2,...,yn)之间的汉明距离表示为
d = 1 n ∑ i = 1 n I ( x i ≠ y i ) d=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{I\left( x_i\ne y_i \right)} d=n1i=1∑nI(xi=yi)
其中I为指示函数，
I = { 1 i f ( x i ≠ y i ) 0 i f ( x i = y i ) \begin{equation} I= \left\{ \begin{array}{lr} 1 \quad if\left( x_i\ne y_i \right)&\\ 0 \quad if\left( x_i = y_i\right) \end{array} \right. \end{equation} I={1if(xi=yi)0if(xi=yi)
Python实现：
python
import numpy as np
from scipy.spatial import distance
A = np.array([1,2,3])
B = np.array([4,5,6])
# 方式一：scipy库计算
dist1 = distance.hamming(A,B)6.余弦距离
也叫余弦相似度，是两点空间向量夹角的余弦值，是内积与模积的比值，用来衡量两向量间的差异程度。A(x1,x2,...,xn)和B(y1,y2,...,yn)之间的余弦距离表示为
d = c o s θ = < A , B > ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ = ∑ i = 1 n x i y i ∑ i = 1 n x i 2 ⋅ ∑ i = 1 n y i 2 \begin{align} d&=cos\theta=\frac{<A,B>}{\left| A \right|\cdot\left| B \right|} \\ &=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x_iy_i}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x_i^{2}}}\cdot\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{y_i^{2}}}} \end{align} d=cosθ=∣A∣⋅∣B∣<A,B>=∑i=1nxi2 ⋅∑i=1nyi2 ∑i=1nxiyi
Python实现：
python
import numpy as np
from scipy.spatial import distance
A = np.array([1,2,3])
B = np.array([4,5,6])
# 方式一：直接构造公式计算
dist1 = np.sum(A*B)/(np.sqrt(np.sum(A**2))*np.sqrt(np.sum(B**2)))
# 方式二：scipy库计算
dist2 = 1-distance.cosine(A,B)End.
参考：