DP学习第六篇之下降路径最小和

931. 下降路径最小和 - 力扣（LeetCode）

一.题目解析

二. 算法原理

状态表示

tips: 经验+题目要求。以 $i,j$ 位置为结尾，。。。

dp[i][j]: 到达 $i, j$ 位置时，此时的最小下降路径和

状态转移方程

tips: 用之前或之后的状态，推导出dp $i$ 的值。根据最近的一步，来划分问题

到达 $i, j$ 位置之前：

从 $i - 1, j$ 位置向下走一步，到 $i, j$
从 $i - 1, j - 1$ 位置向右下↘走一步，到 $i, j$
从 $i - 1, j + 1$ 位置向左下↙走一步，到 $i, j$

即：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]， dp[i - 1][j + 1]) + m[i][j]

初始化

tips: 保证填表的时候不越界。增加虚拟节点

虚拟节点里面的值，要保证后面填表是正确的

要保证填表的正确性，即第一行的dp值应该等于m值，因此其依赖的虚拟节点应该为0。对于左右两侧，也要保证虚拟节点的值不影响正确性，应取正无穷

下标的映射关系

dp表映射到原矩阵：横纵坐标-1

填表顺序

从左往右每一行，从上往下整个表

返回值

题目要求：到最后一行的最小路径和

即：返回最后一行dp表中的最小值

三. 编写代码

c++ 复制代码

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
        //1.创建dp表
        //2.初始化
        //3.填表
        //4.返回值
        int n = matrix.size();
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 2, INT_MAX));

        for(int i = 0; i < n + 2; ++i)
            dp[0][i] = 0;
        
        for(int i = 1; i <= n ; ++i)
            for(int j = 1; j <= n; ++j)
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j - 1])) 
                            + matrix[i - 1][j - 1];
            
        int mi = dp[n][1];
        for(int i = 2; i <= n; ++i)
            mi = min(mi, dp[n][i]);
        return mi;
    }   
};

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