分式的极限
分式的极限是最常见的极限，也是大多数情况下化简的目标。
如
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> lim x → 0 s i n x x = 1 \lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 1 </math>x→0limxsinx=1
这也是教材上的基本极限之一。
对于分式的极限，化简的每一步一般按照下列流程进行。
1. 确定极限类型
将极限的取值代入极限表达式中，会得到三种情形，未定式 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∞ / ∞ \infty/\infty </math>∞/∞，未定式 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 / 0 0/0 </math>0/0 以及定式（即不是前两种情形）。
对于定式的极限，我们可以直接得到答案。
若分子为0，分母不为0，极限的值是0.
若分子不为0，分子为0，极限不存在。 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> + ∞ +\infty </math>+∞或 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> − ∞ -\infty </math>−∞，取决于取极限的方向
若分子为非0的a，分母为非0的b, 极限为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a / b a/b </math>a/b。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> lim x → 1 x x + 1 = 1 2 \lim_{x \to 1} \frac{x}{x+1} = \frac{1}{2} </math>x→1limx+1x=21
对于定型的极限，直接代入就能得到答案。不需要接下来的步骤。
2. 非0因子
观察极限分子或分母的因子，代入极限的趋向后，是一个非0的数字，则通过代入化简。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> lim x → 0 sin x cos x x = lim x → 0 1 ⋅ s i n x x = 1 \lim_{x \to 0}\frac{\sin x \cos x}{x} = \lim_{x\to 0}{\frac{1\cdot sin x}{x}} = 1 </math>x→0limxsinxcosx=x→0limx1⋅sinx=1
3. 等价无穷小
我们可以用等价无穷小替换分子或者分母的某个因子，以达到简化计算的目的，也为后面可能应用洛必达法则铺路
三角函数型
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> x → 0 时 x ∼ sin x ∼ t a n x ∼ a r c s i n x ∼ a r c t a n x 1 − c o s x ∼ 1 2 x 2 x → 0 + 时 1 − c o s x ∼ 1 2 x x \to 0时\\ x \sim \sin x \sim tan x \sim arcsin x \sim arctanx \\ 1- cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \\ x \to 0^+时 \\ 1 - \sqrt{cosx} \sim \frac{1}{2}x </math>x→0时x∼sinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx1−cosx∼21x2x→0+时1−cosx ∼21x
指数对数型
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> x → 0 l n ( 1 + x ) ∼ x e x − 1 ∼ x a x − 1 ∼ x l n a ( 1 + x ) α − 1 ∼ α x 下面两个是由上面推导而来的 1 − 1 − x n ∼ x n a n + x − a ∼ 1 n a n − 1 x \to 0\\ ln(1+x) \sim x\\ e^x - 1 \sim x\\ a^x - 1 \sim xlna\\ (1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x \\ 下面两个是由上面 推导而来的\\ 1 - \sqrt[n]{1-x} \sim \frac{x}{n}\\ \sqrt{a^n+x}-a \sim \frac{1}{na^{n-1}} </math>x→0ln(1+x)∼xex−1∼xax−1∼xlna(1+x)α−1∼αx下面两个是由上面推导而来的1−n1−x ∼nxan+x −a∼nan−11
4. 泰勒展开
泰勒展开在大部分时候都能很好地应对分子分母中存在多项加减的情况。除此之外，泰勒展开还能通过组合，产生新的等价无穷小公式。因此对于分式的极限，泰勒比起洛必达优先级更高，大多数题目甚至能作为首选 列举几个常见的函数在 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x = 0 x = 0 </math>x=0处的泰勒展开，在0处的展开也被称为麦克劳林展开。
对于 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∞ / ∞ \infty/\infty </math>∞/∞的极限，泰勒展开的应用相对较少
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> s i n x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! 对 s i n x 求导我们就能得到 c o s x c o s x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! + ⋯ = = = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! t a n x = x + 1 3 x 3 + O ( x 3 ) a r c 的版本，第二项和不带 a r c 的版本第二项正负取反 a r c s i n x = x + 1 6 x 3 a r c t a n x = x − 1 3 x 3 + O ( x 3 ) 对数函数没有阶乘，正负交错 l n ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − 1 4 x 4 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n x n e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n ( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + α ( α − 1 ) ( α − 2 ) 3 ! x 3 + ... = ∑ n = 0 ∞ α ( α − 1 ) ... ( α − n + 1 ) n ! x n sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ 对sin x求导我们就能得到cosx\\ cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots === \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \\ tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^3)\\ \\arc的版本，第二项和不带arc的版本第二项正负取反\\ arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3\\ arctan x = x - \frac{1}{3}x^3 + O(x^3)\\ \\对数函数没有阶乘，正负交错\\ ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \dots = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n \\ e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \dots = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}x^n\\ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!}x^3 + \dots \\= \sum_{n = 0}^\infty\frac{\alpha(\alpha - 1)\dots(\alpha - n + 1)}{n!}x^n </math>sinx=x−3!x3+5!x5+⋯=n=0∑∞(−1)n(2n+1)!x2n+1对sinx求导我们就能得到cosxcosx=1−2!x2+4!x4+⋯===n=0∑∞(−1)n(2n)!x2ntanx=x+31x3+O(x3)arc的版本，第二项和不带arc的版本第二项正负取反arcsinx=x+61x3arctanx=x−31x3+O(x3)对数函数没有阶乘，正负交错ln(1+x)=x−21x2+31x3−41x4+⋯=n=1∑∞n(−1)n+1xnex=1+x+2!1x2+3!1x3+⋯=n=0∑∞n!1xn(1+x)α=1+αx+2!α(α−1)x2+3!α(α−1)(α−2)x3+...=n=0∑∞n!α(α−1)...(α−n+1)xn
展开到几次幂？
对于 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 / 0 0/0 </math>0/0型，分母展开到不能两两抵消，分子展开到分母最低次幂。
比如求下面的极限， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> s i n x sin x </math>sinx展开到三阶， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> e x e^x </math>ex展开到二阶
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> lim x → 0 x 2 s i n x + e x − 1 − 2 x = lim x → 0 x 2 x − 1 / 6 x 3 + 1 + x + 1 / 2 x 2 − 1 − 2 x = lim x → 0 x 2 1 / 6 x 3 + 1 / 2 x 2 x 2 趋近于 0 的速度比 x 3 更快，所以有 1 / 6 x 3 + 1 / 2 x 2 ∼ 1 / 2 x 2 = lim x → 0 x 2 1 / 2 x 2 = 2 \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{sin x + e^x - 1 - 2x}\\ = \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x - 1/6x^3 + 1 + x + 1/2x^2 - 1 - 2x}\\ = \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{1/6x^3 + 1/2x^2}\\ x^2趋近于0的速度比x^3更快，所以有1/6x^3 + 1/2x^2 \sim 1/2x^2\\ = \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{1/2x^2} = 2 </math>x→0limsinx+ex−1−2xx2=x→0limx−1/6x3+1+x+1/2x2−1−2xx2=x→0lim1/6x3+1/2x2x2x2趋近于0的速度比x3更快，所以有1/6x3+1/2x2∼1/2x2=x→0lim1/2x2x2=2
下面的极限，分母为三阶，分子也需要展开到三阶
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> lim x → 0 t a n x − s i n x x 3 = lim x → 0 x + 1 / 3 x 3 − ( x − 1 / 6 x 3 ) x 3 = lim x → 0 1 / 3 x 3 + 1 / 6 x 3 x 3 = 1 2 \lim_{x\to 0}\frac{tan x - sin x}{x^3}\\ = \lim_{x \to 0}\frac{x + 1/3x^3 - (x - 1/6x^3)}{x^3} \\ = \lim_{x \to 0}\frac{1/3x^3 + 1/6x^3}{x^3} = \frac{1}{2} </math>x→0limx3tanx−sinx=x→0limx3x+1/3x3−(x−1/6x3)=x→0limx31/3x3+1/6x3=21
5. 洛必达法则
对于极限，在没有其它办法可以化简的情况下，可以使用洛必达法则化简。在 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∞ / ∞ \infty/\infty </math>∞/∞极限中运用较多。法则非常简单，对分子分母 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 同时 同时 </math>同时求导，用数学的表达式表示就是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{x\to c}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} </math>limx→cg(x)f(x)=limx→cg′(x)f′(x)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> lim x → 0 l n 2 x l n x 这个极限我们无法用上面的 4 条方法化简 = lim x → 0 2 2 x 1 x = 1 \lim_{x \to 0}\frac{ln2x}{ln{x}} \\ 这个极限我们无法用上面的4条方法化简\\ = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{2}{2x}}{\frac{1}{x}}\\ = 1 </math>x→0limlnxln2x这个极限我们无法用上面的4条方法化简=x→0limx12x2=1
指数函数求极限
指数型极限分为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 ∞ 0^\infty </math>0∞， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 ∞ 1^\infty </math>1∞， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∞ 0 \infty^0 </math>∞0三种类型
对于 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> lim x → c f ( x ) g ( x ) \lim_{x \to c}f(x)^{g(x)} </math>limx→cf(x)g(x)，我们对表达式进行变形，得到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> lim x → c e g ( x ) l n f ( x ) \lim_{x \to c}e^{g(x)lnf(x)} </math>limx→ceg(x)lnf(x)，所求极限为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> e lim x → c g ( x ) l n f ( x ) e^{\lim_{x \to c}g(x)lnf(x)} </math>elimx→cg(x)lnf(x)，令 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> A = lim x → c g ( x ) l n f ( x ) A = \lim_{x \to c}g(x)lnf(x) </math>A=limx→cg(x)lnf(x)显然，问题被我们转化为了求A的值。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 ∞ 1^{\infty} </math>1∞型极限的快速求法
对于 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 ∞ 1^{\infty} </math>1∞的特殊类型，通过使用 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> l n ( 1 + x ) ∼ x ln(1 + x) \sim x </math>ln(1+x)∼x，我们可以快速化简A。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> A = g ( x ) ( f ( x ) − 1 ) A = g(x)(f(x) - 1) </math>A=g(x)(f(x)−1)
比如这样
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> lim x → ∞ ( 1 + x x ) 2 x = e A A = lim x → ∞ 2 x ⋅ ( 1 + x x − 1 ) = 2 e A = e 2 \lim_{x \to \infty}({\frac{1 + x}{x}})^{2x} = e^A\\ A = \lim_{x \to \infty} 2x \cdot (\frac{1+x}{x} - 1) = 2 \\ e^A = e^2 </math>x→∞lim(x1+x)2x=eAA=x→∞lim2x⋅(x1+x−1)=2eA=e2
其它常见未定式的转化
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 ⋅ ∞ 0\cdot \infty </math>0⋅∞，取 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 0 </math>0的倒数，转化为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∞ / ∞ \infty / \infty </math>∞/∞ 或取 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∞ \infty </math>∞的倒数，转化为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 / 0 0/0 </math>0/0
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∞ − ∞ \infty - \infty </math>∞−∞，如果 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∞ \infty </math>∞可以通分，则通分。
如果不能通分，上下同除 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( x ) g ( x ) f(x)g(x) </math>f(x)g(x)转化为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 / 0 0/0 </math>0/0
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> lim x → c ( f ( x ) − g ( x ) ) = lim x → c 1 / g ( x ) − 1 / f ( x ) 1 / ( f ( x ) g ( x ) ) \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))} </math>x→clim(f(x)−g(x))=x→clim1/(f(x)g(x))1/g(x)−1/f(x)
或者用指数函数转化为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∞ / ∞ \infty / \infty </math>∞/∞
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> lim x → c ( f ( x ) − g ( x ) ) = ln lim x → c e f ( x ) e g ( x ) \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \ln \lim_{x \to c} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}} </math>x→clim(f(x)−g(x))=lnx→climeg(x)ef(x)
一些求极限的技巧
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x → 0 e f ( x ) − e g ( x ) x\to 0\;e^{f(x)} - e^{g(x)} </math>x→0ef(x)−eg(x)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> e f ( x ) − e g ( x ) ∼ e g ( x ) ( e f ( x ) − g ( x ) − 1 ) ∼ e g ( x ) ( f ( x ) − g ( x ) ) e^{f(x)} - e^{g(x)} \sim e^{g(x)}(e^{f(x) - g(x)}-1) \sim e^{g(x)}(f(x) - g(x)) </math>ef(x)−eg(x)∼eg(x)(ef(x)−g(x)−1)∼eg(x)(f(x)−g(x))
分子分母有理化制造非0因子
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> lim x → 0 1 + x − 1 − x x = lim x → 0 ( 1 + x − 1 − x ) ( 1 + x + 1 − x ) x ( 1 + x + 1 − x ) 分母的 1 + x + 1 − x 是非 0 因子等于 2 = lim x → 0 2 x 2 x = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}\\ = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x})(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})}\\ 分母的\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} 是非0因子等于2 \\ = \lim_{x \to 0}\frac{2x}{2x} = 1 </math>x→0limx1+x −1−x =x→0limx(1+x +1−x )(1+x −1−x )(1+x +1−x )分母的1+x +1−x 是非0因子等于2=x→0lim2x2x=1
ln中隐含的等价无穷小
ln因子中ln的参数整体趋向于1使用等价无穷小会比用洛必达更快
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> lim x → 0 l n c o s x x 2 = lim x → 0 c o s x − 1 x 2 = lim x → 0 − 1 / 2 x 2 x 2 = − 1 2 \lim_{x \to 0}\frac{lncosx}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{cosx - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{-1/2 x^2}{x^2} = -\frac{1}{2} </math>x→0limx2lncosx=x→0limx2cosx−1=x→0limx2−1/2x2=−21
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> s i n ( ∞ ) sin(\infty) </math>sin(∞) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> c o s ( ∞ ) cos(\infty) </math>cos(∞)利用周期性构造 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∞ − ∞ \infty - \infty </math>∞−∞
在 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> s i n sin </math>sin <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> c o s cos </math>cos内 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> − n π -n\pi </math>−nπ, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> − n π + n π -n\pi + n\pi </math>−nπ+nπ, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> + 2 n π +2n\pi </math>+2nπ等操作
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> lim n → ∞ s i n 2 ( π n 2 + n ) s i n 内 − n π ，因为外面是平方，所以不需要考虑 − n π 后的正负性 = lim n → ∞ s i n 2 ( π n 2 + n − n π ) = lim s i n 2 [ π ( n 2 + n − n ) ] 又因为 lim x → ∞ ( n 2 + n − n ) = lim x → ∞ ( n 2 + n − n ) ( n 2 + n + n ) n 2 + n + n = lim x → ∞ n n ( 1 + 1 n 2 + 1 ) = 2 原式 = s i n π 2 = 1 \lim_{n\to \infty}sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})\\ sin内-n\pi，因为外面是平方，所以不需要考虑-n\pi后的正负性 \\ = \lim_{n\to \infty}sin^2(\pi\sqrt{n^2 + n} - n\pi) \\ = \lim sin^2[\pi(\sqrt{n^2+n}-n)] 又因为\\ \lim_{x\to \infty}(\sqrt{n^2+n}-n) = \lim_{x \to \infty}\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n} = \lim_{x \to \infty}\frac{n}{n(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1)} = 2\\ 原式 = sin\frac{\pi}{2} = 1 </math>n→∞limsin2(πn2+n )sin内−nπ，因为外面是平方，所以不需要考虑−nπ后的正负性=n→∞limsin2(πn2+n −nπ)=limsin2[π(n2+n −n)]又因为x→∞lim(n2+n −n)=x→∞limn2+n +n(n2+n −n)(n2+n +n)=x→∞limn(1+n21 +1)n=2原式=sin2π=1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> lim x → ∞ ( a x + b a x + c ) h x + k = e ( b − c ) h a \lim_{x\to \infty} (\frac{ax+b}{ax+c})^{hx + k} = e^{\frac{(b-c)h}{a}} </math>limx→∞(ax+cax+b)hx+k=ea(b−c)h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> lim x → ∞ ( a x + b a x + c ) h x + k A = lim x → ∞ ( b − c ) ( h x + k ) a x + c = ( b − c ) h a e A = e ( b − c ) h a \lim_{x\to \infty} (\frac{ax+b}{ax+c})^{hx + k}\\ A = \lim_{x\to \infty}\frac{(b-c)(hx + k)}{ax + c} = \frac{(b-c)h}{a} \\ e^A = e^{\frac{(b-c)h}{a}} </math>x→∞lim(ax+cax+b)hx+kA=x→∞limax+c(b−c)(hx+k)=a(b−c)heA=ea(b−c)h