J.根号-2进制
数学 #FFT
思路
赛后发现身边的同学都是通过借位来解决进位问题的，在此提供一种全程不出现减法的顺推做法
首先\(A,B\)可以理解为两个多项式：\(A_{0}+A_{1}\sqrt{ -2 }+A_{2}(\sqrt{ -2 })^2+\dots\)，其中\(A_{i}=\{ 0,1 \}\)，\(B_{i}\)同理
那么可以使用多项式乘法\(FFT\)先将\(A,B\)相乘后的结果表示为一个新的多项式\(C\)，此时该多项式的系数\(C_{i}\)不一定为\(\{ 0,1 \}\)
因此我们的任务变为了如何将一个多项式的系数在\(\sqrt{ -2 }\)进制下全部化为\(\{ 0,1 \}\)
为了方便观察，将\(\sqrt{ -2 }\)写为\(2^{\frac{1}{2}}i\)，则\((\sqrt{ -2 })^k=2^{\frac{k}{2}}i^k\)
打表观察：
\[\begin{align} &i=1:\quad 2^{\frac{1}{2}}i\\ \\ &i=2:\quad -2^{\frac{2}{2}}\\ \\ &i=3:\quad -2^{\frac{3}{2}}i \\ \\ &i=4:\quad 2^{\frac{4}{2}}\\ \\ &i=5:\quad 2^{\frac{5}{2}}i\\ \\ &i=6:\quad -2^{\frac{6}{2}} \end{align} \]
发现明显规律且周期\(T=4\)
设\(a=\sqrt{ -2 }\)，则必有\(2^2\times a^p=a^{p+4}\)
进一步推广：
\[2^{2k}\times a^p=a^{p+4k} \]
现在解决了\(2\)的偶数次幂与\(a\)的任意次幂相乘的递推，如果能够解决\(2\)的奇数次幂与\(a\)任意次幂相乘的递推，那么就可以通过对多项式系数\(C_{i}\)二进制分解 不断递推，将所有系数化为\(\{ 0,1 \}\)
由于\(2^{2k+1}=2^{2k}\times 2\)，因此解决\(2\times a^p\)的递推即可
观察表格可知\(2\times a^p=-a^{p+2}\)，即\(2\times a^p+a^{p+2}=0\)
因此有\(2\times a^p+a^{p+2}=2\times a^{p+2}+a^{p+4}=0\)
则有：
\[2\times a^p=a^{p+2}+a^{p+4} \]
这样就能不断地将系数向高次推推推，最终全部推成\(\{ 0,1 \}\)啦！
然而，聪明的\(phaethon 90\)发现了问题：
如果原本的多项式在推导过程中包含形如\(2\times a^p+a^{p+2}+\dots\)的部分，那么对\(2\times a^p\)套用上述递推将导致无限循环，因为\(2\times a^p+a^{p+2}=0\)
因此，在使用第二个递推前，先判断\(a^{p+2}\)项的系数是否为奇数：
- 如果为奇数，那么就可以利用\(2\times a^p+a^{p+2}=0\)将这个奇数消去，避免在处理到\(p+2\)位时仍然是个奇数
- 如果为偶数，那么可以利用递推二\(2\times a^p=a^{p+2}+a^{p+4}\)往高位推
当更新过的最高位已经与当前位重合了，那么就退出循环
fun fact：这个代码在赛事实际上早就写好了，但是因为不知道如何给FFT清空，以及没有发现最后输出的多项式的项数size远大于size(A)+size(B)，导致没有清空完全，一直在WAAAAA
代码实现
cpp
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<unordered_map>
#include<numeric>
using namespace std;
using ll = long long;
#define rep(i, a, b) for(ll i = (a); i <= (b); i ++)
#define per(i, a, b) for(ll i = (a); i >= (b); i --)
#define see(stl) for(auto&ele:stl)cout<<ele<<" "; cout<<'\n';
constexpr ll inf = 1e9 + 5;
#define int ll
#define double long double
constexpr ll mod = 998244353;
const double pi = acos(-1);
const int N = 4e5 + 5;
struct complex {
double x, y;
complex operator+(const complex& t)const {
return{ x + t.x,y + t.y };
}
complex operator-(const complex& t)const {
return{ x - t.x,y - t.y };
}
complex operator*(const complex& t)const {
return{ x * t.x - y * t.y,x * t.y + y * t.x };
}
}A[N], B[N];
int R[N];
void FFT(complex A[], int n, int op) {
rep(i, 0, n - 1)R[i] = R[i / 2] / 2 + ((i & 1) ? n / 2 : 0);
rep(i, 0, n - 1)if (i < R[i])swap(A[i], A[R[i]]);
for (int i = 2; i <= n; i <<= 1) {
complex w1({ cos(2 * pi / i),sin(2 * pi / i) * op });
for (int j = 0; j < n; j += i) {
complex wk({ 1,0 });
rep(k, j, j + i / 2 - 1) {
complex x = A[k], y = A[k + i / 2] * wk;
A[k] = x + y; A[k + i / 2] = x - y;
wk = wk * w1;
}
}
}
}
int n = 0, m = 0,pos=0;
int ans[N+10];
void eachT() {
string s1, s2; cin >> s1 >> s2;
int up=max(n,m);
up=max(up,pos);
rep(i, 0, up+5) {
A[i] = B[i] = { 0,0 };
R[i] =ans[i]=0;
}
n = s1.length() - 1, m = s2.length() - 1;
rep(i, 0, n)A[i].x = s1[n - i] - '0', A[i].y = 0;
rep(i, 0, m)B[i].x = s2[m - i] - '0', B[i].y = 0;
for (m = n + m, n = 1; n <= m; n <<= 1);
FFT(A, n, 1); FFT(B, n, 1);
rep(i, 0, n - 1)A[i] = A[i] * B[i];
FFT(A, n, -1);
int highid = 0;
bool all0 = 1;
rep(i, 0, m) {
ans[i] = (int)(A[i].x / n + 0.5);
if (ans[i] != 0)all0 = 0;
if (ans[i] > 0 && i > highid) {
highid = i;
}
}
if (all0) {
cout << 0 << '\n';
return;
}
pos = 0;
while (1) {
int k = ans[pos], cnt = 0;
ans[pos] = (k & 1);
k >>= 1;
while (k) {
cnt++;//2^cnt
if (k & 1) {
if (cnt % 2 == 0) {//2^2k
ans[pos + 4 * cnt / 2];
ans[pos + 4 * cnt / 2]++;
highid=max(highid,pos + 4 * cnt / 2);
}
else {
if (cnt / 2 == 0) {//2^1
if (ans[pos + 2] % 2 == 0) {
ans[pos + 4];
ans[pos + 4] += 1;
ans[pos + 2] += 1;
highid=max(highid,pos + 4);
}
else {
ans[pos + 2] -= 1;
highid=max(highid,pos + 2);
}
}
else {//2^2k+1
ans[pos + cnt / 2 * 4];
ans[pos + cnt / 2 * 4] += 2;
highid=max(highid,pos + cnt / 2 * 4);
}
}
}
k >>= 1;
}
if (pos == highid)break;
pos++;
}
int st = pos;
per(i, pos, 0){
if (ans[i] != 0){
st = i;break;
}
}
if(st==pos&&ans[pos]==0){
cout<<0<<'\n';return;
}
per(i, st, 0)cout << ans[i];
cout << '\n';
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0), cout.tie(0);
ll t = 1;
cin >> t;
while (t--) {
eachT();
}
}