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概率论
[Ch1. 随机事件及其概率](#Ch1. 随机事件及其概率)

概率论

Ch1. 随机事件及其概率

1.基本概念

①古典概型求概率

②几何概型求概率

③七大公式求概率

④独立性

(1)随机试验、随机事件、样本空间

1.随机试验 E

2.随机事件 A、B、C

①必然事件 Ω ： P ( Ω ) = 1 P(Ω)=1 P(Ω)=1

②不可能事件 Ø ： P ( Ø ) = 0 P(Ø)=0 P(Ø)=0

3.样本空间

①样本点 ω = 基本事件

②样本空间 Ω：样本点的全体组成的集合

(2)事件的关系和运算

①定义：互斥(互不相容)、对立

(一) 关系：包含、相等、相容、(互不相容)互斥、对立

(二) 运算：和(并)、差、积(交)

(一) 事件的关系

1.包含

(1)概念：

(2)性质：

① A ⊂ B A \subset B A⊂B，则 P ( A ) ≤ P ( B ) P(A)≤P(B) P(A)≤P(B)

② A B ⊂ A AB\subset A AB⊂A且 A B ⊂ B AB\subset B AB⊂B，即 P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B)

(3)若事件C发生必然导致事件A与B同时发生，则A、B、C事件关系为： C ⊂ A B C\subset AB C⊂AB

2.相等

3.相容

4.互不相容(互斥)

(1)定义：

若事件A,B互斥，则

①事件角度：AB=Ø

②概率角度：P(AB)=0

(2)性质：
AB=Ø，则 A ⊂ B ‾ A\subset \overline B A⊂B， P ( A ) ≤ P ( B ‾ ) P(A)≤P(\overline B) P(A)≤P(B)

5.对立：对立事件、逆事件

① A B = Ø AB=Ø AB=Ø 且 A ∪ B = Ω A∪B=Ω A∪B=Ω (即 A ˉ \bar{A} Aˉ=B)

②P(AB)=0 且 P(A)+P(B)=1

(二)事件的运算

1.和(并)：A∪B

2.差：$A-B=A∩\overline{B} $

3.积(交)：A∩B 或 AB

例题1：12年14.

答案：3/4

②运算法则：德摩根率

5.德摩根率(对偶律) 【长杠变短杠，开口换方向】

(1) A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ = A ‾ B ‾ \overline{A∪B}=\overline{A}∩\overline{B}=\overline{A}\ \overline{B} A∪B=A∩B=A B：A、B均不发生

(2) A B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \overline{AB}=\overline{A}∪\overline{B} AB=A∪B：A、B至少有一个不发生

方法：转化为带并的来看含义

例题1：

分析：

A={甲畅销，乙滞销}=B∩C
A ˉ = B ∩ C ‾ = B ‾ ∪ C ‾ \bar{A}=\overline{B∩C}=\overline{B}∪\overline{C} Aˉ=B∩C=B∪C=甲滞销或乙畅销

答案：C

例题2：

法一：推导

法二：画图

(3)概率的定义

1.用频率去估计概率

2.概率的公理化定义

①非负性： P ( A ) ≥ 0 P(A)≥0 P(A)≥0

②规范性： P ( Ω ) = 1 P(Ω)=1 P(Ω)=1

③可列可加性：任意可列个两两互不相容的事件 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An，有 P ( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A n ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + . . . + P ( A n ) P(A_1∪A_2∪...∪A_n)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n) P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An) 【完备事件组】

(4)概率的性质

(1)有界性：

对任意事件A，有 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 0≤P(A)≤1 0≤P(A)≤1。

注：对于几何概型：若P(A)=0，不能断言 A=Ø；若P(A)=1，不能断言 A=Ω；

但反之则对：若A是空集Ø，则P(A)=0；若A是全集Ω，则P(A)=1。即一定有 P ( Ø ) = 0 , P ( Ω ) = 1 P(Ø)=0,P(Ω)=1 P(Ø)=0,P(Ω)=1。

(2)单调性：

对于A,B两个事件，若有 A ⊂ B A\subset B A⊂B，则有：

①P(A)≤P(B)

②P(B-A)=P(B)-P(A)

(5)概率计算

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排列组合

	排列	组合
符号	A n m A_n^m Anm	C n m C_n^m Cnm
公式	A n m = n ( n − 1 ) . . . ( n − m − 1 ) A_n^m=n(n-1)...(n-m-1) Anm=n(n−1)...(n−m−1)	C n m = n ( n − 1 ) . . . ( n − m − 1 ) m ! C_n^m=\dfrac{n(n-1)...(n-m-1)}{m!} Cnm=m!n(n−1)...(n−m−1)
关系	A n m = A_n^m= Anm=	C n m ⋅ m ! C_n^m·m! Cnm⋅m!

2.等可能概型

1.古典概型 (离散)

古典概型(离散)，研究工具：①排列组合 ②加法原理、乘法原理 ③直接数数

求法：

(1)直接用定义求概率： P ( A ) = k n P(A)=\dfrac{k}{n} P(A)=nk

(2)随机分配：m个可辩质点，放到n个盒子中

①每个盒子可以放任意多个质点：有 n m n^m nm 种放法

②每个盒子只能放一个质点：有 A n m = n ( n − 1 ) . . . ( n − m + 1 ) A_n^m=n(n-1)...(n-m+1) Anm=n(n−1)...(n−m+1) 种放法

(3)简单随机抽样

	含义	共有多少种不同的取法
①先后有放回	m个球，先后有放回地取n次	m n m^n mn
②先后无放回	m个球，先后无放回地取n次	A m n = m ( m − 1 ) . . . ( m − n + 1 ) A_m^n=m(m-1)...(m-n+1) Amn=m(m−1)...(m−n+1)
③任取(一次性同时拿出)	从n中一次性取m个球	C n m C_n^m Cnm

2.几何概型 (连续)

几何概型(连续)，研究工具：几何方法、微积分

P ( A ) = S A 的几何度量 Ω 的几何度量 P(A)=\dfrac{S_A的几何度量}{Ω的几何度量} P(A)=Ω的几何度量SA的几何度量

几何度量：长度、面积、体积

例题1：07年16. 几何概型

分析：

法一：直接观察，使得 x-y绝对值小于0.5

显然，概率应为 3 4 \dfrac{3}{4} 43

法二：随机变量的概率

文字语言	数学语言
两个数之差的绝对值	∣ X − Y ∣ \lvert X-Y\rvert ∣X−Y∣
两个数之差的绝对值小于 1 2 \dfrac{1}{2} 21	∣ X − Y ∣ < 1 2 \lvert X-Y\rvert<\dfrac{1}{2} ∣X−Y∣<21
两个数之差的绝对值小于 1 2 \dfrac{1}{2} 21的概率	P { ∣ X − Y ∣ < 1 2 } P\{\ \lvert X-Y\rvert<\dfrac{1}{2}\ \} P{ ∣X−Y∣<21 }

则 P { ∣ X − Y ∣ < 1 2 } = P { − 1 2 < X − Y < 1 2 } = P { − 1 2 < Y − X < 1 2 } = P { x − 1 2 < Y < x + 1 2 } P\{|X-Y|<\dfrac{1}{2}\}=P\{-\dfrac{1}{2}<X-Y<\dfrac{1}{2}\}=P\{-\dfrac{1}{2}<Y-X<\dfrac{1}{2}\}=P\{x-\dfrac{1}{2}<Y<x+\dfrac{1}{2}\} P{∣X−Y∣<21}=P{−21<X−Y<21}=P{−21<Y−X<21}=P{x−21<Y<x+21}

即在 0 < x < 1 , 0 < y < 1 0<x<1,0<y<1 0<x<1,0<y<1区域内，落在 y = x + 1 2 y=x+\dfrac{1}{2} y=x+21 和 y = x − 1 2 y=x-\dfrac{1}{2} y=x−21 之间的概率。

答案： 3 4 \dfrac{3}{4} 43

3.七大公式

(1)逆事件概率公式

P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) P(\overline A)=1-P(A) P(A)=1−P(A)

(2)加法公式

1.任意事件

①两事件和的概率： P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

②三事件和的概率： P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( B C ) − P ( A C ) + P ( A B C ) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC)

③四事件和的概率： P ( A ∪ B ∪ C ∪ D ) = [ P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) + P ( D ) ] − [ P ( A B ) + P ( A C ) + P ( A D ) + P ( B C ) + P ( B D ) + P ( C D ) ] + [ P ( A B C ) + P ( A B D ) + P ( A C D ) + P ( B C D ) ] − P ( A B C D ) P(A∪B∪C∪D)=[P(A)+P(B)+P(C)+P(D)]-[P(AB)+P(AC)+P(AD)+P(BC)+P(BD)+P(CD)]+[P(ABC)+P(ABD)+P(ACD)+P(BCD)]-P(ABCD) P(A∪B∪C∪D)=[P(A)+P(B)+P(C)+P(D)]−[P(AB)+P(AC)+P(AD)+P(BC)+P(BD)+P(CD)]+[P(ABC)+P(ABD)+P(ACD)+P(BCD)]−P(ABCD)

2.两两互不相容事件：

互斥条件下的加法公式，和的概率 = 概率的和

(3)减法公式

P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) = P ( A B ‾ ) P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\overline{B}) P(A−B)=P(A)−P(AB)=P(AB)

(4)条件概率公式

条件概率：A发生条件下，B发生的概率，记为 P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A)，前提要求P(A)>0 【垂帘听政】

P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)

注：①条件概率也是概率，概率的性质仍都满足

(5)乘法公式

① P ( A B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ∣ A ) P(AB)=P(A)·P(B|A) P(AB)=P(A)⋅P(B∣A)

② P ( A 1 A 2 A 3 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2) P(A1A2A3)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2) 【上过台的，到帘子后面】

(6)全概率公式

1.完备事件组：任意两两互斥，概率有可列可加性

2.全概率公式【全集分解公式，由因导果】
P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( B A i ) = P ( B A 1 ) + P ( B A 2 ) + . . . P ( B A n ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) + . . . + P ( A n ) P ( B ∣ A n ) P(B) = \sum\limits_{i=1}^nP(BA_i)=P(BA_1)+P(BA_2)+...P(BA_n)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+...+P(A_n)P(B|A_n) P(B)=i=1∑nP(BAi)=P(BA1)+P(BA2)+...P(BAn)=P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2)+...+P(An)P(B∣An) 【谁去干的概率×干成功的概率】

例： P { Y ≤ y } = P { X = 1 } ⋅ P { Y ≤ y ∣ X = 1 } + P { X = 2 } ⋅ P { Y ≤ y ∣ X = 2 } P\{Y≤y\} = P\{X=1\}·P\{Y≤y|X=1\}+ P\{X=2\}·P\{Y≤y|X=2\} P{Y≤y}=P{X=1}⋅P{Y≤y∣X=1}+P{X=2}⋅P{Y≤y∣X=2}

对y的取值进行分类讨论：①y<0 ②0≤y<1 ③1≤y<2 ④y>2

(7)贝叶斯公式 (先验概率)

贝叶斯公式(逆概率公式，执果索因)：已知B发生了，求是谁干的？

P ( A k ∣ B ) = P ( B A k ) P ( B ) = P ( A k ) P ( B ∣ A k ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) = 全概率的某一项全概率公式 P(A_k|B)=\dfrac{P(BA_k)}{P(B)}=\dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}=\dfrac{全概率的某一项}{全概率公式} P(Ak∣B)=P(B)P(BAk)=i=1∑nP(Ai)P(B∣Ai)P(Ak)P(B∣Ak)=全概率公式全概率的某一项

在全概率时，每个人干的可能性一般是等可能的。但当事件发生后，每个人干的可能性就发生了变化。

即贝叶斯公式：增加信息，概率的大小可能要修正

例题1：随机事件的概率

分析：德摩根律(对偶率)

C 包含的性质

D 逆事件概率公式 + 德摩根律(对偶率)

答案：A

例题2：18年14. 条件概率、事件的独立性

分析：关键是分析出P(AC(AB∪C))=P(AC)

因为BC=Ø，∴P(BC)=0，P(ABC)=0
P ( A C ∣ A B ∪ C ) = P ( A C ( A B ∪ C ) ) P ( A B ∪ C ) = P ( A B C ∪ A C ) ) P ( A B ∪ C ) = P ( A C ) ) P ( A B ) + P ( C ) − P ( A B C ) = P ( A ) P ( C ) ) P ( A ) P ( B ) + P ( C ) = 1 4 P(AC|AB∪C)=\dfrac{P(AC(AB∪C))}{P(AB∪C)}=\dfrac{P(ABC∪AC))}{P(AB∪C)}=\dfrac{P(AC))}{P(AB)+P(C)-P(ABC)}=\dfrac{P(A)P(C))}{P(A)P(B)+P(C)}=\dfrac{1}{4} P(AC∣AB∪C)=P(AB∪C)P(AC(AB∪C))=P(AB∪C)P(ABC∪AC))=P(AB)+P(C)−P(ABC)P(AC))=P(A)P(B)+P(C)P(A)P(C))=41
∴ P ( C ) = 1 4 ∴P(C)=\dfrac{1}{4} ∴P(C)=41