文章目录
- 一、随机试验与随机事件
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- [1.1 随机试验](#1.1 随机试验)
- [1.2 样本空间](#1.2 样本空间)
- [1.3 随机事件](#1.3 随机事件)
- 二、事件的运算与关系
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- [2.1 事件的运算](#2.1 事件的运算)
- [2.2 事件的关系](#2.2 事件的关系)
- [2.3 事件运算的性质](#2.3 事件运算的性质)
- 三、概率的公理化定义与概率的基本性质
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- [3.1 概率的公理化定义](#3.1 概率的公理化定义)
- [3.2 概率的基本性质](#3.2 概率的基本性质)
- 写在最后
一、随机试验与随机事件
1.1 随机试验
若一个试验满足如下条件：
- 在相同的条件下该试验可重复进行；
- 试验的结果是多样的且所有可能的结果在试验前都是确定的；
- 某次试验之前不确定具体发生的结果，
这样的试验称为随机试验，简称试验，一般用字母 E E E 表示。
1.2 样本空间
设 E E E 为随机试验，随机试验 E E E 的所有 可能的基本结果 所组成的集合，称为随机试验 E E E 的样本空间，记为 Ω \Omega Ω ， Ω \Omega Ω 中的任意一个元素称为样本点。
1，样本空间里面所有的元素必须是最基本的，即不可再分。
2，样本空间必须是所有可能的基本结果，即具有完备性，且同一个基本结果在样本空间中只出现一次。
1.3 随机事件
设 E E E 为随机试验， Ω \Omega Ω 为其样本空间，则 Ω \Omega Ω 的子集称为随机事件，其中 ∅ \emptyset ∅ 称为不可能事件， Ω \Omega Ω 称为必然事件。
二、事件的运算与关系
2.1 事件的运算
设 A , B A,B A,B 为两个随机事件，则事件 A A A 与事件 B B B 同时发生的事件，称为事件 A , B A,B A,B 的积事件 ，记为 A B AB AB 或 A ⋂ B A\bigcap B A⋂B ，如下图所示。
事件 A A A 或事件 B B B 发生的事件（即事件 A A A 与事件 B B B 至少有一个事件发生的事件），称为事件 A , B A,B A,B 的和事件 ，记为 A + B A+B A+B 或 A ⋃ B A\bigcup B A⋃B ，如下图所示。
事件 A A A 发生而事件 B B B 不发生的事件，称为事件 A , B A,B A,B 的差事件 ，记为 A − B A-B A−B 。事件 A A A 不发生的事件，称为事件 A A A 的补事件 ，记为 A ‾ \overline{A} A 。
2.2 事件的关系
设 A , B A,B A,B 为两个随机事件，若事件 A A A 发生时，事件 B B B 一定发生，则称 A A A 包含于 B B B ，记为 A ⊂ B A\subset B A⊂B 。若有 A ⊂ B , B ⊂ A A\subset B,B\subset A A⊂B,B⊂A ，称两事件相等，记为 A = B A=B A=B 。
若事件 A A A 与 B B B 不能同时发生，称事件 A , B A,B A,B 不相容或互斥，如下图所示。
若事件 A A A 与 B B B 不能同时发生，但至少会有一个发生，称事件 A , B A,B A,B 为对立事件，如下图所示。
（1） A = ( A − B ) + A B A=(A-B)+AB A=(A−B)+AB ，且 A − B A-B A−B 与 A B AB AB 互斥。
（2） A + B = ( A − B ) + ( B − A ) + A B A+B=(A-B)+(B-A)+AB A+B=(A−B)+(B−A)+AB ，且 A − B , B − A , A B A-B,B-A,AB A−B,B−A,AB 两两互斥。
（3） A B ⊂ A ⊂ A + B , A B ⊂ B ⊂ A + B AB\subset A\subset A+B,AB\subset B\subset A+B AB⊂A⊂A+B,AB⊂B⊂A+B 。
（4）事件 A , B A,B A,B 互斥的充要条件是 A B = ∅ AB=\empty AB=∅ 。
（5）事件 A , B A,B A,B 对立的充要条件是 A B = ∅ AB=\empty AB=∅ ，且 A + B = Ω A+B=\Omega A+B=Ω 。
2.3 事件运算的性质
好多啊，如果要记住的话可费劲了，还容易错，最好还是结合图示来记忆和推吧。
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A B = B A , A + B = B + A ; AB=BA,A+B=B+A; AB=BA,A+B=B+A;
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( 1 ) A ⋃ A = A , A ⋂ A = A ; (1)A\bigcup A=A,A\bigcap A=A; (1)A⋃A=A,A⋂A=A;
（ 2 ） A ⋂ ( B ⋃ C ) = ( A ⋂ B ) ⋃ ( A ⋂ C ) , A ⋃ ( B ⋂ C ) = ( A ⋃ B ) ⋂ ( A ⋃ C ) ; （2）A\bigcap(B\bigcup C)=(A\bigcap B)\bigcup (A\bigcap C),A \bigcup (B \bigcap C)=(A\bigcup B) \bigcap (A \bigcup C); （2）A⋂(B⋃C)=(A⋂B)⋃(A⋂C),A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C);
3.(1) A = ( A − B ) ⋃ A ; A=(A-B) \bigcup A; A=(A−B)⋃A;
（ 2 ） ( A − B ) ⋂ A = A − B ; （2）(A-B)\bigcap A=A-B; （2）(A−B)⋂A=A−B;
（ 3 ） A + B = ( A − B ) ⋃ A B ⋃ ( B − A ) ; （3）A+B=(A-B)\bigcup AB \bigcup (B-A); （3）A+B=(A−B)⋃AB⋃(B−A);
4.(1) A + A ‾ = Ω ; A+\overline{A}=\Omega; A+A=Ω;
（ 2 ） A ⋂ A ‾ = ∅ ; （2）A \bigcap \overline{A} =\empty; （2）A⋂A=∅;
5.(1) A ∩ B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ ; \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}; A∩B=A∪B;
（ 2 ） A ‾ ∩ B ‾ = A ∪ B ‾ （2）\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B} （2）A∩B=A∪B
第 5 条的结论比较有规律，很像戴帽子和脱帽子，都要变运算。同样有如下运算性质： A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ , A ‾ ∪ B ‾ = A ∩ B ‾ \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B},\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B} A∪B=A∩B,A∪B=A∩B
三、概率的公理化定义与概率的基本性质
3.1 概率的公理化定义
设随机试验 E E E 的样本空间为 Ω \Omega Ω ，在 Ω \Omega Ω 上定义满足如下条件的随机事件的函数 P ( A ) ( A ⊂ Ω ) P(A)(A \subset \Omega) P(A)(A⊂Ω) ，称为事件 A A A 的概率：
（1）(非负性) 对任意的事件 A A A ，有 P ( A ) ≥ 0 ; P(A) \geq 0; P(A)≥0;
（2）(归一性) P ( Ω ) = 1 ; P(\Omega)=1; P(Ω)=1;
（3）(可列可加性) 设 A 1 , A 2 , ... , A n , ... A_1,A_2,\dots,A_n,\dots A1,A2,...,An,... 为不相容的随机事件，则有 P ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) = ∑ n = 1 ∞ P ( A n ) , P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n), P(n=1⋃∞An)=n=1∑∞P(An), 则对任意的 A ⊂ Ω A\subset \Omega A⊂Ω ，称 P ( A ) P(A) P(A) 为事件 A A A 的概率。
3.2 概率的基本性质
（一） P ( ∅ ) = 0. P(\empty)=0. P(∅)=0.
证明：令 A 1 = A 2 = ⋯ = A n = ⋯ = ∅ A_1=A_2= \dots=A_n=\dots=\empty A1=A2=⋯=An=⋯=∅ ，有 A 1 = A 2 = ⋯ = A n = ... A_1=A_2= \dots=A_n=\dots A1=A2=⋯=An=... 互不相容，由可列可加性，有 P ( A 1 + A 2 + ⋯ + A n + ... ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + ... P ( A n ) + ... , P(A_1+A_2+ \dots+A_n+\dots)=P(A_1)+P(A_2)+\dots P(A_n)+\dots, P(A1+A2+⋯+An+...)=P(A1)+P(A2)+...P(An)+..., 由 A 1 + A 2 + ⋯ + A n + ⋯ = ∅ A_1+A_2+ \dots+A_n+\dots =\empty A1+A2+⋯+An+⋯=∅ ，可得 P ( ∅ ) = P ( ∅ ) + P ( ∅ ) + ⋯ + P ( ∅ ) + ... , P(\empty)=P(\empty)+P(\empty)+\dots+P(\empty)+\dots , P(∅)=P(∅)+P(∅)+⋯+P(∅)+..., 故 P ( ∅ ) = 0 P(\empty)=0 P(∅)=0 。
（二）(有限可加性) 设 A 1 , A 2 , ... , A n A_1,A_2,\dots,A_n A1,A2,...,An 为互斥的有限个随机事件列，则 P ( ⋃ k = 1 n A k ) = ∑ k = 1 n P ( A k ) . P(\bigcup_{k=1}^{n}A_k)=\sum_{k=1}^{n}P(A_k). P(k=1⋃nAk)=k=1∑nP(Ak). 证明：取 A n + 1 = A n + 2 = ⋯ = ∅ A_{n+1}=A_{n+2}=\dots=\empty An+1=An+2=⋯=∅ ，则 A 1 , A 2 , ... , A n , ... A_1,A_2,\dots,A_n,\dots A1,A2,...,An,... 为不相容的随机事件，由 P ( A n + 1 ) = P ( A n + 2 ) = ⋯ = 0 P(A_{n+1})=P(A_{n+2})=\dots=0 P(An+1)=P(An+2)=⋯=0 及可列可加性，可得 P ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) = P ( ⋃ k = 1 n A k ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + ... P ( A n ) = ∑ k = 1 n P ( A k ) . P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=P(\bigcup_{k=1}^{n}A_k)=P(A_1)+P(A_2)+\dots P(A_n)=\sum_{k=1}^{n}P(A_k). P(n=1⋃∞An)=P(k=1⋃nAk)=P(A1)+P(A2)+...P(An)=k=1∑nP(Ak). （三）(补概率的公式) ： P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) . P(\overline{A})=1-P(A). P(A)=1−P(A).
写在最后
剩下关于概率的基本公式、独立事件以及贝叶斯和概型，放到下一篇文章吧。