2023牛客暑期多校训练营8-C Clamped Sequence II
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/57362/C
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题意
解题思路
先考虑不加紧密度的情况，要支持单点修改，整体查询，可以用值域线段树来求。设 t r e e x . n u m treex.num treex.num表示数值在 l , r l,r l,r区间的数的个数， t r e e x . s u m treex.sum treex.sum表示数值在 l , r l,r l,r区间的数的总和， t r e e x . a n s treex.ans treex.ans表示数值在 l , r l,r l,r区间的数的紧密度，结合下图，可以求得转移式：
n u m x = n u m l s o n + n u m r s o n s u m x = n u m l s o n + s u m r s o n a n s x = a n s l s o n + a n s r s o n + s u m r s o n × n u m l s o n − s u m l s o n × n u m r s o n num_x=num_{lson}+num_{rson}\\ sum_x=num_{lson}+sum_{rson}\\ ans_x=ans_{lson}+ans_{rson}+sum_{rson}\times num_{lson}-sum_{lson}\times num_{rson} numx=numlson+numrsonsumx=numlson+sumrsonansx=anslson+ansrson+sumrson×numlson−sumlson×numrson
此时我们加入紧凑的设定，对于每一对确定的 l , r l,r l,r我们都可以算出此时的答案：
a n s w e r = a n s l , r + s u m l , r × ( n u m 1 , l − 1 − n u m r + 1 , n ) + ( n u m 1 , l − 1 + n u m l , r ) × n u m r + 1 , n − ( n u m r + 1 , n + n u m l , r ) × n u m 1 , l − 1 answer=ans_{l,r}+sum_{l,r}\times(num_{1,l-1}-num_{r+1,n})+(num_{1,l-1}+num_{l,r})\\ \times num_{r+1,n}-(num_{r+1,n}+num_{l,r})\times num_{1,l-1} answer=ansl,r+suml,r×(num1,l−1−numr+1,n)+(num1,l−1+numl,r)×numr+1,n−(numr+1,n+numl,r)×num1,l−1
根据出题人所说，该答案是严格单峰的，所以可以用三分求解，但经过我实践却不太像，需要将三分的范围约束在最中间的数 ± d \pm d ±d再加上左右游移 2 ∼ 3 2\sim 3 2∼3个数，大致能求出正确答案。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=1e6+5;
ll n,a[N],b[M],q;
struct node{
ll num,l,r;
ll sum,ans;
node operator +(const node a){
node t;
t.num=num+a.num,t.sum=sum+a.sum;
t.ans=num*a.sum-sum*a.num+ans+a.ans;
t.l=l,t.r=a.r;
return t;
}
};
struct tree{
node tr[M<<2];
void build(int res,int l,int r){
tr[res].l=l,tr[res].r=r;
if(l==r){
tr[res].num=b[l],tr[res].sum=b[l]*l;
return;
}
int mid=l+r>>1;
build(res<<1,l,mid);
build(res<<1|1,mid+1,r);
tr[res]=tr[res<<1]+tr[res<<1|1];
}
void add(int res,int x,ll d){
int l=tr[res].l,r=tr[res].r;
if(l==r&&l==x){
tr[res].sum+=d*l;
tr[res].num+=d;
return;
}
int mid=l+r>>1;
if(x<=mid)add(res<<1,x,d);
else add(res<<1|1,x,d);
tr[res]=tr[res<<1]+tr[res<<1|1];
return;
}
node query(int res,int x,int y){
if(x>y)return node{0,0,0,0,0};
int l=tr[res].l,r=tr[res].r;
if(x<=l&&y>=r){
return tr[res];
}
int mid=l+r>>1;
if(y<=mid)return query(res<<1,x,y);
if(x>mid)return query(res<<1|1,x,y);
return query(res<<1,x,y)+query(res<<1|1,x,y);
}
int kth(int id,int l,int r,int k)
{
if(l==r) return l;
int mid=l+r>>1;
if(tr[id<<1].num>=k) return kth(id<<1,l,mid,k);
else return kth(id<<1|1,mid+1,r,k-tr[id<<1].num);
}
}t;
ll f(int l,int d){
int r=l+d;
node p=t.query(1,l,r);
ll num1=p.num,ans1=p.ans,sum1=p.sum;
ll numl=t.query(1,1,l-1).num,numr=t.query(1,r+1,M-1).num;
return ans1-numl*(numr+num1)*l+numr*(numl+num1)*r+sum1*(numl-numr);
}
ll work(int d){
int k=t.kth(1,1,M-1,n+1>>1);
int l=max(1,k-d),r=min(M-1,k+d);
ll ma=0;
while(l+2<=r){
int mi1=(r-l)/3+l,mi2=r-(r-l)/3;
ll ma1=f(mi1,d),ma2=f(mi2,d);
ma=max(ma,max(ma1,ma2));
if(ma1>=ma2)r=mi2-1;
else l=mi1+1;
}
for(int i=l;i<=r;i++)
ma=max(ma,f(i,d));
return ma;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>q;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],b[a[i]]++;
t.build(1,1,M-1);
while(q--){
int op;
cin>>op;
if(op==1){
int x,d;
cin>>x>>d;
t.add(1,a[x],-1);
t.add(1,d,1);
a[x]=d;
}else{
int d;
cin>>d;
cout<<work(d)<<'\n';
}
}
}