题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 m m m 行 n n n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 ( m , n ) (m,n) (m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0 0 0 表示），可以用一个 [ 0 , 100 ] [0,100] [0,100] 内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有两个用空格隔开的整数 m m m 和 n n n，表示班里有 m m m 行 n n n 列。

接下来的 m m m 行是一个 m × n m \times n m×n 的矩阵，矩阵中第 i i i 行 j j j 列的整数表示坐在第 i i i 行 j j j 列的学生的好心程度。每行的 n n n 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出文件共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

【数据范围】

对于 30 % 30\% 30% 的数据，满足 1 ≤ m , n ≤ 10 1 \le m,n \le 10 1≤m,n≤10。

对于 100 % 100\% 100% 的数据，满足 1 ≤ m , n ≤ 50 1 \le m,n \le 50 1≤m,n≤50。

【题目来源】

NOIP 2008 提高组第三题。

思路

四维dp

这题就是说要找到两条互不重合的两条最大线路。虽然说一个是从左上角出发，一个是从右下角出发，不过其实两个都从左上角出发 就行了，这样比较好思考，也比较好写

一眼看过去，dp ！！！最好想到的就是四维dp ：
d p [ i ] [ j ] [ u ] [ v ] dp[i][j][u][v] dp[i][j][u][v]表示第一条线路到达了（ i , j ）（i,j）（i,j），第二条线路到达了 ( u , v ) (u,v) (u,v)

当然，两条线路不能走到同一个点，所以在循环 i , j , u , v i,j,u,v i,j,u,v时， v v v要从 j + 1 j+1 j+1开始，

或者判断当两个点重合时， d p [ i ] [ j ] [ u ] [ v ] dp[i][j][u][v] dp[i][j][u][v]减去一个人的好心程度

四维的状态转移方程比较好想：

cpp 复制代码

 f[i][j][k][l]=max( f[i][j-1][k-1][l] , max(f[i-1][j][k][l-1] , max(f[i][j-1][k][l-1] , f[i-1][j][k-1][l]) ) )+a[i][j]+a[k][l]

a是输入的好心程度！！！

怎么样？很简单吧？

不过当数据再大一点的时候就不能用四维的了，这个 1 ≤ m , n ≤ 50 1≤m,n≤50 1≤m,n≤50着实有点水，所以我们要用三维的，当然三维的也很好理解哦。

三维dp

我们可以发现：两条线路走的总步数是一样的（即 i + j i+j i+j等于 u + v u+v u+v），所以我们可以只枚举两条线路的纵坐标或者横坐标就可以了。（我枚举的是横坐标）

那么我们现在的 d p [ k ] [ i ] [ j ] dp[k][i][j] dp[k][i][j]就表示一共走了k步，第一条线路在第i列上，第二条线路在第j列上时的最大好心程度
注意！！！dp数组的第一维要开到 n + m n+m n+m以上，因为这个棋矩阵最多可以走到大概 n + m n+m n+m步

那么我们的状态转移方程为：

cpp 复制代码

dp[k][i][j]=max_(dp[k-1][i-1][j-1],dp[k-1][i][j],dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i][j-1])+a[i][k-i]+a[j][k-j];

max_ 是一个函数，就是求着四个数的最大值 不过你也可以写三个max

其中：
d p [ k − 1 ] [ i − 1 ] [ j − 1 ] dp[k-1][i-1][j-1] dp[k−1][i−1][j−1]表示：在上一步时两条线路都向下移动；
d p [ k − 1 ] [ i ] [ j ] dp[k-1][i][j] dp[k−1][i][j]表示：在上一步时两条线路都向右移动；
d p [ k − 1 ] [ i − 1 ] [ j ] dp[k-1][i-1][j] dp[k−1][i−1][j]表示：在上一步时一条向下，一条向右；
d p [ k − 1 ] [ i ] [ j − 1 ] dp[k-1][i][j-1] dp[k−1][i][j−1]表示：在上一步时一条向右，一条向下；
a a a数组为输入的好心程度

差不多就这样，是不是很简单？看看代码吧：

含有注释，放心食用：

AC四维代码：

cpp 复制代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 55
using namespace std;
int a[N][N],f[N][N][N][N];
void work(int i,int j,int k,int l)
{
	int Max=0;
	Max=max(Max,f[i-1][j][k-1][l]);//这里可以合并，看个人喜好 
	Max=max(Max,f[i-1][j][k][l-1]);
	Max=max(Max,f[i][j-1][k-1][l]);
	Max=max(Max,f[i][j-1][k][l-1]);
	f[i][j][k][l]=Max+a[i][j];
	if(i!=k||j!=l)//去重，因为题目不允许走到同一个点 
	    f[i][j][k][l]+=a[k][l];
}
int main()
{
	int m,n,i,j,k,l;
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(i=1;i<=m;++i)
	    for(j=1;j<=n;++j)
	        scanf("%d",&a[i][j]);
	for(i=1;i<=m;++i)
	    for(j=1;j<=n;++j)
	        for(u=1;u<=m;++u)
	            for(v=1;v<=n;++v)
	                work(i,j,u,v);
	printf("%d",f[m][n][m][n]);
	return 0;
}

AC三维代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[101][101],dp[201][101][101];
int max_(int a,int b,int c,int d){
	return max(a,max(b,max(c,d)));//求最大的 
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	for(int k=2;k<=n+m;k++){//枚举步数 
		for(int i=1;i<=n;i++){//枚举横坐标 
			for(int j=1;j<=n;j++){//枚举横坐标 
				int l1=k-i,l2=k-j;
				if(l1<1||l1>m||l2<1||l2>m) continue;
				int t=a[i][l1];
				if(i!=j) t+=a[j][l2];//如果没有重复就加上 
				dp[k][i][j]=max_(dp[k-1][i-1][j-1],dp[k-1][i][j],dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i][j-1]);//求最大的 （函数） 
				dp[k][i][j]+=t;//加上当前位置的好心程度 
			}
		}
	}
	cout<<dp[n+m][n][n];//输出 
	return 0;
}