2023河南萌新联赛第（六）场：河南理工大学
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题意
小C喜欢旅游，现在他要去DSH旅游，DSH里有 n n n个城市和 n − 1 n−1 n−1条双向道路（每条道路长度为1），每条道路连接两个城市，并且任意两个城市都可以通过这些的道路互相到达。现在小C要使用魔法指定传送到DSH里的一个城市，作为他旅游的出发城市，小C旅游遵从以下原则：
- 当小C抵达一个城市的时候，他会去跟当前这个城市相连的城市；
- 他只去他以前没有去过的城市；
- 在每个城市，小C以相同的概率移动去上述符合要求的城市；
当没有这样的城市（可走）时，小C就停下了。
由于小C太喜欢DSH了，所以请你告诉小C，在他可以指定传送出发城市的情况下，他的旅游路径的期望最大值是多少。
解题思路
先确定 1 1 1为根节点，设 d p x dp_x dpx表示以 x x x为根的子树内走过节点个数的期望值，则 d p x = 1 + 1 ∣ s o n x ∣ ∑ s ∈ s o n x d p s dp_x=1+\frac{1}{|son_x|}\sum_{s\in son_x}dp_s dpx=1+∣sonx∣1∑s∈sonxdps，求出后，设 f x f_x fx表示以 x x x为出发点，经过节点个数的期望值，显然 f 1 = d p 1 f_1=dp_1 f1=dp1，可以用换根 d p dp dp， O ( n ) O(n) O(n)求出 { f } \{f\} {f}，对于 f x f_x fx，其值包括其原来的子树的贡献和原来的父亲 f a fa fa的贡献。首先考虑子树，贡献为 1 ∣ s o n x + 1 ∣ ∑ s ∈ s o n x f s \dfrac{1}{|son_x+1|}\sum_{s\in son_x}f_s ∣sonx+1∣1∑s∈sonxfs，可以发现 ∑ s ∈ s o n x f s = ( d p x − 1 ) × ∣ s o n x ∣ \sum_{s\in son_x}f_s=(dp_x-1)\times|son_x| ∑s∈sonxfs=(dpx−1)×∣sonx∣，所以为 ∣ s o n x ∣ ∣ s o n x + 1 ∣ ( d p x − 1 ) \dfrac{|son_x|}{|son_x+1|}(dp_x-1) ∣sonx+1∣∣sonx∣(dpx−1)。对于 f a fa fa的贡献，包括以 f a fa fa为根的树的期望减去以 x x x为儿子的贡献，为 v e c f a . s i z e ( ) × f f a − d p x − 1 v e c f a . s i z e ( ) − 1 × 1 ∣ s o n x ∣ + 1 \dfrac{vec_{fa}.size()\times f_{fa}-dp_x-1}{vec_{fa}.size()-1}\times\dfrac{1}{|son_x|+1} vecfa.size()−1vecfa.size()×ffa−dpx−1×∣sonx∣+11（之所以用 v e c f a . s i z e ( ) vec_{fa}.size() vecfa.size()是避免 f a = 1 fa=1 fa=1时再分类讨论），加上其本身，整理可得：
f x = 1 ∣ s o n x ∣ + 1 ( ( d p x − 1 ) × ∣ s o n x + 1 ∣ + v e c f a . s i z e ( ) × f f a − d a x − 1 v e c f a . s i z e ( ) − 1 ) + 1 f_x=\dfrac{1}{|son_x|+1}((dp_x-1)\times|son_x+1|+\dfrac{vec_{fa}.size()\times f_{fa}-da_x-1}{vec_{fa}.size()-1})+1 fx=∣sonx∣+11((dpx−1)×∣sonx+1∣+vecfa.size()−1vecfa.size()×ffa−dax−1)+1
记得 g g g表示的是节点数，答案要求路径长，要将最大值减一。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n;
double dp[N],f[N],ma;
vector<int>ve[N];
void dfs1(int u,int fa){
int cnt=(ve[u].size()-(u!=1?1:0));
for(auto v:ve[u]){
if(v==fa)continue;
dfs1(v,u);
dp[u]+=1.0/cnt*dp[v];
}
dp[u]=dp[u]+1;
}
void dfs2(int u,int fa){
ma=max(f[u],ma);
int sum=ve[u].size();
for(auto v:ve[u]){
if(v==fa)continue;
int cnt=ve[v].size()-1;
f[v]=(1.0*(dp[v]-1)*cnt+(sum>1?(sum*f[u]-dp[v]-1)/(sum-1):1))/(cnt+1)+1;
dfs2(v,u);
}
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
ve[u].push_back(v);
ve[v].push_back(u);
}
dfs1(1,0);
f[1]=dp[1];
dfs2(1,0);
printf("%.3lf",ma-1);
}