从零学算法 (剑指 Offer 13)

地上有一个m行n列的方格，从坐标 $0,0$ 到坐标 $m-1,n-1$ 。一个机器人从坐标 $0, 0$ 的格子开始移动，它每次可以向左、右、上、下移动一格（不能移动到方格外），也不能进入行坐标和列坐标的数位之和大于k的格子。例如，当k为18时，机器人能够进入方格 $35, 37$ ，因为3+5+3+7=18。但它不能进入方格 $35, 38$ ，因为3+5+3+8=19。请问该机器人能够到达多少个格子？

示例 1：

输入：m = 2, n = 3, k = 1

输出：3

示例 2：

输入：m = 3, n = 1, k = 0

输出：1
原题链接

我的思路：从左上角 $0,0$ 开始 dfs，如果行列坐标的数位之和大于 k 就返回 0，如果来过了这个点也返回 0，如果超出边界了也返回 0，否则就算是一个能够到达的格子，返回 1+dfs(往右走)+dfs(往下走)。因为是从左上角开始，所以往右和往下足以遍历每个格子。

java 复制代码

  int M,N,K;
  Set<Integer> set = new HashSet<>();
  public int movingCount(int m, int n, int k) {
      M=m;
      N=n;
      K=k;
      return dfs(0,0);
  }
  public int dfs(int x,int y){
  	// 超出边界
      if(x>=M || y>=N)return 0;
      // 不符题意
      if(getNum(x,y)>K)return 0;
      // 已计算过
      if(set.contains(x*N+y))return 0;
      set.add(x*N+y);
      int ans = dfs(x+1,y)+dfs(x,y+1)+1;
      return ans;
  }
  // 获取格子行列数位和
  public int getNum(int x,int y){
      int ans = 0;
      while(x>0){
          ans+=x%10;
          x/=10;
      }
      while(y>0){
          ans+=y%10;
          y/=10;
      }
      return ans;
  }

他人题解：获取格子行列数位和这部分可以优化，以下用 sum 代替一个数的数位和。一个数在递增的时候，只要没满十，规律都是 sum(x)=sum(x-1)+1，比如 16 和 17 和 18 的 sum 就是 7->8->9。如果满十进一了，就相当于把原本的 9 变成了 0，之前的一位加了 1，算下来就是减少了 8，所以此时 sum(x) = sum(x-1)-8，总结一下就是 sum(x) = x%10==0?s(x-1)-8:sum(x-1)+1。也就是说一个坐标的行列在变化时，他的数位和就能根据这个规律来计算，所以在 dfs 的入参中加入坐标 $i,j$ 对应的 sum(i) 和 sum(j)，就能递推得到一个坐标的数位和。

java 复制代码

  int m,n,k;
  // 用数组判断是否来过某个点更快
  boolean[][] see;
  public int movingCount(int m, int n, int k) {
      this.m=m;this.n=n;this.k=k;
      this.see = new boolean[m][n];
      return dfs(0,0,0,0);
  }
  public int dfs(int x,int y,int sx,int sy){
      if(x>=m || y>=n || sx+sy>k || see[x][y])return 0;
      see[x][y]=true;
      int newSx = (x+1)%10==0?sx-8:sx+1;
      int newSy = (y+1)%10==0?sy-8:sy+1;
      int ans = dfs(x+1,y,newSx,sy)+dfs(x,y+1,sx,newSy)+1;
      return ans;
  }

他人题解2：既然是遍历每个格子，那其实 bfs 也行，原理都一样，就不赘述了

java 复制代码

  public int movingCount(int m, int n, int k) {
      boolean[][] visited = new boolean[m][n];
      int res = 0;
      Queue<int[]> queue= new LinkedList<int[]>();
      // 熟悉的 dfs 入参，坐标以及坐标对应的 sum
      queue.add(new int[] { 0, 0, 0, 0 });
      while(queue.size() > 0) {
          int[] x = queue.poll();
          int i = x[0], j = x[1], si = x[2], sj = x[3];
          // 相当于 dfs 的 return 0
          if(i >= m || j >= n || k < si + sj || visited[i][j]) continue;
          visited[i][j] = true;
          // 以下三行相当于 return dfs(下)+dfs(右)+1
          res ++;
          queue.add(new int[] { i + 1, j, (i + 1) % 10 != 0 ? si + 1 : si - 8, sj });
          queue.add(new int[] { i, j + 1, si, (j + 1) % 10 != 0 ? sj + 1 : sj - 8 });
      }
      return res;
  }