线性代数的学习和整理13: 函数与向量/矩阵

目录

[1 函数与 向量/矩阵](#1 函数与 向量/矩阵)

[2 函数的定义域,值域,到达域](#2 函数的定义域,值域,到达域)

[3 对应关系](#3 对应关系)


1 函数与 向量/矩阵

下面两者形式类似,本质也类似

  • 函数的: ax=y ,常规函数里,a,x,y 一般都是单个数
  • 矩阵: AX=Y , 矩阵乘法,这里 A,x,y 一般都是向量/矩阵
  • 线性代数,就是处理数组,和数组的数组的学科

2 函数的定义域,值域,到达域

2.1 函数的定义域,值域,到达域

加入有函数,形如 ax=y=f(x),那么

  • 定义域: 自变量x的取值范围就是定义域
  • 值域: 因变量f(x)=y 的取值范围就是值域
  • 到达域:因变量

2.2 映射:定义域 →映射→ 值域

  • 从映射的角度来看,定义域,值域
  1. 函数定义域里的每个值x,必须有一个值y与之对应
  2. 函数值域里的每个值y,必须有一个定义域的x与之对应

2.3 函数的定义

  • y=f(x)=ax
  • 这个函数,需要每个x都有y值

3 对应关系

针对定义域的

3.1 非函数映射:

(第1种)非函数映射: 定义域里的有的x 没有y对应着

3.2 针对定义域的

  • 单射: 定义域里的每个x 都有唯一的y对应。(但是有的y可能没有x对应)
  1. 普通单射
  2. 双射
  • 非单射: 定义域里的每个x 都有y对应,但是可能对应相同的y

3.3 针对值域的

  • 满射: 值域里的每个y 都有x对应 (但是有的y可能对应的2个x)
  • 非满射: 值域里不是每个y 都有x对应,有些y值没有x映射

特例

  • 双射:定义域中的x 和值域中y 分别一一对应
  • 双射的意义,只有满秩的双射矩阵,一定可逆矩阵

partial function和total function

映射,或者射影,在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射,而且只能是一对一映射或多对一映射。【一个x只能对应一个y,但多个x可以对应一个y】

partial function,对于X中的值,可以有x1在Y中找不到相应的映射。

total function,X中所有的值,xi在Y中都能找到相应的映射。

injective,单射。指将不同的变量映射到不同的值的函数。例如,指数函数exp:R → R+:x → e^x(e的x次方)是单射的。自然对数函数ln:(0,+∞) → R:x → ln x也是单射的。

onto,满射。指陪域等于值域的函数。即:对陪域中任意元素,都存在至少一个定义域中的元素与之对应。

4 函数和反函数 → 矩阵和逆矩阵

4.1 函数和反函数

如果一个函数 y=f(x)=ax 反过来 x=f(y)

  • 如果x和y调换
  • 如果不是满射,反过来就不是单射
  • 函数就不存在反函数

4.2 矩阵和逆矩阵

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