线性代数的学习和整理13: 函数与向量/矩阵

目录

[1 函数与 向量/矩阵](#1 函数与 向量/矩阵)

[2 函数的定义域，值域，到达域](#2 函数的定义域，值域，到达域)

[3 对应关系](#3 对应关系)

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1 函数与 向量/矩阵

下面两者形式类似，本质也类似

• 函数的： ax=y ，常规函数里，a,x,y 一般都是单个数
• 矩阵： AX=Y ， 矩阵乘法，这里 A,x,y 一般都是向量/矩阵
• 线性代数，就是处理数组，和数组的数组的学科

2 函数的定义域，值域，到达域

2.1 函数的定义域，值域，到达域

加入有函数，形如 ax=y=f(x)，那么

• 定义域： 自变量x的取值范围就是定义域
• 值域： 因变量f(x)=y 的取值范围就是值域
• 到达域：因变量

2.2 映射：定义域 →映射→ 值域

• 从映射的角度来看，定义域，值域

1. 函数定义域里的每个值x，必须有一个值y与之对应
2. 函数值域里的每个值y，必须有一个定义域的x与之对应

2.3 函数的定义

• y=f(x)=ax
• 这个函数，需要每个x都有y值

3 对应关系

针对定义域的

3.1 非函数映射：

（第1种）非函数映射： 定义域里的有的x 没有y对应着

3.2 针对定义域的

• 单射： 定义域里的每个x 都有唯一的y对应。（但是有的y可能没有x对应）

1. 普通单射
2. 双射

• 非单射： 定义域里的每个x 都有y对应，但是可能对应相同的y

3.3 针对值域的

• 满射： 值域里的每个y 都有x对应 （但是有的y可能对应的2个x）
• 非满射： 值域里不是每个y 都有x对应，有些y值没有x映射

特例

• 双射：定义域中的x 和值域中y 分别一一对应
• 双射的意义，只有满秩的双射矩阵，一定可逆矩阵

partial function和total function

映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。【一个x只能对应一个y，但多个x可以对应一个y】

partial function，对于X中的值，可以有x1在Y中找不到相应的映射。

total function，X中所有的值，xi在Y中都能找到相应的映射。

injective，单射。指将不同的变量映射到不同的值的函数。例如，指数函数exp：R → R+：x → e^x（e的x次方）是单射的。自然对数函数ln：(0，+∞) → R：x → ln x也是单射的。

onto，满射。指陪域等于值域的函数。即：对陪域中任意元素，都存在至少一个定义域中的元素与之对应。

4 函数和反函数 → 矩阵和逆矩阵

4.1 函数和反函数

如果一个函数 y=f(x)=ax 反过来 x=f(y)

• 如果x和y调换
• 如果不是满射，反过来就不是单射
• 函数就不存在反函数

4.2 矩阵和逆矩阵