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谱分解定理
设三阶实对称矩阵 A A A，若矩阵 A A A 的特征值为 λ 1 , λ 2 , λ 3 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 λ1,λ2,λ3，对应的单位化 特征向量分别为 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3 且两两正交 ，则 A = λ 1 α 1 α 1 T + λ 2 α 2 α 2 T + λ 3 α 3 α 3 T A = \lambda_1 \alpha_1 \alpha_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \alpha_2 \alpha_2^{\mathrm{T}} + \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}} A=λ1α1α1T+λ2α2α2T+λ3α3α3T。
【注 1】在考研范围内，只适用于实对称矩阵。
【注 2】特征向量必须两两正交且单位化！
证明 ：三阶实对称矩阵 A A A 可相似对角化，存在正交矩阵 Q = ( α 1 , α 2 , α 3 ) Q=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) Q=(α1,α2,α3)，使得 Q T A Q = Λ = λ 1 λ 2 λ 3 Q^{\mathrm{T}}AQ = \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix} QTAQ=Λ= λ1λ2λ3 。
所以有： A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) λ 1 λ 2 λ 3 α 1 T α 2 T α 3 T = λ 1 α 1 α 1 T + λ 2 α 2 α 2 T + λ 3 α 3 α 3 T A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1^{\mathrm{T}} \\ \alpha_2^{\mathrm{T}} \\ \alpha_3^{\mathrm{T}} \end{bmatrix} = \lambda_1 \alpha_1 \alpha_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \alpha_2 \alpha_2^{\mathrm{T}} + \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}} A=(α1,α2,α3) λ1λ2λ3 α1Tα2Tα3T =λ1α1α1T+λ2α2α2T+λ3α3α3T。
定理的运用
什么时候运用谱分解定理最方便？
（1）当特征值出现 0 0 0 时，运用定理可减少计算量（参见解法一）；
（2）当特征值出现二重根 k k k 时，可先运用定理计算出具体的 A − k E A-kE A−kE，再算出实对称矩阵 A A A（参见解法二）；
（3）运用该定理甚至不需要求出所有的特征向量！
【例】设 3 3 3 阶实对称矩阵 A A A 的秩为 2 2 2， λ 1 = λ 2 = 6 \lambda_1=\lambda_2=6 λ1=λ2=6 是 A A A 的二重特征值，若 α 1 = ( 1 , 1 , 0 ) T , α 2 = ( 2 , 1 , 1 ) T , α 3 = ( − 1 , 2 , − 3 ) T \alpha_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}},\alpha_2=(2,1,1)^{\mathrm{T}},\alpha_3=(-1,2,-3)^{\mathrm{T}} α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(−1,2,−3)T，都是 A A A 属于特征值 6 6 6 的特征向量，求矩阵 A A A。
【解法一】由 r ( A ) = 2 r(A)=2 r(A)=2 可得特征值 λ 1 = λ 2 = 6 , λ 3 = 0 \lambda_1=\lambda_2=6, \lambda_3=0 λ1=λ2=6,λ3=0，将 α 1 = ( 1 , 1 , 0 ) T , α 2 = ( 2 , 1 , 1 ) T \alpha_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}},\alpha_2=(2,1,1)^{\mathrm{T}} α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T 进行单位正交化得： ξ 1 = 1 2 ( 1 , 1 , 0 ) T , ξ 2 = 1 6 ( 1 , − 1 , 2 ) T \xi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,1,0)^{\mathrm{T}},\xi_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)^{\mathrm{T}} ξ1=2 1(1,1,0)T,ξ2=6 1(1,−1,2)T。
运用谱分解定理：
A = λ 1 ξ 1 ξ 1 T + λ 2 ξ 2 ξ 2 T = 3 ξ 1 ξ 1 T + ξ 2 ξ 2 T = 3 1 1 0 ( 1 , 1 , 0 ) + 1 − 1 2 ( 1 , − 1 , 2 ) = 4 2 2 2 4 − 2 2 − 2 4 \begin{aligned} A &= \lambda_1 \xi_1 \xi_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \xi_2 \xi_2^{\mathrm{T}} \\ &= 3 \xi_1 \xi_1^{\mathrm{T}} + \xi_2 \xi_2^{\mathrm{T}} \\ &= 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} (1,1,0) + \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} (1,-1,2) \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned} A=λ1ξ1ξ1T+λ2ξ2ξ2T=3ξ1ξ1T+ξ2ξ2T=3 110 (1,1,0)+ 1−12 (1,−1,2)= 42224−22−24
【解法二】先求出 A A A 的另一特征值和对应的特征向量 λ 3 = 0 , α 3 = ( − 1 , 1 , 1 ) T \lambda_3=0,\alpha_3=(-1,1,1)^{\mathrm{T}} λ3=0,α3=(−1,1,1)T，进行单位正交化： ξ 3 = 1 3 ( − 1 , 1 , 1 ) T \xi_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1)^{\mathrm{T}} ξ3=3 1(−1,1,1)T。
由于 A A A 的特征值为 λ 1 = λ 2 = 6 , λ 3 = 0 \lambda_1=\lambda_2=6, \lambda_3=0 λ1=λ2=6,λ3=0，所以 A − 6 E A-6E A−6E 的特征值为 λ 1 = λ 2 = 0 , λ 3 = − 6 \lambda_1=\lambda_2=0, \lambda_3=-6 λ1=λ2=0,λ3=−6，注意到其对应的特征向量仍然不变，因此可以先求出 A − 6 E A-6E A−6E，运用谱分解定理：
A − 6 E = λ 3 ξ 3 ξ 3 T = − 2 − 1 1 1 ( − 1 , 1 , 1 ) = − 2 2 2 2 − 2 − 2 2 − 2 − 2 \begin{aligned} A-6E &= \lambda_3 \xi_3 \xi_3^{\mathrm{T}} \\ &= -2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} (-1,1,1) \\ &= \begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{bmatrix} \end{aligned} A−6E=λ3ξ3ξ3T=−2 −111 (−1,1,1)= −2222−2−22−2−2
所以有：
A = ( A − 6 E ) + 6 E = − 2 2 2 2 − 2 − 2 2 − 2 − 2 + 6 6 6 = 4 2 2 2 4 − 2 2 − 2 4 \begin{aligned} A &= (A-6E) + 6E \\ &= \begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & & \\ & 6 & \\ & & 6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned} A=(A−6E)+6E= −2222−2−22−2−2 + 666 = 42224−22−24