LA@齐次线性方程组解的结构

文章目录

• 齐次线性方程组解的结构🎈
• • 解的性质
  • • 齐次线性方程组的解的线性组合还是方程组的解
    • 基础解系
    • 通解
  • 定理:齐次线性方程组基础解系存在定理
  • • 齐次线性方程组的基础解系包含的向量个数(秩)👺
    • 应用和示例
    • 推论1
    • 推论2
    • 推论3:转置矩阵对的乘积秩的性质
    • 非自由未知数的选取方法(最左方法)
    • 基础解系和通解形式的不唯一性
  • 证明
  • • 分析
    • 证法1
    • • 齐次线性方程的基础解系构造
      • 证明所构造的向量组是基础解系
    • 证法2
  • 小结
  • 基础解系构造提要
  • 例
  • 补充
  • • 再给出一组上述基础解系之外的其他基础解系
    • 非最左方法选取非自由变量

齐次线性方程组解的结构🎈

解的性质

齐次线性方程组的解的线性组合还是方程组的解

• 设 ξ 1 , ⋯   , ξ r \xi_1,\cdots,\xi_r ξ1,⋯,ξr都是 ( 2 ) (2) (2)的解,则 ∑ i = 1 r = k i ξ i \sum_{i=1}^r=k_i\xi_{i} ∑i=1r=kiξi

• 证明1:

  • 对于齐次线性 ( 2 ) (2) (2),如果两向量 ξ 1 , ξ 2 \xi_1,\xi_2 ξ1,ξ2都是该方程组的解向量,那么对于 ξ 1 , ξ 2 \xi_1,\xi_2 ξ1,ξ2的线性组合 ξ 3 = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 \xi_3=k_1\xi_1+k_2\xi_2 ξ3=k1ξ1+k2ξ2也是该方程组的解向量

    • A ξ i = 0 , i = 1 , 2 A\xi_i=0,i=1,2 Aξi=0,i=1,2
    • A ξ 3 = A ( ∑ i = 1 2 k i ξ i ) = ∑ i = 1 2 k i A ξ i A\xi_3=A(\sum\limits_{i=1}^{2}k_i\xi_i)=\sum\limits_{i=1}^{2}k_iA\xi_i Aξ3=A(i=1∑2kiξi)=i=1∑2kiAξi
    • 而 k i A ξ i = 0 k_iA\xi_i=0 kiAξi=0,所以 A ξ 3 = 0 A\xi_3=0 Aξ3=0

  • 类似的,可以得到,齐次线性方程组的解的线性组合还是方程组的解

• 证明2:

  • 两个解向量的和仍然是解向量,再证明解向量的 k k k倍仍然是解向量,即可证明任意个解向量的常数倍之和(也就任意个解向量的线性组合)仍然是解向量

• 事实上,齐次线性方程组的全部解可以由有限个解向量(的线性组合)表示

基础解系

• 方程 ( 2 ) (2) (2)的所有解向量构成的向量集合(向量组)记为 S S S
• 设 S S S存在一个极大无关组 S 0 : ξ 1 , ⋯   , ξ t S_0:\xi_1,\cdots,\xi_t S0:ξ1,⋯,ξt,那么 S S S中的向量都能由 S 0 S_0 S0线性表示, S 0 S_0 S0称为 ( 2 ) (2) (2)的一个基础解系

通解

• 最大无关组 S 0 S_0 S0的任何线性组合 x = ∑ i = 1 r = k i ξ i \bold{x}=\sum_{i=1}^r=k_i\xi_{i} x=∑i=1r=kiξi,(, k i , i = 1 , 2 ⋯   , t k_i,i=1,2\cdots,t ki,i=1,2⋯,t为任意实数)是 ( 2 ) (2) (2)的解,能够表示 S S S中的任意向量,所有也成为 ( 2 ) (2) (2)的通解

• 把 A x = 0 Ax=0 Ax=0全体解 所构成的集合记为 S S S,设 Φ = ξ 1 , ⋯   , ξ s \Phi=\xi_1,\cdots,\xi_s Φ=ξ1,⋯,ξs是S的一个极大无关组, R ( A ) = r , s = n − r R(A)=r,s=n-r R(A)=r,s=n−r

• 通解 :最大无关组 Φ \Phi Φ的任意向量 x = Φ ( k 1 , ⋯   , k s ) T = ∑ i = 1 s k i ξ i x=\Phi(k_1,\cdots,k_s)^T=\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\xi_i x=Φ(k1,⋯,ks)T=i=1∑skiξi性组合都是方程 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解

  • 通解 (是 Φ \Phi Φ的生成子空间)
  • 齐次线性方程组的通解可以描述(表出)方程组的任意一个解

• 齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解集的极大无关组称为该齐次方程组的基础解系 ,要求++齐次线性方程++的通解,只需要求它的基础解系

定理:齐次线性方程组基础解系存在定理

• 若 R ( A ) = n R(A)=n R(A)=n,方程 ( 2 ) (2) (2)只有唯一解零解,不存在基础解系
• 若 R ( A ) < n R(A)<n R(A)<n,方程 ( 2 ) (2) (2)存在非零解(无穷多解),一定存在基础解系

齐次线性方程组的基础解系包含的向量个数(秩)👺

• 方程组解集的秩 R ( S ) R(S) R(S),即基础解系的秩的性质是十分有用的性质
• 揭示了方程(2)系数矩阵的秩 R ( A ) R(\bold{A}) R(A),解集的秩 R ( S ) R(S) R(S)与未知数(元)个数 n n n的关系
• 若方程(2)存在基础解系 A 0 A_0 A0,则包含的向量的个数为 n − r n-r n−r,即方程(2)的解集 S S S的秩为 R s = n − r R_s=n-r Rs=n−r,或者作 R ( A ) + R ( S ) = n R(A)+R(S)=n R(A)+R(S)=n
• 另一种描述:设 m × n m\times{n} m×n的矩阵 A \bold{A} A的秩为 R ( A ) = r R(\bold{A})=r R(A)=r,则 n n n元齐次线性方程组 A x = 0 \bold{Ax=0} Ax=0的解集 S S S的秩 R s = n − r R_{s}=n-r Rs=n−r
• 同时 n − r n-r n−r是方程(2)的通解中包含的自由未知数的个数;非自由未知数的个数则是系数矩阵的秩 r = R ( A ) r=R(\bold{A}) r=R(A)

应用和示例

推论1

• 设 A m × n B n × l = O \bold{A}{m\times{n}}\bold{B}{n\times{l}}=O Am×nBn×l=O,则 R ( A ) + R ( B ) ⩽ n R(\bold{A})+R(\bold{B})\leqslant{n} R(A)+R(B)⩽n
  • 令 A = ( a 1 , ⋯   , a n ) \bold{A}=(\bold{a}{1},\cdots,\bold{a}{n}) A=(a1,⋯,an); B = ( b 1 , ⋯   , b l ) \bold{B}=(\bold{b}{1},\cdots,\bold{b}{l}) B=(b1,⋯,bl), A , B A,B A,B分别表示 A , B \bold{A,B} A,B列向量组
  • 矩阵方程 A B = O \bold{AB=O} AB=O等价于向量方程组: A ( b 1 , ⋯   , b l ) = 0 \bold{A}(\bold{b}{1},\cdots,\bold{b}{l})=\bold{0} A(b1,⋯,bl)=0,即
    • A b i = 0 \bold{A}\bold{b}_i=\bold{0} Abi=0, i = 1 , ⋯   , l i=1,\cdots,l i=1,⋯,l
  • 可以看出 b i \bold{b}_i bi都是方程 A x = 0 \bold{Ax=0} Ax=0的解
  • 设 A x = 0 \bold{Ax=0} Ax=0的解集为 S S S,则 b i ∈ S \bold{b}_i\in{S} bi∈S,说明 B B B是 S S S的部分组,所以 R ( B ) ⩽ R ( S ) R(B)\leqslant{R(S)} R(B)⩽R(S)
  • 而 R ( S ) = n − R ( A ) R(S)=n-R(A) R(S)=n−R(A),所以 R ( B ) ⩽ n − R ( A ) R(B)\leqslant{n-R(A)} R(B)⩽n−R(A)
  • 所以 R ( A ) + R ( B ) ⩽ n R(\bold{A})+R(\bold{B})\leqslant{n} R(A)+R(B)⩽n

推论2

• 设 n n n元齐次线性方程组 A x = 0 \bold{Ax=0} Ax=0与 B x = 0 \bold{Bx=0} Bx=0通解,则 R ( A ) R(\bold{A}) R(A)= R ( B ) R(\bold{B}) R(B)
  • 分别设两个方程组的解集为 S 1 , S 2 S_1,S_2 S1,S2,则 S 1 = S 2 S_1=S_2 S1=S2
  • 则 R ( A ) = n − R ( S 1 ) R(\bold A)=n-R(S_1) R(A)=n−R(S1); R ( B ) = n − R ( S 2 ) R(\bold B)=n-R(S_2) R(B)=n−R(S2)
  • 又 R ( S 1 ) = R ( S 2 ) R(S_1)=R(S_2) R(S1)=R(S2),所以 R ( A ) R(\bold{A}) R(A)= R ( B ) R(\bold{B}) R(B)
• 这表明,当 A , B \bold{A,B} A,B的列数相同,(方程 A x = 0 , B x = 0 \bold{Ax=0},\bold{Bx=0} Ax=0,Bx=0包含数量相同的未知数)时
• 欲证 R ( A ) = R ( B ) R(\bold{A})=R(\bold{B}) R(A)=R(B),可以转换为证若 A x = 0 , B x = 0 \bold{Ax=0},\bold{Bx=0} Ax=0,Bx=0两个方程组同解

推论3:转置矩阵对的乘积秩的性质

• R ( A T A ) R(\bold{A^{T}{A}}) R(ATA)= R ( A ) R(\bold A) R(A)
• 证明:设 A \bold{A} A是 m × n m\times{n} m×n的令 B = A T A \bold{B=A^T{A}} B=ATA,显然 B \bold{B} B是 n × n n\times{n} n×n的
  • 由此可见, A , B \bold{A,B} A,B有相同的列数
  • 若 x \bold{x} x满足 A x = 0 \bold{Ax=0} Ax=0,则 A T ( A x ) = 0 \bold{A^T{(Ax)=0}} AT(Ax)=0也成立,由结合律: B x = 0 \bold{Bx=0} Bx=0
  • 若 x \bold{x} x满足 B x = 0 \bold{Bx=0} Bx=0( n × 1 n\times{1} n×1),对其两边取转置运算, x T B T = 0 \bold{x^{T}B^{T}}=\bold{0} xTBT=0( 1 × n 1\times{n} 1×n),即 x T A T A = 0 \bold{x^{T}A^{T}A=0} xTATA=0( 1 × n 1\times{n} 1×n),再对两边同时右乘以 x \bold{x} x( n × 1 n\times{1} n×1),得 ( x T A T ) ( A x ) = 0 \bold{(x^{T}A^{T})(Ax)=0} (xTAT)(Ax)=0,即 ( A x ) T ( A x ) = 0 \bold{(Ax)^T(Ax)=0} (Ax)T(Ax)=0,由 X T X = O ⇒ X = O \bold{X^T{X}=O}\Rightarrow{\bold{X=O}} XTX=O⇒X=O可知, A x = 0 \bold{Ax=0} Ax=0
  • 可见 A x = 0 , B x = 0 \bold{Ax=0},\bold{Bx=0} Ax=0,Bx=0同解,由推论2, R ( A ) = R ( B ) R(\bold{A})=R(\bold{B}) R(A)=R(B),所以结论成立

非自由未知数的选取方法(最左方法)

• 若方程 ( 2 ) (2) (2)的秩 R ( A ) = r < n R(A)=r<n R(A)=r<n,将前 r r r个未知数 x 1 , ⋯   , x r x_1,\cdots,x_r x1,⋯,xr作为非自由变量;其余 n − r n-r n−r个 x r + 1 , ⋯   , x n x_{r+1},\cdots,x_{n} xr+1,⋯,xn作为自由变量
• 种方式选择非自由变量和自由变量的方法是最常用的,称为最左方法

基础解系和通解形式的不唯一性

• 当 R ( A ) = r < n R(A)=r<n R(A)=r<n时,方程 ( 2 ) (2) (2)的基础解系包含 n − r n-r n−r个向量,因此任意 n − r n-r n−r个线性无关解向量都是 ( 2 ) (2) (2)的基础解系
• 即方程 ( 2 ) (2) (2)的基础解系不唯一,其通解形式也不唯一

证明

分析

• 方程 ( 2 ) (2) (2)的系数矩阵 A \bold{A} A通过初等变换(通解初等变换)可以得到如下形式的强化行最简形矩阵

  • B = ( 1 0 ⋯ 0 c 1 , 1 ⋯ c 1 , n − r 0 1 ⋯ 0 c 2 , 1 ⋯ c 2 , n − r ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 c r , 1 ⋯ c r , n − r 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ) = ( E r C O O ) B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & c_{1,1} & \cdots & c_{1,n-r} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & c_{2,1} & \cdots & c_{2,n-r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & c_{r,1} & \cdots & c_{r,n-r}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} E_r&C\\ O&O \end{pmatrix} B= 10⋮00⋮001⋮00⋮0⋯⋯⋯⋯⋯00⋮10⋮0c1,1c2,1⋮cr,10⋮0⋯⋯⋯⋯⋯c1,n−rc2,n−r⋮cr,n−r0⋮0 =(ErOCO)

  • 按最左方法,其反映的是 x 1 , ⋯   , x r x_1,\cdots,x_r x1,⋯,xr是非自由未知数时, x r + 1 , ⋯   , x n x_{r+1},\cdots,x_{n} xr+1,⋯,xn是自由未知数(共 s = n − r s=n-r s=n−r个)

  • 其中 s s s描述了方程组 ( 2 ) (2) (2)的自由度(基础解系包含的线性无关向量的多样性)

  • 非自由未知数用自由未知数表示为式(1):

    • x i = − ∑ k = 1 s c i , k × x r + k ; ( i = 1 , 2 , ⋯   , r ) x_i=-\sum\limits_{k=1}^{s} c_{i,k}\times x_{r+k}; (i=1,2,\cdots,r) xi=−k=1∑sci,k×xr+k;(i=1,2,⋯,r)

    • ξ = ( x 1 ⋮ x r x r + 1 ⋮ x n ) = ( − ∑ i = 1 s c 1 , i × x r + i ⋮ − ∑ i = 1 s c r , i × x r + i x r + 1 ⋮ x n ) \xi=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ x_{r+1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\sum\limits_{i=1}^{s} c_{1,i}\times x_{r+i} \\ \vdots \\ -\sum\limits_{i=1}^{s} c_{r,i}\times x_{r+i} \\ x_{r+1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} ξ= x1⋮xrxr+1⋮xn = −i=1∑sc1,i×xr+i⋮−i=1∑scr,i×xr+ixr+1⋮xn

  • 设方程 ( 2 ) (2) (2)的全部解的集合为 S S S

证法1

齐次线性方程的基础解系构造

• ( 2 ) (2) (2)的解是 n n n维向量,分两部分,前 r r r为非自由未知数,后 s s s维为自由未知数

  • 设计特解时,先选定后 s s s维

    • 为了简单方便起见,通常取解向量的后s维为单位坐标向量(向量中只含有一个0,1两种元素,且只有一个元素是1)

    • q i = ( x r + 1 ⋮ x n ) q 1 = ( 1 0 ⋮ 0 ) ; q 2 = ( 0 1 ⋮ 0 ) ; ⋯   ; q s = ( 0 0 ⋮ 1 ) q_i=\begin{pmatrix} x_{r+1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} \\ q_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; q_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; \cdots; q_s=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ \vdots \\ 1 \\ \end{pmatrix} qi= xr+1⋮xn q1= 10⋮0 ;q2= 01⋮0 ;⋯;qs= 00⋮1

  • 计算前 r r r维(将 q i , i = 1 , 2 , ⋯   , s q_i,i=1,2,\cdots,s qi,i=1,2,⋯,s代入式(1))

    • p i = ( x 1 ⋮ x r ) p_i=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ \end{pmatrix} pi= x1⋮xr

    • p 1 = ( − c 1 , 1 − c 2 , 1 ⋯ − c r , 1 ) ; p 2 = ( − c 1 , 2 − c 2 , 2 ⋯ − c r , 2 ) ; ⋯   ; p s = ( − c 1 , n − r − c 2 , n − r ⋯ − c r , n − r ) p_1=\begin{pmatrix} -c_{1,1}\\ -c_{2,1}\\ \cdots\\ -c_{r,1} \end{pmatrix}; p_2=\begin{pmatrix} -c_{1,2}\\ -c_{2,2}\\ \cdots\\ -c_{r,2} \end{pmatrix}; \cdots; p_s=\begin{pmatrix} -c_{1,n-r}\\ -c_{2,n-r}\\ \cdots\\ -c_{r,n-r} \end{pmatrix} p1= −c1,1−c2,1⋯−cr,1 ;p2= −c1,2−c2,2⋯−cr,2 ;⋯;ps= −c1,n−r−c2,n−r⋯−cr,n−r

  • ξ = ( p q ) \xi=\begin{pmatrix} p\\q \end{pmatrix} ξ=(pq)

    ξ 1 = ( − c 1 , 1 − c 2 , 1 ⋯ − c r , 1 1 0 ⋮ 0 ) ; ξ 2 = ( − c 1 , 2 − c 2 , 2 ⋯ − c r , 2 0 1 ⋮ 0 ) ; ⋯   ; ξ s = ( − c 1 , n − r − c 2 , n − r ⋯ − c r , n − r 0 0 ⋮ 1 ) ; \xi_1=\begin{pmatrix} -c_{1,1}\\ -c_{2,1}\\ \cdots\\ -c_{r,1}\\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; \xi_2=\begin{pmatrix} -c_{1,2}\\ -c_{2,2}\\ \cdots\\ -c_{r,2} \\ 0\\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; \cdots; \xi_s=\begin{pmatrix} -c_{1,n-r}\\ -c_{2,n-r}\\ \cdots\\ -c_{r,n-r}\\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{pmatrix}; ξ1= −c1,1−c2,1⋯−cr,110⋮0 ;ξ2= −c1,2−c2,2⋯−cr,201⋮0 ;⋯;ξs= −c1,n−r−c2,n−r⋯−cr,n−r00⋮1 ;

证明所构造的向量组是基础解系

• 线性无关性:

  • 方法1:矩阵 D = ( ξ 1 , ⋯   , ξ s ) \bold{D}=(\xi_1,\cdots,\xi_{s}) D=(ξ1,⋯,ξs)中包含 E s \bold{E}{s} Es,且 ∣ E n − r ∣ = s ≠ 0 |\bold{E}{n-r}|=s\neq{0} ∣En−r∣=s=0, R ( D ) = s R(\bold{D})=s R(D)=s所以 D : ξ 1 , ⋯   , ξ s {D}:\xi_1,\cdots,\xi_{s} D:ξ1,⋯,ξs线性无关
  • 方法2:由 ξ i \xi_i ξi的结构可以看出, ξ i \xi_i ξi的后s维是构成的向量之间是线性无关的,而线性无关组的延伸组依然线性无关

• S S S的全部向量可以由 D D D线性表示:

  • 设向量 ξ = ( k 1 , ⋯   , k r , k r + 1 , ⋯   , k n ) \xi=(k_1,\cdots,k_r,k_{r+1},\cdots,k_n) ξ=(k1,⋯,kr,kr+1,⋯,kn)是 S S S的任意一个向量,
    • 构造向量 D D D的线性组合: ξ ∗ = ∑ i = 1 s k r + i ξ i \xi^*=\sum\limits_{i=1}^{s}k_{r+i}\xi_i ξ∗=i=1∑skr+iξi则 ξ ∗ \xi^* ξ∗也是方程 ( 2 ) (2) (2)的通解 ,并且表出系数来自需要被 D D D线性表示的向量 ξ \xi ξ的第 r + 1 , ⋯   , n r+1,\cdots,n r+1,⋯,n个元
    • 容易发现, ξ ∗ \xi^{*} ξ∗和 ξ \xi ξ在第 r + 1 , ⋯   , n r+1,\cdots,n r+1,⋯,n维是相同的
    • 又根据前面的分析以及式(1),方程 ( 2 ) (2) (2)的解向量包括非自由变量和自由变量,其中非自由变量取决于自由变量的取值,所以非自由变量完全确定了整个解向量(若两个解向量的非自由未知数一样,则两个解向量相等)
    • 所以 ξ ∗ = ξ \xi^*=\xi ξ∗=ξ,即任意解向量都能由 ξ ∗ \xi^* ξ∗(即 D D D的线性组合)表示
    • 所以 S S S的全部向量可以由 D D D线性表示

• 所以 D D D是 S S S的极大无关组,所以 D D D方程 ( 2 ) (2) (2)的基础解系

证法2

• 令自由未知量 x r + i x_{r+i} xr+i分别取 k i k_i ki, i = 1 , 2 , ⋯   , s i=1,2,\cdots,s i=1,2,⋯,s;代入式 ( 1 ) (1) (1);则方程 ( 2 ) (2) (2)的通解表示为
  ξ = ( x 1 ⋮ x r x r + 1 ⋮ x n ) = ( x 1 ⋮ x r k 1 ⋮ k s ) = ( − ∑ i = 1 s c 1 , i × k i ⋮ − ∑ i = 1 s c r , i × k i k 1 ⋮ k s ) = k 1 ( − c 1 , 1 ⋮ − c r , 1 1 ⋮ 0 ) + ⋯ + k s ( − c 1 , s ⋮ − c r , s 0 ⋮ 1 ) \xi=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ x_{r+1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ k_{1} \\ \vdots \\ k_{s} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\sum\limits_{i=1}^{s} c_{1,i}\times k_{i} \\ \vdots \\ -\sum\limits_{i=1}^{s} c_{r,i}\times k_{i} \\ k_{1} \\ \vdots \\ k_{s} \\ \end{pmatrix} =k_1\begin{pmatrix} -c_{1,1} \\ \vdots \\ -c_{r,1} \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} +\cdots +k_s\begin{pmatrix} -c_{1,s} \\ \vdots \\ -c_{r,s} \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{pmatrix} ξ= x1⋮xrxr+1⋮xn = x1⋮xrk1⋮ks = −i=1∑sc1,i×ki⋮−i=1∑scr,i×kik1⋮ks =k1 −c1,1⋮−cr,11⋮0 +⋯+ks −c1,s⋮−cr,s0⋮1

• 将上述通解记为: ξ = ∑ i = 1 s k i ξ i \xi=\sum_{i=1}^{s}k_i\xi_i ξ=∑i=1skiξi,涉及的向量记为向量组: D = ( ξ 1 , ⋯   , ξ s ) \bold{D}=(\xi_1,\cdots,\xi_{s}) D=(ξ1,⋯,ξs)

• 通解 ξ \xi ξ可以表示 S S S中的任意向量

• 而 D D D中后 s s s行构成一个 s s s阶单位阵,其行列式为1(非0),所以 R ( D ) = s R(D)=s R(D)=s所以 D D D线性无关

• 所以 D D D是方程 ( 2 ) (2) (2)的一个基础解系解系

小结

• 上述两种方法一种是先求基础解系再求通解;另一种是先求通解再求基础解系

基础解系构造提要

• 可以从 A x = 0 Ax=0 Ax=0的系数矩阵A通过初等变换转化为(包含r阶单位子阵,r=R(A))的强化行最简矩阵U,

  • r = R ( A ) , s = n − r r=R(A),s=n-r r=R(A),s=n−r

  • U = ( E r × r T r × s 0 t × r 0 t × s ) r + s = n D = ( − T r × s E s × s ) U=\begin{pmatrix} E_{r\times{r}}&T_{r\times{s}}\\ 0_{t\times{r}}&0_{t\times{s}} \end{pmatrix} \\ r+s=n \\ \bold{D}=\begin{pmatrix} -T_{r\times{s}} \\ E_{s\times{s}} \end{pmatrix} U=(Er×r0t×rTr×s0t×s)r+s=nD=(−Tr×sEs×s)

    • D : ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ s D:\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s D:ξ1,ξ2,⋯,ξs是 D \bold{D} D的列向量组

    • D D D就是 A x = 0 \bold{Ax=0} Ax=0的基础解系

  • 我们把注意力集中在分块 P r × s = − T r × s P_{r\times{s}}=-T_{r\times{s}} Pr×s=−Tr×s上即可,在此基础上,追加一个s阶的单位阵;

    • 最终该矩阵的每个列向量就是基础解系的一个解向量成员

• 方法1:不一定要化作强化行最简形矩阵,也可以考虑化为准行最简形矩阵(W)(和强化行最简形矩阵相差若干列交换的调整)

  • 从 W W W中读出 r r r个非自由未知数用 n − r n-r n−r个自由未知数的表达式
  • 取定合适的 n − r n-r n−r个组值(每组值可以来自 n − r n-r n−r阶单位阵的不同列),得到 n − r n-r n−r个解向量作为基础解系
  • 得到通解

• 方法2:将行简化矩阵进一步调整为 U U U的形式可能要做列交换,这会使得解向量中的元素不再和 x 1 , ⋯   , x n x_1,\cdots,x_n x1,⋯,xn一一对应,需要注意这一点,记录列交换的情况,然后调整顺序使之对应 x 1 , ⋯   , x n x_1,\cdots,x_n x1,⋯,xn

例

• 设 A x = 0 \bold{Ax=0} Ax=0:

  • A = ( 1 1 − 1 − 1 2 − 5 3 2 7 − 7 3 1 ) ∼ r ( 1 0 − 2 7 − 3 7 0 1 − 5 7 − 4 7 0 0 0 0 ) \bold{A} =\begin{pmatrix} 1&1&-1&-1\\ 2&-5&3&2\\ 7&-7&3&1 \end{pmatrix} \overset{r}{\sim} \begin{pmatrix} 1&0&-\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\ 0&1&-\frac{5}{7}&-\frac{4}{7}\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} A= 1271−5−7−133−121 ∼r 100010−72−750−73−740

  • R ( A ) = 2 < 4 R(A)=2<4 R(A)=2<4方程有无穷多解,其基础解系 S 0 S_0 S0存在且 R ( S 0 ) = n − r = 4 − 2 = 2 R(S_0)=n-r=4-2=2 R(S0)=n−r=4−2=2

  • 令 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2为非自由未知数, x 3 , x 4 x_3,x_4 x3,x4为自由未知数

  • x 1 = 2 7 x 3 + 3 4 x 4 x 2 = 5 7 x 3 + 4 7 x 4 x_1=\frac{2}{7}x_3+\frac{3}{4}x_4\\ x_2=\frac{5}{7}x_3+\frac{4}{7}x_4 x1=72x3+43x4x2=75x3+74x4

• 基础解系

  • 令取2组自由未知数的取值: q 1 q_1 q1= ( 1 0 ) \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} (10), q 2 q_2 q2= ( 0 1 ) \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} (01),则对应的非自由未知数向量: p 1 p_1 p1= ( 2 7 5 7 ) \begin{pmatrix}\frac{2}{7}\\\frac{5}{7}\end{pmatrix} (7275), q 2 q_2 q2= ( 3 7 4 7 ) \begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\\frac{4}{7}\end{pmatrix} (7374)
  • 即得方程组得解集中的两个线性无关的特解 ξ 1 = ( 2 7 5 7 1 0 ) \xi_1=\begin{pmatrix}\frac{2}{7}\\\frac{5}{7}\\1\\0\end{pmatrix} ξ1= 727510 ; ξ 2 = ( 3 7 4 7 0 1 ) \xi_2=\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\\frac{4}{7}\\0\\1\end{pmatrix} ξ2= 737401
  • (Note:如果用构造提要一节中,可以直接得出 ξ 1 , ξ 2 \xi_1,\xi_2 ξ1,ξ2)

• 通解

  • ξ = ∑ i = 1 2 k i ξ i \xi=\sum_{i=1}^{2}k_i\xi_i ξ=∑i=12kiξi,其中 k i ∈ R k_i\in\mathbb{R} ki∈R

补充

• 结合上面的例子讨论

再给出一组上述基础解系之外的其他基础解系

• 例如
  • q 1 q_1 q1= ( 1 1 ) \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} (11), q 2 q_2 q2= ( 1 − 1 ) \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} (1−1), q 1 , q 2 q_1,q_2 q1,q2线性无关(不成比例)
  • η 1 = ( 5 7 7 9 1 1 ) \eta_1=\begin{pmatrix}\frac{5}{7}\\\frac{7}{9}\\1\\1\end{pmatrix} η1= 759711 ; η 2 = ( − 1 7 1 7 1 − 1 ) \eta_2=\begin{pmatrix}-\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}\\1\\-1\end{pmatrix} η2= −71711−1
  • 则 η 1 , η 2 \eta_1,\eta_2 η1,η2与 ξ 1 , ξ 2 \xi_1,\xi_2 ξ1,ξ2同为 S S S的极大无关组,都是方程组的基础解系

非最左方法选取非自由变量

• 非自由变量的选取不按最左方法时,求解基础解系的过程相较于上节讨论的"标准过程"会有所不同

  • 例如 x 1 x_1 x1若按最左方法会被归为非自由未知数,但是这假设 x 1 x_1 x1被作为自由未知数

    • 相应的,需要有其他未知数 x j , j ≠ 1 x_j,j\neq{1} xj,j=1代替原 x 1 x_1 x1作为非自由未知数
    • 在标准过程中,行最简形矩阵的第1列是 e 1 = ( 1 , 0 , ⋯   , 0 ) T \bold{e}_1=(1,0,\cdots,0)^T e1=(1,0,⋯,0)T
    • 在这里利用行变换,将 A \bold{A} A的第 j j j列(记为 c j c_j cj,是 x j x_j xj的系数, j ≠ 1 j\neq{1} j=1)变换成 e 1 \bold{e}_1 e1
    • 类似的,共可以选出 n − r n-r n−r个自由未知数设为 x j k x_{j_k} xjk, ( k = 1 , ⋯   , n − r ) (k=1,\cdots,n-r) (k=1,⋯,n−r),需要通过初等行变换,将 A \bold{A} A中的其他 r r r个非自由未知数分别转换为 e i \bold{e}{i} ei( e i \bold{e}{i} ei表示 n n n维单位坐标向量中第 i i i维是1的列向量, j k j_k jk之间互不相等)
    • 此时的矩阵虽然不是行最简形矩阵,(这类矩阵不是唯一的),其具有和行最简形矩阵相同的作用,称其为准行最简形矩阵 都能够利用 r r r个 n n n维单位坐标向量读出 n − r n-r n−r个自由未知数表示 r r r个非自由未知数的表出系数

  • 本例中,我们打算将 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2作为自由未知数来表示非自由未知数 x 3 , x 4 x_3,x_4 x3,x4,

    • A = ( 1 1 − 1 − 1 2 − 5 3 2 7 − 7 3 1 ) ∼ r ( − 5 2 0 1 4 − 3 1 0 0 0 0 0 ) \bold{A} =\begin{pmatrix} 1&1&-1&-1\\ 2&-5&3&2\\ 7&-7&3&1 \end{pmatrix} \overset{r}{\sim} \begin{pmatrix} -5&2&0&1\\ 4&-3&1&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} A= 1271−5−7−133−121 ∼r −5402−30010100

    • 类似的,可以看出 x 3 = − 4 x 1 + 3 x 2 x_3=-4x_1+3x_2 x3=−4x1+3x2; x 4 = 5 x 1 − 2 x 2 x_4=5x_1-2x_2 x4=5x1−2x2, x 1 , x 2 ∈ R x_1,x_2\in\mathbb{R} x1,x2∈R

    • 此时基础解系可以取

      • ξ 1 = ( 1 0 − 4 5 ) ; ξ 2 = ( 0 1 3 − 2 ) \xi_1=\begin{pmatrix} 1\\0\\-4\\5 \end{pmatrix}; \xi_2=\begin{pmatrix} 0\\1\\3\\-2 \end{pmatrix} ξ1= 10−45 ;ξ2= 013−2

      • 通解为 ξ = ∑ i = 1 2 k i ξ i \xi=\sum_{i=1}^{2}k_i\xi_i ξ=∑i=12kiξi

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