21.
p=[2−5]\mathbf{p} = \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \end{bmatrix}p=[2−5], q=[−31]\mathbf{q} = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix}q=[−31]
解答 ：
直线 MMM 过点 p\mathbf{p}p 且平行于 q−p\mathbf{q} - \mathbf{p}q−p。
先求方向向量：
q−p=[−31]−[2−5]=[−56] \mathbf{q} - \mathbf{p} = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ 6 \end{bmatrix} q−p=[−31]−[2−5]=[−56]
结论 ：
直线 MMM 的参数方程为 x=[2−5]+t[−56]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -5 \\ 6 \end{bmatrix}x=[2−5]+t[−56]，t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R。
22.
p=[−63]\mathbf{p} = \begin{bmatrix} -6 \\ 3 \end{bmatrix}p=[−63], q=[1−4]\mathbf{q} = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \end{bmatrix}q=[1−4]
解答 ：
直线 MMM 过点 p\mathbf{p}p 且平行于 q−p\mathbf{q} - \mathbf{p}q−p。
先求方向向量：
q−p=[1−4]−[−63]=[7−7] \mathbf{q} - \mathbf{p} = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -6 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -7 \end{bmatrix} q−p=[1−4]−[−63]=[7−7]
结论 ：
直线 MMM 的参数方程为 x=[−63]+t[7−7]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -6 \\ 3 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 7 \\ -7 \end{bmatrix}x=[−63]+t[7−7]，t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R。
23.
a. 齐次方程总是相容的。
b. 齐次方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 给出它的解集的显式表达式。
c. 齐次方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 当且仅当方程至少有一个自由变量时有平凡解。
d. 方程 x=p+tv\mathbf{x} = \mathbf{p} + t\mathbf{v}x=p+tv 描述了一条直线，它通过 v\mathbf{v}v 且平行于 p\mathbf{p}p。
e. 方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的解集是所有形如 w=p+vs\mathbf{w} = \mathbf{p} + \mathbf{v}_sw=p+vs 的向量的集，其中 vs\mathbf{v}_svs 是方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的任意解。
解答 ：
a. 真 。齐次方程总有零解 x=0\mathbf{x} = \mathbf{0}x=0，因此总是相容的。
b. 假 。Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 给出的是隐式 描述，参数向量形式才是显式表达。
c. 假 。齐次方程总有平凡解，有自由变量时有非平凡解 （无穷多解）。
d. 假 。直线通过 p\mathbf{p}p 且平行于 v\mathbf{v}v，方向与点的位置搞反了。
e. 假 。只有当方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 有解（即相容）时，此结论才成立。
24.
a. 若 x\mathbf{x}x 是 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的非平凡解，则 x\mathbf{x}x 的每个元素不等于零。
b. 方程 x=x2u+x3vx=x_2u+x_3vx=x2u+x3v ，x2,x3x_2,x_3x2,x3 是自由变量，（u\mathbf{u}u 和 v\mathbf{v}v 没有倍数关系），表示经过原点的平面。
c. 方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 是齐次的当且仅当零向量是它的解。
d. 把一个向量加上 p\mathbf{p}p 就是把该向量沿平行于 p\mathbf{p}p 的方向移动。
e. 方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的解集可由平移 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的解集得到。
解答 ：
a. 假 。非平凡解只需至少一个元素非零，不要求所有元素都非零（如 [10]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}[10] 是 x1=0x_1 = 0x1=0 的非平凡解）。
b. 真 。因为 u 和 v 线性无关，它们张成一个二维子空间，在 R3 中即为过原点的平面。
c. 真 。齐次方程定义就是 b=0b=0b=0，且零向量总是解；反之若零向量是 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的解，则 b=A0=0b = A\mathbf{0} = \mathbf{0}b=A0=0。
d. 假 。把向量 v\mathbf{v}v 加上 p\mathbf{p}p 是将 v\mathbf{v}v 沿平行于 p\mathbf{p}p 的方向移动，但表述不准确，应为"把向量 v\mathbf{v}v 平移 p\mathbf{p}p"。
e. 假 。只有当 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 相容（有解）时才能这样表示，否则解集为空，无法平移。
25.
证明定理 6 的第二部分：假设 w\mathbf{w}w 是 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的任意解。定义 vs=w−p\mathbf{v}_s = \mathbf{w} - \mathbf{p}vs=w−p。证明 vs\mathbf{v}_svs 是 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的一个解。
解答 ：
已知：
- w\mathbf{w}w 是 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的任意解 ⇒Aw=b\Rightarrow A\mathbf{w} = \mathbf{b}⇒Aw=b
- p\mathbf{p}p 是 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的特解 ⇒Ap=b\Rightarrow A\mathbf{p} = \mathbf{b}⇒Ap=b
令 vs=w−p\mathbf{v}_s = \mathbf{w} - \mathbf{p}vs=w−p，则：
Avs=A(w−p)=Aw−Ap=b−b=0 A\mathbf{v}_s = A(\mathbf{w} - \mathbf{p}) = A\mathbf{w} - A\mathbf{p} = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0} Avs=A(w−p)=Aw−Ap=b−b=0
因此 vs\mathbf{v}_svs 满足 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0，是齐次方程的解。
这说明 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的任何解 w\mathbf{w}w 都可以表示为 w=p+vs\mathbf{w} = \mathbf{p} + \mathbf{v}_sw=p+vs，其中 vs\mathbf{v}_svs 是 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的解。
结论 ：
定理 6 第二部分得证：非齐次方程的解集 = 特解 + 齐次方程的解集。
26.
设 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 有解，说明为什么当 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 仅有平凡解时，Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的解是唯一的。
解答 ：
方法一（利用定理 6） ：
若 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 只有平凡解 vs=0\mathbf{v}_s = \mathbf{0}vs=0，则非齐次方程的解集为 {p+0}={p}\{\mathbf{p} + \mathbf{0}\} = \{\mathbf{p}\}{p+0}={p}，即唯一解。
方法二（利用自由变量） ：
Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 仅有平凡解 ⇔\Leftrightarrow⇔ AAA 的每一列都是主元列 ⇔\Leftrightarrow⇔ 方程组无自由变量。
因此 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 也没有自由变量，解唯一。
结论 ：
当齐次方程只有平凡解时，系数矩阵 AAA 的列向量线性无关，非齐次方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 若有解则必唯一。
27.
设 AAA 是 3×33 \times 33×3 零矩阵（所有元素都是零），求方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的解集。
解答 ：
零矩阵 A=0A = \mathbf{0}A=0，则 Ax=0x=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0x=0 对任意 x∈R3\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3x∈R3 成立。
结论 ：
解集是整个 R3\mathbb{R}^3R3，即所有三维向量都是解。
28.
若 b≠0\mathbf{b} \neq \mathbf{0}b=0，方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的解集是否可能是通过原点的平面？说明理由。
解答 ：
不可能。理由如下：
-
若解集是通过原点的平面，则 0\mathbf{0}0 是解，即 A0=bA\mathbf{0} = \mathbf{b}A0=b，这推出 b=0\mathbf{b} = \mathbf{0}b=0，与 b≠0\mathbf{b} \neq \mathbf{0}b=0 矛盾。
-
根据定理 6，当 b≠0\mathbf{b} \neq \mathbf{0}b=0 时，Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的解集（若非空）是齐次方程解集的平移，不经过原点（除非齐次解集为空，但齐次方程总有零解）。
结论 ：
当 b≠0\mathbf{b} \neq \mathbf{0}b=0 时，Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的解集不可能是过原点的平面（若解集是平面，则必不过原点）。
29. (a) 方程 Ax=0Ax = 0Ax=0 是否有非平凡解？(b) 方程 Ax=bAx = bAx=b 是否对每个 bbb 都至少有一个解？
AAA 是 3×33 \times 33×3 矩阵，有 3 个主元位置。
解答 ：
a. 对 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 ：
3 个主元位置意味着 3 个基本变量，0 个自由变量。因此只有平凡解 x=0\mathbf{x} = \mathbf{0}x=0，无非平凡解。
b. 对 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b ：
3 个主元位置意味着 AAA 的每一行都有主元。根据定理 4，对任意 b∈R3\mathbf{b} \in \mathbb{R}^3b∈R3，方程都有解。解唯一（因为无自由变量）。
结论 ：
a. 无非平凡解；b. 对所有 b\mathbf{b}b 都有唯一解。
30. (a) 方程 Ax=0Ax = 0Ax=0 是否有非平凡解？(b) 方程 Ax=bAx = bAx=b 是否对每个 bbb 都至少有一个解？
AAA 是 3×33 \times 33×3 矩阵，有 2 个主元位置。
解答 ：
a. 对 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 ：
2 个主元位置意味着 2 个基本变量，1 个自由变量。因此有非平凡解（无穷多解）。
b. 对 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b ：
2 个主元位置意味着 AAA 的某一行无主元。根据定理 4，存在某些 b∈R3\mathbf{b} \in \mathbb{R}^3b∈R3 使方程无解。对于使方程有解的 b\mathbf{b}b，解有无穷多个（因为有 1 个自由变量）。
结论 ：
a. 有非平凡解；b. 不能对所有 b\mathbf{b}b 都有解，有解时解不唯一。
31.
AAA 是 3×23 \times 23×2 矩阵，有 2 个主元位置。
解答 ：
a. 对 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 ：
2 个主元位置意味着 2 个基本变量，0 个自由变量（AAA 有 2 列）。因此只有平凡解，无非平凡解。
b. 对 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b ：
2 个主元位置但 AAA 有 3 行，至少有一行无主元。因此不能对所有 b∈R3\mathbf{b} \in \mathbb{R}^3b∈R3 都有解。当方程有解时，解唯一（因为无自由变量）。
结论 ：
a. 无非平凡解；b. 不能对所有 b\mathbf{b}b 都有解，有解时解唯一。
32.
AAA 是 2×42 \times 42×4 矩阵，有 2 个主元位置。
解答 ：
a. 对 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 ：
2 个主元位置意味着 2 个基本变量，2 个自由变量（AAA 有 4 列）。因此有非平凡解（无穷多解）。
b. 对 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b ：
2 个主元位置意味着 AAA 的每一行都有主元（只有 2 行）。因此对所有 b∈R2\mathbf{b} \in \mathbb{R}^2b∈R2 方程都有解。由于有 2 个自由变量，解有无穷多个。
结论 ：
a. 有非平凡解；b. 对所有 b\mathbf{b}b 都有无穷多解。
33.
给定 A=[−2−6721−3−9]A = \begin{bmatrix} -2 & -6 \\ 7 & 21 \\ -3 & -9 \end{bmatrix}A= −27−3−621−9 ，用观察法求 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的一个非平凡解。
解答 ：
观察矩阵列向量关系：第二列是第一列的 3 倍，即 a2=3a1a_2 = 3a_1a2=3a1。
因此有 a1−13a2=0a_1 - \frac{1}{3}a_2 = \mathbf{0}a1−31a2=0，等价于 3a1−a2=03a_1 - a_2 = \mathbf{0}3a1−a2=0。
结论 ：
非平凡解为 x=[3−1]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}x=[3−1]（或任何非零倍数，如 [−31]\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix}[−31]）。
34.
给定 A=[4−6−8126−9]A = \begin{bmatrix} 4 & -6 \\ -8 & 12 \\ 6 & -9 \end{bmatrix}A= 4−86−612−9 ，用观察法求 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的一个非平凡解。
解答 ：
观察矩阵列向量关系：第二列是第一列的 −32-\frac{3}{2}−23 倍，即 a2=−32a1a_2 = -\frac{3}{2}a_1a2=−23a1。
因此有 3a1+2a2=03a_1 + 2a_2 = \mathbf{0}3a1+2a2=0。
结论 ：
非平凡解为 x=[32]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}x=[32]。
35.
构造一个 3×33 \times 33×3 非零矩阵 AAA，使向量 [111]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} 111 是 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的一个解。
解答 ：
需要构造 AAA 使得 A[111]=0A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \mathbf{0}A 111 =0，即每行元素之和为零。
简单构造 ：
令每行元素之和为 0，例如：
A=[11−21−21−211] A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix} A= 11−21−21−211
验证：
11−21−21−211\]\[111\]=\[1+1−21−2+1−2+1+1\]=\[000\] \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \& -2 \\\\ 1 \& -2 \& 1 \\\\ -2 \& 1 \& 1 \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1+1-2 \\\\ 1-2+1 \\\\ -2+1+1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} 11−21−21−211 111 = 1+1−21−2+1−2+1+1 = 000 **结论** ： 一个满足条件的矩阵为 A=\[11−21−21−211\]A = \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \& -2 \\\\ 1 \& -2 \& 1 \\\\ -2 \& 1 \& 1 \\end{bmatrix}A= 11−21−21−211 （答案不唯一）。 *** ** * ** *** > **36.** > > 构造一个 3×33 \\times 33×3 非零矩阵 AAA，使向量 \[1−21\]\\begin{bmatrix} 1 \\\\ -2 \\\\ 1 \\end{bmatrix} 1−21 是 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 的一个解。 **解答** ： 需要构造 AAA 使得 A\[1−21\]=0A\\begin{bmatrix} 1 \\\\ -2 \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\mathbf{0}A 1−21 =0，即每行满足 ai1−2ai2+ai3=0a_{i1} - 2a_{i2} + a_{i3} = 0ai1−2ai2+ai3=0。 **简单构造** ： 令每行满足该关系，例如： * 第1行：取 a11=1,a12=1a_{11}=1, a_{12}=1a11=1,a12=1，则 a13=1a_{13}=1a13=1 * 第2行：取 a21=1,a22=0a_{21}=1, a_{22}=0a21=1,a22=0，则 a23=−1a_{23}=-1a23=−1 * 第3行：取 a31=0,a32=1a_{31}=0, a_{32}=1a31=0,a32=1，则 a33=2a_{33}=2a33=2 得到： A=\[11110−1012\] A = \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \& 1 \\\\ 1 \& 0 \& -1 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \\end{bmatrix} A= 1101011−12 验证： \[11110−1012\]\[1−21\]=\[1−2+11+0−10−2+2\]=\[000\] \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \& 1 \\\\ 1 \& 0 \& -1 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} 1 \\\\ -2 \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1-2+1 \\\\ 1+0-1 \\\\ 0-2+2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} 1101011−12 1−21 = 1−2+11+0−10−2+2 = 000 **结论** ： 一个满足条件的矩阵为 A=\[11110−1012\]A = \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \& 1 \\\\ 1 \& 0 \& -1 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \\end{bmatrix}A= 1101011−12 （答案不唯一）。 *** ** * ** *** > **37.** > > 构造一个 2×22 \\times 22×2 矩阵 AAA，使方程 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 的解集是一条经过点 (4,1)(4,1)(4,1) 和原点的 R2\\mathbb{R}\^2R2 中的直线。随后，在 R2\\mathbb{R}\^2R2 中找一向量 b\\mathbf{b}b 使 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b 的解集不是 R2\\mathbb{R}\^2R2 中平行于 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 的解集的直线。为什么这与定理 6 没有矛盾？ **解答**： **步骤 1：构造矩阵 AAA** 要使 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 的解集是过原点 (0,0)(0,0)(0,0) 和点 (4,1)(4,1)(4,1) 的直线，该直线的方向向量必为 v=\[41\]\\mathbf{v} = \\begin{bmatrix} 4 \\\\ 1 \\end{bmatrix}v=\[41
这意味着所有满足 x=tv\mathbf{x} = t\mathbf{v}x=tv（t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R）的向量都必须是 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的解，即 Av=0A\mathbf{v} = \mathbf{0}Av=0。
取最简单矩阵
A=[1−400]A = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}A=[10−40]
验证：
Av=[1−400][41]=[4−40]=[00]A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-4 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}Av=[10−40][41]=[4−40]=[00]
此时 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 等价于 x1−4x2=0x_1 - 4x_2 = 0x1−4x2=0，即 x1=4x2x_1 = 4x_2x1=4x2，解集为
{t[41]:t∈R}\left\{ t\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} : t \in \mathbb{R} \right\}{t[41]:t∈R}
确为所求直线。
步骤 2：找向量 b\mathbf{b}b 使解集不平行
取
b=[01]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}b=[01]
则 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 为
{x1−4x2=00=1 \begin{cases} x_1 - 4x_2 = 0 \\ 0 = 1 \end{cases} {x1−4x2=00=1
第二个方程矛盾，方程组无解 ，解集为空集 ∅\varnothing∅。
空集不是一条直线，更不是平行于 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 解集的直线。
步骤 3：与定理 6 无矛盾的原因
定理 6 的核心结论：
若 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 有解，则其解集可表示为 一个特解 + 齐次方程的解集。
关键前提： "有解"（非空） 。
本题中取 b=[01]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}b=[01] 时，方程组无解，不满足定理 6 的前提条件，因此定理 6 不适用，自然不产生矛盾。
结论：
- A=[1−400]A = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}A=[10−40]
- b=[01]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}b=[01] 时解集为空
- 不矛盾是因为定理 6 仅适用于有解的情况
38.
设 AAA 是 3×33 \times 33×3 矩阵，y\mathbf{y}y 是 R3\mathbb{R}^3R3 中的一个向量，且方程 Ax=yA\mathbf{x} = \mathbf{y}Ax=y 无解。讨论是否存在 R3\mathbb{R}^3R3 中的一个向量 z\mathbf{z}z，使方程 Ax=zA\mathbf{x} = \mathbf{z}Ax=z 有唯一解。
解答 ：
Ax=yA\mathbf{x} = \mathbf{y}Ax=y 无解 ⇒\Rightarrow⇒ AAA 没有主元位于每一行（即至少一行无主元）。
因为 AAA 是 3×33 \times 33×3 矩阵，所以 AAA 最多有 2 个主元位置。
情况分析：
- 若 AAA 有 2 个主元，则有 1 个自由变量。此时对任何使方程有解的 z\mathbf{z}z，解都有无穷多个（不唯一）。
- 若 AAA 有 1 个或 0 个主元，则有 2 或 3 个自由变量，解更不唯一。
结论 ：
不存在 这样的 z\mathbf{z}z。因为 Ax=yA\mathbf{x} = \mathbf{y}Ax=y 无解说明 AAA 的秩小于 3，AAA 必有自由变量，因此任何有解的方程 Ax=zA\mathbf{x} = \mathbf{z}Ax=z 都有无穷多解，不可能有唯一解。
39.
设 AAA 是 3×33 \times 33×3 矩阵，u\mathbf{u}u 是 R3\mathbb{R}^3R3 中满足 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的向量。证明对任一常数 ccc，向量 cuc\mathbf{u}cu 也满足 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的向量。
解答 ：
已知 Au=0A\mathbf{u} = \mathbf{0}Au=0，对任意标量 ccc：
A(cu)=c(Au)（矩阵乘法线性性质） A(c\mathbf{u}) = c(A\mathbf{u}) \quad \text{（矩阵乘法线性性质）} A(cu)=c(Au)（矩阵乘法线性性质）
=c0=0 = c\mathbf{0} = \mathbf{0} =c0=0
结论 ：
对任意常数 ccc，cuc\mathbf{u}cu 也是 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的解。这说明齐次方程的解集对数乘封闭。
40.
设 AAA 是 m×nm \times nm×n 矩阵，u\mathbf{u}u 和 v\mathbf{v}v 是 Rn\mathbb{R}^nRn 中满足 Au=0A\mathbf{u} = \mathbf{0}Au=0 和 Av=0A\mathbf{v} = \mathbf{0}Av=0 的向量。解释为什么 A(u+v)A(\mathbf{u}+\mathbf{v})A(u+v) 一定是零向量，以及对每一对标量 ccc 和 ddd，为什么 A(cv+du)=0A(c\mathbf{v}+d\mathbf{u}) = \mathbf{0}A(cv+du)=0。
解答 ：
性质1（加法封闭性） ：
A(u+v)=Au+Av（矩阵乘法线性性质） A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v} \quad \text{（矩阵乘法线性性质）} A(u+v)=Au+Av（矩阵乘法线性性质）
=0+0=0 = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0} =0+0=0
性质2（线性组合封闭性） ：
对任意标量 c,dc, dc,d：
A(cv+du)=A(cv)+A(du)（分配律） A(c\mathbf{v} + d\mathbf{u}) = A(c\mathbf{v}) + A(d\mathbf{u}) \quad \text{（分配律）} A(cv+du)=A(cv)+A(du)（分配律）
=c(Av)+d(Au)（数乘性质） = c(A\mathbf{v}) + d(A\mathbf{u}) \quad \text{（数乘性质）} =c(Av)+d(Au)（数乘性质）
=c0+d0=0 = c\mathbf{0} + d\mathbf{0} = \mathbf{0} =c0+d0=0
结论 ：
齐次方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的解集对加法和线性组合封闭，构成一个子空间（零空间）。