最近公共祖先 (LCA) 模板

定义

在树中两个节点的最近公共祖先为：两个点的公共祖先里面离根最远的那个。

查询次数较少的情况

可以通过两次 d f s dfs dfs 解决：第一次 d f s dfs dfs 将根节点到其中一个节点的路径上的节点染色，第一次 d f s dfs dfs 遍历到的最后一个染色节点即为最近公共祖先，时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。

查询次数较多的情况

可以通过一遍 d f s dfs dfs 预处理求出各节点 i i i 所在的层数 h [ i ] h[i] h[i]，和倍增数组 p a r par par : p a r [ i ] [ j ] par[i][j] par[i][j] 为与 i i i 距离为 2 j 2^j 2j 的祖先节点。然后设查询的两个节点为 u u u 和 v v v，设 h [ u ] ≥ [ v ] h[u]\ge[v] h[u]≥[v] ，若 h [ u ] > h [ v ] h[u]>h[v] h[u]>h[v] 则先将 u u u 上移至和 v v v 同一层。之后 u u u 和 v v v 处于同一层，此时若 u u u 和 v v v 为同一节点，则 v v v 即为最近公共祖先；否则将 u u u 和 v v v 同时尽可能地上移且保证移动后的 u u u 和 v v v 为不同的节点，无法移动之后 u u u 和 v v v 的父节点即为最近公共祖先。预处理的时间复杂度为 O ( n log n ) O(n\text{log}n) O(nlogn)，单次查询的时间复杂度为 O ( log n ) O(\text{log}n) O(logn)。求 l c a lca lca 的代码如下：

cpp 复制代码

int lca(int p, int q) {//这里用整数代表节点，若存在相同值的节点则用节点指针
    if (h[p] < h[q])
        swap(p, q);
    for (int dis = h[p] - h[q], i = 0; dis; i++, dis >>= 1)
        if (dis & 1)
            p = par[p][i];
    if (p == q)
        return p;
    for (int i = i0; i >= 0; i--)// i的初值i0可设为ceil(logn)
        if (par[p][i] != par[q][i]) {
            p = par[p][i];
            q = par[q][i];
        }
    return par[p][0];
}

完整的例子包括生成倍增数组等操作可以参考二叉树的最近公共祖先这道题的倍增做法：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    TreeNode *lowestCommonAncestor(TreeNode *root, TreeNode *p, TreeNode *q) {
        unordered_map<TreeNode *, vector<TreeNode *>> par;
        unordered_map<TreeNode *, int> h;
        function<void(TreeNode *, TreeNode *, int)> dfs = [&](TreeNode *root, TreeNode *p, int lev) {
            if (!root)
                return;
            h[root] = lev;
            par[root] = vector<TreeNode *>(18);
            par[root][0] = p;
            for (int i = 1; i < 18; i++)
                par[root][i] = par[par[root][i - 1]][i - 1];
            dfs(root->left, root, lev + 1);
            dfs(root->right, root, lev + 1);
        };
        dfs(root, root, 0);
        if (h[p] < h[q])
            swap(p, q);
        for (int dis = h[p] - h[q], i = 0; dis; i++, dis >>= 1)
            if (dis & 1)
                p = par[p][i];
        if (p == q)
            return p;
        for (int i = 17; i >= 0; i--)
            if (par[p][i] != par[q][i]) {
                p = par[p][i];
                q = par[q][i];
            }
        return par[p][0];
    }
};