1.3 向量的数量积与向量积(不做要求)

第三节 向量的数量积与向量积（向量积考纲不作要求）

数量积的概念及运算

定义： 给定两个向量 α , β ， \alpha,\beta， α,β，它们的数量积为： α . β = ∣ α ∣ ∣ β ∣ cos ⁡ φ \alpha . \beta=| \alpha || \beta| \cos \varphi α.β=∣α∣∣β∣cosφ

φ \varphi φ是两个向量的夹角。

由定义可有：

注： P r j u α = ∣ α ∣ cos ⁡ φ Prju \alpha = |\alpha|\cos\varphi Prjuα=∣α∣cosφ

1. α . β = ∣ α ∣ P r j α β = ∣ β ∣ P r j β α \alpha.\beta = |\alpha|Prj\alpha \beta = |\beta|Prj\beta \alpha α.β=∣α∣Prjαβ=∣β∣Prjβα
2. α = β , α . β = α 2 = ∣ α ∣ 2 \alpha = \beta,\alpha.\beta = \alpha^2 = |\alpha|^2 α=β,α.β=α2=∣α∣2
3. α ⊥ β , < = > φ = π 2 , α . β = 0 \alpha \bot \beta, <=> \varphi = \frac{\pi}{2},\alpha.\beta = 0 α⊥β,<=>φ=2π,α.β=0

数量级的运算律：

交换律： α . β = β . α \alpha.\beta = \beta.\alpha α.β=β.α

分配律： ( α + β ) . γ = α . γ + β . γ (\alpha + \beta).\gamma = \alpha.\gamma+ \beta.\gamma (α+β).γ=α.γ+β.γ

结合律： α . λ + β . λ = ( α + β ) . λ \alpha.\lambda + \beta.\lambda = (\alpha + \beta).\lambda α.λ+β.λ=(α+β).λ